基本初等函数I(3)

1、、填空题1. （安徽两地三校国庆联考）为了得到函数,x +3y = lg10的图像，只需把函数y=lgx的图像上所有点（C.向左平移向右平移向左平移向右平移3个单位长度，再向上平移3个单位长度，再向上平移3个单位长度，再向下平移3个单位长度，再向下平移个单位长度个单位长度个单位长度个单位长度答案C2. （昆明一中四次月考理）下列四个函数3 2y = x 1 ； y二 si n3x y=x ； x-Xe ey中，奇函数的个数是（23.（A） 1答案：C(B)(C) 3(D) 4（昆明一中二次月考更多http:/url.cin/OAShZy理）已知：；,贝则“-匚；-丄女-”的（A.充分不必要条件

2、B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案：Aa log2 x（当 x - 2时）4. （玉溪一中期中理）已知函数f （x）二x2 _4在点x=2处连续，贝帰数a匸当x2时）x-2的值是（）A .2B .3C .4D .5答案：B5. （玉溪一中期中理）函数 y =loga（x 3）-1 （a 0,且a=1）的图象恒过定点 A，若1 2点A在直线mx ny 1 = 0上，其中m,n均大于0,则 -的最小值为（）m nA. 2B. 4C . 8D. 16答案：C7.(祥云一中三次月考理)函数f(X)=0;在以下过程中，他用“二分法”又取了 4个x的值，计算了其函数值的正负，并得出

3、判断：方程的近似解是x-1.8那么他再取的x的4个值分别依次是.答案 1 . 5, 1. 75, 1. 875, 1 . 8125;X2-6x4173.(祥云一中二次月考理)函数y在匚3,1】上的值域为12丿4.(祥云一中二次月考理)已知函数(x) = log8 x ,它的反函数为f J(x)，则答案：答案：4三、解答题1.(本小题满分14分)已知a e R,函数f (x )=( x? +ax )ex (xe r e为自然对数的底数).(i)当a =2时，求函数f x的单调递增区间；(n)若函数f x在-1,1上单调递增,求a的取值范围；(川)函数f x是否为R上的单调函数，若是，求出a的取值

4、范围；若不是，请说明理由解：(i )当 a =2时，f xi；=x2 2x ex,.f (x) -2x2ex 亠ix22xex-x22ex.1 分令 f (x)0,即=-x22 ex 0, 7 ex 0,x220.解得： x ； -J2 .函数f (x)的单调递增区间是 - .2,2 .4分(n)T函数f x在-1,1上单调递增，.f(x) 0对-1,1都成立，:f (x)二-2xa ex 亠x2axex=-x2亠a -2 x aex,|-x a - 2 x a ex 0 对 x， -1,1 都成立.5 分i * x2e 0, - x - a-2 x a 0对 x 二 1,1 都成立,6 分2

5、 2即a x 2 x 1才取/-1对x -1,1都成立.x+1x + 1x+11 1 1令 y=x1,则 y=120. y=x1 -(川)若函数f x在R上单调递减，则f (x) 0对xR都成立.2 2.: = a-2 4a 0,即a 4 0对X R都成立，即 II X2 a -2 x a ex 0 对 x R都成立，x2(e 0,. x- a-2 x-a 1)，则f(x)的反函数是A f 4(x)= 22(X ： 2)2B f (x) =2 (x 2)C. f (x)x-2 .=2 (x ： 2)1x 2D. f (x) =2 (x 2)答案A2.(聊城一模) 已知函数f (x) = 4 -

6、 x2,g(x)是定义在(：,0) - (0/:)上的奇函数,当x0时，g(x)二log2 x,则函数y二f (x) g(x)的大致图象为0bi.Vro答案B3.(番禺一模)已知函数f(x)Oxg2X，2X,X 0,若 f (a)=丄，则 a 二(x 乞 0.2B. 、2C. -1 或D . 1或 -2答案C14.(临沂一模)已知函数f(x)= (-)x -log3x，若xo是方程f(x)=0的解，且OXi0时是单调函数，则满足f(2x)=f(三)的x +4所有x之和为C、一 8答案C7.(云南师大附中)若函数y =e2x 2与函数y = f x的图象关于直线y = x对称，贝U f x =A

7、. In ： Jx -1B.C. ln x 亠 1D. ln 寸5 +1答案B8.(青岛一模)设奇函数f(x)在(0,)上为增函数，且f(1) = 0 ,则不等式f(X)- f ( -X)0的解集为XA.(-1,o)U(1, *) B.(-：，-1)U(0,1) C.(：，-1)U(1, =) D . (T,0)U(01)答案D9.(日照一模)(6)函数f(x) =ln3-的零点一定位于区间2 xA . (1 , 2) B . (2, 3)C. ( 3, 4)D . (4, 5)答案A11.(泰安一模)已知函数y=f(x)与y = ex互为反函数，函数 y=g(x)的图像与y=f(x)图像关于

8、x轴对称，若g(a)=1,则实数a值为(D) e(A) -e1(B)- e1(C)- e答案C12.(江门一模)1函数y二ig(2x -1)的定义域是3x - 2A.2,B.广12、.2, 3 丿| 2x 114.(枣庄一模)设函数f(x)=-32x 1答案Cx +1,x -1,0)13.(枣庄一模)已知f(X)= b +i,xqo,i，则关于右图中函数图象的表述正确的是( )A 是f(X-1)的图象B .是f (-X)的图象C.是f (| x|)或| f (x) |的图象D .以上说法都不对 答案D(x 1)5(一仁 x 岂 2),则 f(f(f() - 5)二2(x 2)C. 7答案C15

9、.(深圳一模) 若函数f(x) =loga(x b)的图象如右图，其中=ax b的大致图象是C.A.答案D、填空题1.(青岛一模) 定义：区间为必丨為：x2的长度为x2-x!.已知函数y = 2凶的定义域为la,b】，值域为1,2】，则区间Ia,b】的长度的最大值与最小值的差为 答案12. (冠龙高级中学3月月考)已知函数f(x) =x2 - x，若f log3 m W f (2),则实数m的取值范围是。8答案(- ，8)91 13. (闵行三中模拟) 若函数y = f(x)的值域是一,3，则函数F(x)= f(x)的值域2 f(x)是10答案2,扌4. (上海普陀区)已知函数f (x 1 l

10、oga x(a 0且a = 1), f(x)是f (x)的反函数，若y = f J(x)的图像过点(3,4)，则a =答案25.(上海十校联考)已知函数f x = mx?亠m - 3 x 1的值域是0, ：)，则实数m的取值范围是.答案 0,1|9, :6. (上海卢湾区4月模考)(上海卢湾区4月模考)设f ( X)的反函数为f，( X)，若函数f(X)的图像过点(1,2)，且f1(2x1，则X=.1 答案丄27. (宣威六中第一次月考)已知函数 f(x)二ex Jn(x 1)-1(x _0)，则函数f(x)的最小值是答案0三、解答题3321、(聊城一模) 已知函数f(x)二x axb(a,b

11、为实数，且a 1)在区间1, 1上最2大值为1，最小值为2。(1 )求f (x)的解析式；(2)若函数g(x) = f (x) -mx在区间2, 2上为减函数，求实数 m的取值范围。解: (1) f (x) = 3x2 -3ax,令f(x) =0,得x1 =0,x2 二 a, a 1,f(x)在|-1,0上为增函数，在0,1上为减函数.f (0) = b = 1,3 3 口-1)=孑，鮒)=2-?a, f(-1) In解: (I) f(x) =ex,x + m由x=0是极值点，故f(0) =0,得e0 =0.0 + m故 m=1.故 f (x)二 ex -In(x 1) -1(x -1)x 1

12、当-1 V xV 0时，f(x) =e - v 0,函数在(-1 , 0)内是减函数；x +11当x 0时，f(x)=ex 0,函数f (x)在(0, +8)内是增函数。x +1所以x=0时，f(0)=0，则函数f(x)取得最小值为0. 6分(n)由(I)知：f (x) 0,故 e-1 ln( x+1)。t a b_0 ab1且 ab= 0 故 ea 43 -1 ln (a - b 1)8分又a +1(a -b 1)-b+1(a -b 1)(b 1) - (a 1) b+1ab -b2= b(a-b) 0 b 1b 1故a +1(a -b 1)b+110分故aIn (a -b 1) - In+

13、 1b +1由得ea -1 In 口12分b +12 23、(临沂一模)设函数 f(x)=x -mlnx,h(x)=x -x+a.(I )当a=0时，f(x) h(x)在(1,+ a)上恒成立，求实数m的取值范围；(II)当m=2时，若函数k(x)=f(x)-h(x) 在1,3 上恰有两个不同零点，求实数的取值范围(III )是否存在实数m,使函数f(x)和函数h(x)在公共定义域上具有相同的单调性?xIn x若存在，求出m的值，若不存在，说明理由。解：(1 )由 a=O,f(x) h(x)可得-mlnx -xx记，则f(x) h(x)在(1,+ a)上恒成立等价于m乞(x)min In x求

14、得 (x)二In x -1ln2x当 x (1,e)时；(x) ：0；当 x (e,二)时，:(x)0故(x)在x=e处取得极小值，也是最小值, 即(x)min 二(e) =e，故 m 乞 e (2) 函数k(x)=f(x)-h(x) 在:1,3 :上恰有两个不同的零点等价于方程x-2lnx=a ,在1,3 :上恰有两个相异实根。2令 g(x)=x-2Inx,则 g (x) =1 -一x当 x 1,2)时，g(x) g(3),只需 g(2)a 0,解得 x或x-(舍去)故m0时，函数的单调递增区间为|I单调递减区间为(。，拧)而h(x)在(。,)上的单调递减区间是eq，单调递增区间是故只需1，

15、解之得m=!即当m=!时，函数f(x)和函数h(x)在其公共定义域上具有2 2 2相同的单调性。2x4、(东莞一模) 已知 f (x) =x ax a (a _2,x R) , g(x) =e_，(x)二 f (x) g(x).(1 )当a =1时，求：(x)的单调区间；(2) 求g(x)在点(0,1)处的切线与直线x =1及曲线g(x)所围成的封闭图形的面积；(3) 是否存在实数a，使C(x)的极大值为3 ?若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由解：(1)当 a =1 时，(x) = (x2 x 1)e,心(x) =(-x2 x) . ( 1 分)当: J(x)0 时,0：;x：1;当 G

16、(x) ：0 时,x 1 或 x：0.(3 分)(x)的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为：(皿,0) , (1,畑).(4 分)(2)切线的斜率为k =g(0) - -e |x卫-1 ,-切线方程为y - -x T (6分)所求封闭图形面积为1112 111Se 一(X 1)dx (e x 1)dx 二(ex x)|o0022 e(8分)(3) ：；：(x) =(2x a)e -e(x2 ax a) =e-x2 (2 -a)x , ( 9 分)(10 分)令 ” (x) =0,得x= 0或x = 2a .列表如下:x(-m, 0)0(0, 2 一 a)2-a(2 - a, +)(X)一

17、0+0(X)极小/极大设(a) =(4 a)ea3(a) =(3 a)ea 0 ,在(_：,2)上是增函数，(13分) Ma)乞與2) =2 ：3，即(4a)ea*=3 ,不存在实数 a,使事(x)极大值为3. ( 14)In x5、(茂名一模)已知f(x)二ax-lnx,x (0,e, g(x)，其中e是自然常数，a R.x(i)讨论a =1时，f (x)的单调性、极值；1(n)求证：在(i)的条件下，f (x) - g(xp -；2(川)是否存在实数 a，使f (x)的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，说明理由.1 X 1(i) f(x)=x-l nx , f(x)=1二 1 分x

18、 x当 0 X ： 1时，f/(X)： 0 ,此时f (x)单调递减当1 0=: x :a1 a2 1 + J1 + a2即函数f(X )在(1w a )上单调递增；a a1 - T - a2a当 一 1 ： a : 0 时，有.： 0, f x 0二 x ：11 7a即函数f x在(-：J),(匸上：)上单调递增aa),(7、解：(1)an 1 =an 2an4,两边加 an 得：an 1 an =2(an an4)(n - 2),an 1 an是以 2 为公比，a! a 4为首项的等比数列an 1 an =42nl= 2 2由 an 1 二 an 2anj 两边减 2an 得:an 1 2

19、an-(a 2a) (n 2) . a* .1 -2an是以-1为公比，a2-2ai=-2为首项的等比数列.an 1 2an -2L(-1)n =2_(-1)n -得：3an =22n2-(-1)n所以，所求通项为an2n3当n为偶数时,an 1厶3丄3二an 22n 12n -1J22nL_2n2n-2n_14l-2*.2“3 2nJ 2n3,1122二/ . 2n j _ 2_2n2n = 2 (尹班)(_ 2)1 1.+aa2丄：3(1 1g2 222an3221心歹31当n为奇数时，：an2 1写2_(可O 00,又n 1为偶数an 1.由(1)知,丄:丄丄丄丄310分a2ana1a2

20、an an 1f(n )1f(n) f(n 1)12分kd f(k) 1-f(1)f(2)1f(2)1f (1) f(n 1) f(1)1 1 f(3)12.f (n) f(n 1)8、(深圳一模)2已知函数 f (x) = aln(12x) - x ( a 0， x (0,1). |jO(3)证明：,f (n 1) - f (n) = f (n) - 0.f(n 1) _ f (n),. f (n 1)_ f(n) _ f (n 1)八心 f (1) = 202f(n 1)f (n) f(n) f (n) f (n) 1 f (n) f(n) 1(I)求函数f(x)的单调递增区间;2(n)若

21、不等式1 n2，_n2ln(1 )对一切正整数n恒成立，求实数n的取值范围.a解：(I) f (x)2X1 +ax2-2ax -2x a1 +ax由-2ax2 - 2x a =0，得 x一仁.2a212a一1 一 一2a212a:0 ,-12a2 12a-1.2a212a2a211：1.f(x)的单调递增区间为递减区间为2a2a21 -12a,1)1221(n)【法一】不等式2八In( 1),即为咒#：ln(1 ) 亍 (探)nnnn1 .令 x，当 n N 时，x (0,1.n则不等式 序)即为-In(1 2x) - x2 . 9分令 g(x)=ln(12x)-x2, x (0,1,在f (

22、x)的表达式中，当a =2时，f(x)二g(x),又；a =2时,1 、 1、-g(x)在(0,)单调递增，在(一，1)单调递减.2 2111g(x)在x时，取得最大，最大值为g() = In 2.224211因此，对一切正整数 n，当n =2时，ln(1 )2取得最大值In 2_nn41.实数的取值范围是，-l n 2 - .41 2 2 1【法二】不等式ln(1 )，即为_ ln(1 )2n n14分1n2 1设 g(x) =ln(1)2 (x -1),x x2_ 2 g (x)二 1 x2 x22-2x 2x 4+ =x3x3(x 2)令 g(x)=o.10分当 X (1,2)时，g (x)0 ,当 x (2,：)时，g (x) : 0 .1.当x二2时，g(x)取得最大值In 2 -41因此，实数的取值范围是_ In 2 -1 .41 29、(湛江一模) 已知函数 f(x) =(a )x ln x