2017 2018高中数学第二章参数方程1参数方程的概念北师大选修4 41

1、理解教,材新知,考点一,考点二,应用创,新演练,章,把握热,点考向,1,参,数,方,程,的,概,念,1,参数方程的概念,自主学习,参数方程的概念,在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标,x,y,都是某个变数,t,的函数,x,f,t,y,g,t,*,并且对于,t,取的每一,个允许值，由方程组,*,所确定的点,P,x,y,都在这条曲线上,那么方程组,*,就叫作这条曲线的,联系,x,y,之间,关系的变数,t,叫作,简称,相对于参数方程而言,直接用坐标,x,y,表示的曲线方程,f,x,y,0,叫作,参数方程,参变数,参数,普通方程,注意,1,参数的意义：参数,t,是联系变数,x,y,的桥梁，它可以

2、,有物理意义或几何意义,也可以是没有明显实际意义的变数,2,参数的取值范围：在参数方程中，应明确参数,t,的取,值范围，对于参数方程,x,f,t,y,g,t,来说，如果,t,的取值,范围不同，它们表示的曲线,如果不明确写出,其取值范围，那么参数的取值范围就理解为,可能是不同的,x,f,t,和,y,g,t,这两个函数的自然定义域的交集,合作探究,提示,一般需注意两点,x,y,的值可由参数唯一确定,参数与,x,y,的关系比较明显，容易列出方程,1,根据参数方程的概念，在选取参数时一般要注意,什么,2,参数方程,x,cos,y,sin,和,x,cos,y,sin,0,2,表示,的曲线相同吗,提示,不

3、相同,参数方程概念的应用,例,1,已知曲线,C,的参数方程是,x,2,t,y,3,t,2,1,t,为参数,1,判断点,M,1,2,4,M,2,4,10,与曲线,C,的位置关系,2,已知点,M,3,8,a,在曲线,C,上，求,a,的值,思路点拨,本题考查对参数方程概念的理解,1,将点的坐标代入方程组，若有解，则点在曲线上，否,则，不在曲线上,2,将点,M,3,的横坐标代入求得,t,进而求,a,精解详析,1,把点,M,1,2,4,代入方程组得,t,1,所以,M,1,在曲线,C,上，把点,M,2,的坐标,4,10,代入方程组，得到,4,2,t,10,3,t,2,1,这个方程组无解，所以点,M,2,不

4、在曲线,C,上,2,因为点,M,3,8,a,在曲线,C,上,所以,8,2,t,a,3,t,2,1,解得,t,4,a,49,由参数方程的概念知：对于给定的一个,t,的允许值，就,能唯一地求出相应,x,与,y,的值,因而得出唯一的曲线上的对,应点；反过来，如果给出某点的坐标,x,0,y,0,当方程组,x,0,f,t,y,0,g,t,有解,即有对应的,t,值,时,说明点,x,0,y,0,在曲线,上；当方程组,x,0,f,t,y,0,g,t,无解,即没有对应的,t,值,时，说明,点,x,0,y,0,不在曲线上,1,已知某条曲线,C,的参数方程为,x,1,2,t,y,at,2,其中,t,为,参数,a,R

5、,点,M,5,4,在该曲线上，求常数,a,解,点,M,5,4,在曲线,C,上,5,1,2,t,4,at,2,解得,t,2,a,1,a,的值为,1,2,已知点,P,x,y,是曲线,C,x,3,cos,y,2,3sin,为参数,上的任意一点，求,3,x,y,的取值范围,解,设,P,3,cos,2,3sin,则,3,x,y,3(3,cos,2,3sin,11,3cos,3sin,11,2,3sin,3,3,x,y,的最大值为,11,2,3,最小值为,11,2,3,故,3,x,y,的取值范围是,11,2,3,11,2,3,例,2,如图所示,OA,是定圆的直径,长,2,a,直线,OB,与圆交于,M,1,

6、和过,A,点的,切线交于,B,MM,1,OA,MB,OA,MM,1,与,MB,交于点,M,与,OA,交于点,C,以,O,为,原点,OA,为,x,轴的正半轴，求动点,M,轨迹,的参数方程,求曲线的参数方程,思路点拨,本题考查如何用引入参数的方法求轨迹,的参数方程及坐标法的基本思想，解答此题需要选取恰当,的量为参数,并找到其与动点,M,坐标,x,y,之间的关系即可,精解详析,设点,M,的坐标为,M,x,y,弦,OM,1,与,x,轴的夹角是,取,为参数，连接,AM,1,则有,AM,1,OM,1,OC,2,a,cos,cos,2,a,cos,2,AB,2,a,tan,x,2,a,cos,2,y,2,a

7、,tan,为参数,这就是所求的点,M,的参数方程,求动点的轨迹方程，是解析几何中常见的题型之一，通,常可用解析法寻找变量之间的关系，列出等式，得到曲线的,方程当变量之间的关系不容易用等式表示时，可以引入参,数，使变量之间通过参数联系在一起，从而得到曲线的参数,方程,在研究运动问题时，通常选时间为参数；在研究旋转问,题时，通常选旋转角为参数此外，离某一定点的“有向距,离”、直线的倾斜角、斜率、截距等也常常被选为参数,3,如图,已知点,P,是圆,x,2,y,2,16,上的一个动点,点,A,是,x,轴上的一个定点，坐标为,12,0,当点,P,在圆上,运动时，求线段,PA,的中点,M,的参数方程,解,

8、设点,M,的坐标为,x,y,圆,x,2,y,2,16,的参数方程,为,x,4cos,y,4sin,为参数,可设点,P,的坐标为,4cos,4sin,由,中,点,坐,标,公,式,得,点,M,的,参,数,方,程,为,x,6,2cos,y,2sin,为参数,4,如图,ABP,是等腰直角三角形,B,是直角，腰长,为,a,顶点,B,A,分别在,x,轴,y,轴上滑动，求点,P,在,第一象限的轨迹的参数方程,解,法一,设,P,点的坐标为,x,y,过,P,点作,x,轴的垂,线交,x,轴于,Q,如图所示，则,Rt,OAB,Rt,QBP,取,OB,t,t,为参数,0,t,a,OA,a,2,t,2,BQ,a,2,t

9、,2,点,P,在第一象限的轨迹的参数方程为,x,t,a,2,t,2,y,t,0,t,a,法二,设点,P,的坐标为,x,y,过点,P,作,x,轴的垂线交,x,轴于点,Q,如图所示,取,QBP,为参数,0,2,则,ABO,2,在,Rt,OAB,中,OB,a,cos,2,a,sin,在,Rt,QBP,中,BQ,a,cos,PQ,a,sin,点,P,在第一象限的轨迹的参数方程为,x,a,sin,cos,y,a,sin,为参数,0,2,设椭圆方程为,x,2,y,2,4,1,过点,M,0,1,的直线,l,交椭圆于,点,A,B,O,是坐标原点,l,上的动点,P,满足,OP,1,2,OA,OB,当,l,绕点,

10、M,旋转时，求动点,P,的轨迹方程,可用参数,方程表示,轨迹方程的有关问题是高考的热点内容，几乎每年都,会考查，通常是第一问求轨迹方程，第二问考查直线与圆,锥曲线的位置关系，而近几年高考及模拟对轨迹方程的探,求，参数法成为一种新的考向,考题印证,命题立意,本题考查参数法求轨迹方程及运算求,解能力,自主尝试,直线,l,过点,M,0,1,当,l,的斜率存在时,设其斜率为,k,则,l,的方程为,y,kx,1,设,A,x,1,y,1,B,x,2,y,2,由题设可得点,A,B,的坐标,x,1,y,1,x,2,y,2,是,方程组,y,kx,1,x,2,y,2,4,1,的解,将代入并化简得,4,k,2,x,

11、2,2,kx,3,0,所以,x,1,x,2,2,k,4,k,2,y,1,y,2,8,4,k,2,于是,OP,1,2,OA,OB,x,1,x,2,2,y,1,y,2,2,k,4,k,2,4,4,k,2,设点,P,的坐标为,x,y,则,x,k,4,k,2,y,4,4,k,2,这就是动点,P,的轨迹方程,一、选择题,1,点,P,3,b,在曲线,x,t,2,1,y,2,t,1,t,为参数,上，则,b,的值为,A,5,B,3,C,5,或,3,D,5,或,3,解析,由点,P,在曲线上，得,t,2,1,3,t,2,当,t,2,时,y,b,5,当,t,2,时,y,b,3,答案,D,2,曲线,x,1,2,t,y

12、,2,3,t,t,为参数,与,y,轴的交点坐标是,A,0,2,3,B,0,3,2,C,0,7,2,D,0,1,2,解析,令,x,1,2,t,0,得,t,1,2,代入,y,2,3,t,得,y,7,2,所以与,y,轴交点的坐标为,0,7,2,答案,C,3,若点,Q,x,y,在曲线,x,3,2cos,y,4,2sin,为参数,上，则,x,2,y,2,2,x,的最小值是,A,35,B,35,16,2,C,35,D,35,16,2,解析,x,2,y,2,2,x,3,2cos,2,4,2sin,2,2(3,2cos,35,16,2cos,4,故所求最小值是,35,16,2,答案,B,4,参数方程,x,2,

13、sin 2,y,tan,1,tan,为参数,所表示的曲线是,A,直线,B,抛物线,C,椭圆,D,双曲线,解析,y,tan,1,tan,sin,cos,cos,sin,sin,2,cos,2,sin,cos,cos 2,1,2,sin 2,平方得,y,2,cos,2,2,1,4,sin,2,2,答案,D,sin 2,2,x,cos 2,1,2,x,2,y,2,1,2,x,2,1,4,2,x,2,整理，得,x,2,y,2,4,曲线为双曲线,解析,将,x,sin,cos,两边平方，然后与,y,sin 2,1,相减，得,y,x,2,2,又,x,sin,cos,2,sin,4,2,x,2,答案,y,x,

14、2,2,2,x,2,二、填空题,5,把参数方程,x,sin,cos,y,sin 2,1,为参数,化为普通方程为,_,6,边长为,a,的等边,ABC,的两个端点,A,B,分别在,x,轴,y,轴正半轴上移动,顶点,C,和原点,O,分别在直线,AB,两侧,记,CAx,则顶点,C,的轨迹的参数方程是,_,答案,x,a,cos,3,y,a,sin,为参数,解析,如图，过,C,作,CD,x,轴于,D,设点,C,的坐标为,x,y,则由,x,OA,AD,y,DC,得,x,a,cos,2,3,a,cos,a,cos,3,y,a,sin,即为顶点,C,的轨迹的参数方程,7,设直线的参数方程为,x,1,t,y,1,

15、t,则它与圆,x,2,y,2,4,的交,点为,_,解析,把直线的参数方程代入圆的方程,得,1,t,2,1,t,2,4,t,2,1,解得,t,1,1,t,2,1,分别代入直线方程，得,x,1,0,y,1,2,x,2,2,y,2,0,即交点为点,0,2,和点,2,0,答案,0,2,和,2,0,8,动点,M,作匀速直线运动，它在,x,轴和,y,轴方向的分速度,分别为,9,和,12,运动开始时，点,M,位于,A,1,1,则点,M,的参数方程为,_,解析,设,M,x,y,则在,x,轴上的位移为,x,1,9,t,在,y,轴上的位移为,y,1,12,t,参数方程为,x,1,9,t,y,1,12,t,答案,x

16、,1,9,t,y,1,12,t,三、解答题,9,已知曲线,C,的参数方程是,x,3,t,y,2,t,2,1,t,为参数,1,判断点,M,1,0,1,M,2,5,4,与曲线,C,的位置关系,2,已知点,M,3,6,a,在曲线,C,上，求,a,的值,解,1,把,点,M,1,的,坐,标,0,1,代,入,x,3,t,y,2,t,2,1,有,0,3,t,1,2,t,2,1,解得,t,0,所以点,M,1,在曲线,C,上,把点,M,2,的坐标,5,4,代入,x,3,t,y,2,t,2,1,有,5,3,t,4,2,t,2,1,这个方程组无解，所以点,M,2,不在曲线,C,上,2,因为点,M,3,6,a,在曲线

17、,C,上,所以,6,3,t,a,2,t,2,1,解得,t,2,a,9,所以,a,的值为,9,10,设飞机以匀速,v,150 m/s,作水平飞行,在飞行高度,h,588 m,处投弹,设炸弹的初速度等于飞机的速度,1,求炸弹离开飞机后的轨迹方程,2,试问,飞机在离目标多远,水平距离,处投弹才能命中目标,解,1,如图所示,A,为投弹点，坐标为,0,588,B,为目标，坐标为,x,0,0,记炸弹飞,行的时间为,t,在,A,点,t,0,设,M,x,y,为飞,行曲线上的任一点，它对应时刻,t,炸弹初速,度,v,0,150,m/s,用物理学知识分别计算水,平、竖直方向上的路程，得,x,v,0,t,y,588,1,2,gt,2,g,9.8 m/s,2,即,x,150,t,y,588,4.9,t,2,这是炸弹飞行曲线的参数方程,2,炸弹飞行到地面目标,B,处的时间,t,0,满足方程,y,0,即,588,4.9,t,2,0,解得,t,0,2,30,由此得,x,0,150,2,30,300,30(m,即飞