模块同角三角函数的基本关系式及诱导公式

1、第十七讲同角三角函数的基本关系式及诱导公式,走进高考第一关 基础关教 材 回 归,同角三角函数基本关系式平方关系: _;商数关系:_,1. sin2+cos2=1,2. 相关角的表示(1)终边与角的终边关于_对称的角可以表示为+;(2)终边与角的终边关于_对称的角可以表示为-(或2-);(3)终边与角的终边关于_对称的角可以表示为-;(4)终边与角的终边关于_对称的角可以表示为,原点,x轴,y轴,直线y=x,3. 诱导公式(1)公式一sin(+k2)=_,cos(+k2)=_,tan(+k2)=_,其中kZ,tan,sin,cos,2)公式二sin(+)=_,cos(+)=_,tan(+)=_

2、,tan,sin,cos,3)公式三sin(-)=_,cos(-)=_,tan(-)=_,tan,sin,cos,4)公式四sin(-)=_,cos(-)=_,tan(-)=_,tan,sin,cos,5)公式五,sin,cos,6)公式六,sin,cos,余弦(正弦,同名,锐角,考 点 陪 练,答案:A,答案:B,答案:B,4. 点P(tan2008,cos2800)位于( )A. 第二象限B. 第一象限C. 第四象限D. 第三象限,解析:2008=6360-152,tan2008=-tan152=tan280,cos2008=cos1520,点P在第四象限,答案:C,答案:B,解读高考第二

3、关 热点关类型一:三角函数式的求值问题,解题准备:1. 解决给角求值问题的一般步骤为,2. 解决条件求值问题时,要注意发现所给值式和被求值式的特点,寻找它们之间的内在联系,特别是角之间的联系,然后恰当的选择诱导公式求解,典例1,分析：利用诱导公式先化简条件,此类问题是给值求值.解决这类问题的方法是根据所给值式和被求式的特点,发现它们之间的内在联系,特别是角之间的关系,恰当地选择诱导公式,类型二:三角函数式的化简问题,解题准备:三角函数的诱导公式为我们进行三角函数的求值提供了有利的方法及依据,在做题过程中,应熟练掌握“奇变偶不变,符号看象限”的原则.利用诱导公式把任意角的三角函数转化为锐角三角函

4、数的基本步骤是,评析：对角中含有k的三角函数化简时,要对k分为偶数和奇数进行讨论,k为偶数时,参照2进行化简,k为奇数时,去掉偶数倍的后,参照进行化简,类型三:三角函数式的证明问题,解题准备,1)从一边开始,证得它等于另一边,一般由繁到简.(2)左右归一法:即证明左右两边都等于同一个式子.(3)凑合方法:即针对题设与结论间的差异,有针对性地变形,以消除其差异的方法,简言之,即化异为同的方法,5)分析法:从被证明的等式出发,逐步地探求使等式成立的充分条件,一直到已知条件或明显的事实为止,就可以断定原等式成立,典例3已知sin(+)=1,求证:tan(2+)+tan=0,评析：本题是条件等式的证明

5、问题,证明条件等式,一般有两种方法:一是从被证等式一边推向另一边的适当的时候,将条件代入,推出被证式的另一边,这种方式称作代入法,二是直接将条件等式变形,变形为被证的等式,这种方法称作推出法,证明条件等式不论使用哪种方法都要盯住目标,据果变形,笑对高考第三关 成熟关名 师 纠 错,误区一:忽视隐含的平方关系,扩大解的范围而致错,剖析：条件给出了含有参数的正余弦的函数值,而参数值要受到正余弦的平方关系“sin2+cos2=1”的限制,而上述解法就忽视了这个制约关系,以致扩大了解的范围而错,误区二:忽略角的范围,造成多解而致错,上面解答忽略了角的范围,扩大了三角函数值的取值范围,造,解答关于含有“

6、sincos,sincos”的问题时,一般都要利用平方关系sin2+cos2=1,但必须注意对所求得的结果进行检验,否则会造成多解,解 题 策 略,根据近几年三角部分的命题特点,复习时宜采用以下策略:(1)学习本讲内容,可以从两个方面入手,一方面是诱导公式的灵活应用与特殊角的三角函数值的记忆;另一方面是同角三角函数基本关系式的应用,对于诱导公式的考查,主要是根据诱导公式将所求三角函数式转化为特殊角的三角函数,从而求出函数值,对于同角三角函数基本关系式的考查,应做到灵活运用公式进行化简求值和证明,且做到对公式的正用逆用变形应用等,2)同角三角函数的基本关系式,正弦余弦正切的诱导公式,常考常新,一

7、般在选择题填空题中考查,因此在复习时重点复习基础知识基本思想基本方法,3)解决本讲问题,要注意以下两种数学思想的运用.化归转化思想:化归思想主要体现在将任意角的三角函数求值问题转化为锐角三角函数问题解决,同时异名化同名,异角化同角也是转化思想的一个重要应用.分类讨论思想:分类讨论思想主要体现在应用诱导公式时对k的讨论及求三角函数值时对角的象限的讨论应做到讨论合理自然,分类划分明确清晰,快 速 解 题,典例已知(0,),且sin,cos是方程25x2-5x-12=0的两个根,求sin3+cos3和tan-cot的值,方法与技巧：由题目的形式得知,很明确地会利用根与系数的关系,将所求式表示成sin

8、+cossincos的形式,求tan-cot时,必须化为“弦”,否则用不上已求得的值.由于sin,cos是方程的根,一般地,很自然的想到根与系数的关系.其实此题直接求出两根更简单,教 师 备 选,诱导公式的记忆记忆口诀“奇变偶不变,符号看象限”,意思是说角“ ,kZ”的三角函数值:当k为奇数时,正弦变余弦,余弦变正弦;当k为偶数时,函数名不变,然后的三角函数值前面加上当视为锐角时,原函数值的符号,2.三角函数的三类基本题型(1)求值题型:已知一个角的某个三角函数值,求该角的其他三角函数值.已知一个角的一个三角函数值及这个角所在象限,此类情况只有一组解;已知一个角的一个三角函数值但该角所在象限没

9、有给出,解题时首先要根据已知的三角函数值确定这个角所在象限,然后分不同的情况求解,一个角的某一个三角函数值是用字母给出的,这时一般有两组解,2)化简题型:化简三角函数式的一般要求是:能求出值的要求出值来;函数种类尽可能少;化简后的式子项数最少,次数最低,尽可能不含根号等.(3)证明题型:证明三角恒等式和条件等式的实质是消除式子两端的差异,就是有目标地化简,3.利用两类公式求值化简,证明时应注意的几个问题(1)同角三角函数的基本关系反映了同一个角的不同三角函数间的必然联系,诱导公式则揭示了不同象限角的三角函数间的内在规律.它们对三角函数式的求值化简证明等具有重要作用,需要熟练掌握,灵活应用,2)

10、同角三角函数的关系式的基本用途:根据一个角的某一个三角函数值,求出该角的其他三角函数值(当然用三角函数的定义求解会更方便);化简同角的三角函数式;证明同角的三角恒等式.(3)诱导公式可将任意角的三角函数化成某个锐角的三角函数,因此,常用于求值和化简,4)在已知一个角的一个三角函数值,求这个角的其他三角函数值时,要注意题设中的角的范围,需要时并就不同象限分别求出相应的值.(5)在利用同角三角函数的基本关系化简求值时,要注意用“是否是同角”来区分和选用公式.(6)在应用诱导公式进行三角函数式的化简求值时,应注意公式中符号的选取,4. 利用两类公式求值化简证明的常用方法(1)已知角的某一种三角函数值

11、,求角的其余5种三角函数值时,要注意公式的合理选择,一般思路是按“倒平倒商倒”的顺序很易求角,特别要注意开方时的符号选取,2)在进行三角函数化简和三角恒等式的证明时,要细心观察题目的特征,灵活恰当地选用公式,一般思路是将切割化弦,但在某些特殊问题中就不要化切割为弦,只须利用倒数关系,3)证明三角恒等式的常用方法为:从一边开始证得它等于另一边,一般由繁到简;证明左右两边都等于同一个式子(或值).(4)学会利用方程思想解三角题,对于sin+cos,sincos,sin-cos这三个式子,已知其中一个式子的值,其余二式的值可以求出,课时作业十七 同角三角函数的基本关系式及诱导公式,一选择题,答案:A

12、,A. -2B. 2C. -2或2D. 0,答案:C,答案:A,4. (基础题,易)设f(x)=a sin(x+)+bcos(x+),其中a,b,都是非零实数,若f(2008)=-1,那么f(2009)等于( )A. -1B. 0C. 1D. 2,答案:C,解析:f(2008)=a sin(2008+)+bcos(2008+)=a sin+bcos=-1,f(2009)=a sin(2009+)+bcos(2009+)=-(a sin+bcos)=1,5. (能力题,中)已知sin+cos=1,则sinn+cosn等于( )A. 1B. 0C. D. 不能确定,答案:A,答案:B,二填空题7. (基础题,易)已知tan=2,则,评析:这是一组在已知tan=m的条件下,求关于 sincos的齐次式(即次数相同)的问题,解答这类“已知某个三角函数,求其余三角函数值”的问题的常规思路是:利用同角间的三角函数关系,求出其余三角函数值,这就需要根据m的取值符号,确定角所在的象限,再对它进行讨论.这样计算相当繁琐,而在这里灵活地运用“1”的代换,将所求值的式子的分子分母同除以cosn,用tann表示出来,从而简化了解题过程,我们应熟练掌握这种解法.更主要的是由此进一步领悟“具体问题具体分析”的辩证思想方法,解析:直接利用三角函数的诱导公式进行化简