12-2-4等腰三角形.题库教师版

1、【解析】若JABC为钝角三角形时,.A为顶角时，三内角大小为 140 ,20 ,20 ;等腰三角形中考要求内容基本要求略咼要求较咼要求轴对称了解图形的轴对称，理解对应点所连 的线段被对称轴垂直平分的性质；了 解物体的镜面对称能按要求作岀简单平面图形经过一次 或两次轴对称后的图形；掌握简单图 形之间的轴对称关系，并能指岀对称 轴；掌握基本图形的轴对称性及其相 关性质能运用轴对称进行图案设计目Udi僅例题精讲【例1】已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为60，求三角形三个内角的度数.【考点】等腰三角形的性质及判定【难度】3星【题型】解答【关键词】分类讨论思想【解析】本题分两种情形：（1 ）等腰三

2、角形为锐角三角形时，三内角度数为30、75、75 ；（2 ）当等腰三角形为钝角三角形时，三内角度数为150、15、15 .【答案】三内角度数为 30、75、75或150、15、15 .【例2】 已知BD是等腰 ABC 一腰上的高，且.ABD =50，求 ABC三个内角的度数.【考点】等腰三角形的性质及判定【难度】3星【题型】解答【关键词】分类讨论思想若ABC为钝角三角形时,.A为底角时，三内角大小为 100 ,40 ,40 ;若ABC为锐角三角形时,.A为顶角，三内角大小为 40 ,70 ,70 【答案】140 ,20 ,20 或 100 ,40 ,40 或 40 ,70 ,70【例3】已知等

3、腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为50，求三角形三个内角的度数.【考点】等腰三角形的性质及判断【难度】3星【题型】解答【关键词】分类讨论思想【解析】【答案】本题分两种情形:等腰三角形为锐角三角形时，三内角度数为当等腰三角形为钝角三角形时，三内角度数为40、70、70 ；140 、 20 、 20 【例4】 已知AABC中，.A=90 , . B =67.5 .请画一条直线，把这个三角形分割成两个等腰三角形（请你利用下面给出的备用图，画出两种不同的分割方法只需画图，不必说明理由，但要在图中标出相 等两角的度数）ABCABC【考点】等腰三角形的性质及判定，几何操作与尺规作图 【难度】2星 【题型】

4、解答 【关键词】08年宣武初三一模考试 【解析】 【答案】如下图:A和,22.567.522.5【例5】 在 ABC中，AB =AC .若过ABC 个顶点的直线可将 CABC分成两个等腰三角形，求 CABC各 内角的度数.【考点】等腰三角形的性质及判定，几何操作与尺规作图【难度】2星【题型】解答 【关键词】分类讨论思想 【解析】 【答案】本题需分以下几种情形讨论.(1 )当直线过JABC的底角顶点时：情形一：如图，BD分- ABC成两个等腰三角形，其中 DA二DB二CB，易得.= 36 ,ZABC /C =72 . 情形二：如图，180 A =妙, ABC -7BD分 ABC成两个等腰三角形，

5、其中540T ；DA=DB , CB =CD ,(2)当直线过ABC的顶角顶点时:情形三：如图， AD分 ABC成两个等腰三角形，其中易得 B = C =45 , - A =90 ;情形四：如图， AD分 ABC成两个等腰三角形，其中DB =DA =DCDA = DB , CA=CD ,易得/B ZC =36，所以 /BAC =108 .【例6】 ZMON是一个钢架，/MON =10，在其内部添加一些钢管 的钢管长度都与OB相等.(1 )当添加到第五根钢管时，求 FGM的度数.BC , CD , DE , EF , FG，添加(2)假设OM、ON足够长，能无限地添加下去吗 ？如果能，请说明理由

6、如果不能，则最多能添 加几根？【考点】等腰三角形的性质及判定【难度】3星【题型】解答【关键词】 【解析】【答案】由于 OB =BC =CD =DE =EF =FG，所以 BCO =/BOC =10 ,所以.DBC BOC . BCO =20 , . BDC - . DBC =20 同理，依次可求得 .DCE =. DEC =30 ,. FDE =. DFE =40 , . FEG 二.FGE = 50 因此.FGM =180 -50 =130 不能无限添加下去根据中所得到的规律，当添加到第八根时，它与.MON的一边成80角,与另一边垂直，无法再作出等腰三角形，因此，最多能添加八根.【例7】如图

7、，AABC中，.A =30 , CD是.BCA的平分线， 线，DF =FE，求.B.ED是乙CDA的平分线，EF是.DEA的平分【考点】等腰三角形的性质及判定，三角形的内外角性质BCEA【难度】3星【题型】解答【关键词】初二第12届希望杯1试【解析】在 DEF中，DF =FE ,二4=/5CD , ED , EF分别是 BCA , CDA , . DEA的角平分线 1=2，乙3 Z4，乙5 乙6.三5 Z3 ,.EF / CD_ 6 -2 , 1 _ 2 6_ 5 = 4 3，即一 1 二 3BC / DE , B = 4 = 1，/ACB =2B在 ABC 中，.A . B . ACB =1

8、80 , 30 3 B =180 ,B =50【答案】50【例 8】 ABC 中，AM =AN , CN =CP , AB = AQ , CB =CG .试比较./MNP 与三GBQ 的大小.【考点】等腰三角形的性质及判定【难度】4星【题型】解答【关键词】【解析】(方法1)：1由条件可得.AMN =. ABQ (180 - A),所以 MN / BQ，所以 GRN 二 GBQ .同理可得 BG / PN , ZGRN ZMNP，所以 /MNP ZGBQ .(方法2):/MNP =180ANM ZCNP1111=180(180 A) (180 C) A C222211-GBQ 二 ABQ CBG

9、 ZABC(180 A) (180 ZC) ZABC221111=180A C - ABC “A C ABC A C - ABC222211A 1 C22所以 MNP 二 GBQ【答案】MNP二GBQ【例9】在正方形ABCD所在平面上找一点 P，使 APB是等腰直角三角形，这样的点P你能发现几个？请作 出这些点.P2P3 P1P4(P5)(P6 )【考点】等腰直角三角形的性质及判定，几何操作与尺规作图【难度】3星【题型】解答【关键词】【解析】注意从等腰三角形边的分类入手找到完整答案【答案】如图所示的 6个点R、P2、P3、P4、P6.【例10】如图，在正方形 ABCD所在平面上找点 P ,使

10、PAB、厶PBC、厶PCD、厶PDA同时为等腰三角形, 这样的点P你能发现几个？请作出这些点.ADP1P2BC【考点】等腰直角三角形的性质及判定，几何操作与尺规作图 【难度】3星【题型】解答 【关键词】 【解析】【答案】这四个等腰三角形，又可分为两类：（1）以正方形的边为底边的等腰三角形；（2）以正方形的边为腰的等腰三角形不难发现以 D为圆心，DA为半径画弧交 AB和CD的中垂线于点P、P2，则P、F2 符合条件，这样正方形里、外在两中垂线上有8个点，再加上中心 O,共有9个点.【例11】把正方形改成正三角形. 已知如图，在正- ABC所在平面上找点 P使PAB、厶PBC、厶PCA同时为 等腰

11、三角形，作出这些点.AB P2C* P3【考点】等腰直角三角形的性质及判定，几何操作与尺规作图【难度】3星【题型】解答【关键词】【解析】【答案】正三角形的每条对称轴上有3个满足条件的点 P，有3条对称轴，再加上正三角形的中心，共有10个点解题的关键是画出正 ：ABC三边的中垂线.【例12】如图，如果一个三角形的两条角平分线又是它的两条高线，试判断这个三角形的形状.已知厶ABC中,AD ,BE既是.：ABC的角平分线，又是 ABC的高，试判断.：ABC的形状.【考点】等腰三角形的性质及判定【难度】2星【题型】解答【关键词】第十届“希望杯”数学竞赛【解析】 AD既是 ABC的角平分线，又是 UAB

12、C的高, . BAD 二/CAD , ADB =/ADC =90 .2BAD ZCAD在 ABD 与 ACD 中， AD =AD,ADB 4ADC ABD 也- ACD , AB =AC .同理可得 AB =CB . AB =AC 二CB ./ ABC是等边三角形.【答案】等边三角形【例13】已知菱形ABCD中，.A=72，请设计两种不同的分法，将菱形ABCD分割成四个三角形，使得分）注：两种分法只要有一条害戚的每个三角形都是等腰三角形（画图工具不限，要求画出分割线段；标出能够说明不同分法所 得三角形的内角度数，例如第20题图，不要求写出画法，不要求证明分割线段位置不同，就认为是两种不同的分法

13、【考点】C第20题图分法1C分法2等腰三角形的性质及判定，几何操作与尺规作图【难度】【题型】解答【关键词】2008年大兴初三一模考试 【解析】【答案】以下答案仅供参考CCCCBCBCB【例 14】ABC 中，.B =22.5 ,证：EG 二EC .边AB的垂直平分线交 BC于D，DF _ AC 于 F，交BC边上的高于AA【考点】线段的垂直平分线【难度】4星【题型】解答 【关键词】【解析】略【答案】D为AB的垂直平分线上一点， DA=DB , . BAD =/B =22.5 , . ADE =45，又 AE _ BC , . DAE =45 二.ADE , AE 二 DE ,又 . EAC .

14、 C =90 , . FDC . C =90 , /EAC /FDC , /AEC /DEG =90 , . AEC 也.DEG (ASA), EG 二EC .点评：见到中垂线，大多可将中垂线上任意一点与线段两端点相连，形成基本构图.【例15】如图，直角 ABC中，/BAC =90 , AB =AC , BD平分乙ABC交AC于D，作CE _ BD交BD延长 线于E，作AH _ BC于H，交BD于M，贝U BM与CE的大小关系是什么？【考点】垂直平分线的性质和判定【难度】3星【题型】解答 【关键词】1998年希望杯”第二试 【解析】连接CM，由AH垂直平分BC得BM =CM ,BM 二CMBE

15、 平分 ZABC ,. EMC =2 EBC =45 ,CE _BE ,CE =MEBM =MC = 2CE .【答案】BM n、2CE【例16】如图所示，在直角梯形 ABCD中，.ABC =90 , AD / BC , AB=BC , E是AB的中点，CE _ BD .求证：BE =AD ; 求证：AC是线段ED的垂直平分线;QBC是等腰三角形吗？请说明理由.【考点】等腰三角形的性质和判定；旋转类全等 【难度】3星【题型】解答【关键词】2009年，山东泰安，中考【解析】略【答案】(1) EABC =90 ,BD _ EC ,丄 ECB /DBC=90 , /ABD /DBC =90 , EC

16、B /ABD , . ABC =/DAB =90 , AB =AC , . BAD B . CBE , AD 二 BE .(2) / E是 AB 中点，- EB 二EA由得：AD=BE , AE=AD/ AD / BC , . CAD =. ABC =45 , . BAC =45 , . BAC = . DAC由等腰三角形的性质，得：EM =MD , AM _DE即AC是线段ED的垂直平分线.(3) DBC是等腰三角形， CD =BD由得：CD =CE，由得：CE =BD CD =BD , ADBC是等腰三角形.【例17】如图，点P为等腰三角形 ABC的底边BA的延长线上的一点，PE_CA的延

17、长线于点E , PF _ BC于点F , AD BC于点D . PE、PF、AD之间存在着怎样的数量关系 ？C【考点】等腰三角形的性质及判定C【难度】3星【题型】解答【关键词】面积法【解析】连结CP，由S.CPB -S.CPA =S.CAB又 AC =BC ,.PF -PE =AD【答案】PF-PE = AD111得：BC PF AC PE BC AD 222【例18】如图，点P为正三角形 ABC内任意一点，PE_AC于点E , PF _ BC于点FAD _ BC于点D . PE、PF、PG、AD之间存在怎样的数量关系 ？PG _ AB 于点 G ,【考点】等边三角形的性质及判定【难度】3星【

18、题型】解答 【关键词】面积法【解析】连结 CP、AP、BP .S apc S.pbc S.apb =S.abc1111 AC EP BC PF AB PG BC AD2 2 2 2而 AC =BC =AB ,.EP FP GP AD【答案】 EP FP GP AD【例19】点P为正三角形 ABC外的一点，且PE _ AC于点E , PF _ BC于点F , PG _ AB于点G , AD _ BCP于点D此时PE、PF、PG、AD之间存在怎样的数量关系 ？【考点】等边三角形的性质及判定【难度】3星【题型】解答【关键词】面积法 【解析】 【答案】根据题意画出图形，发现符合条件的图形不止一个，经过

19、测量和分析会发现,在图中有 PE - PF -PG =AD的结论，在图中有 PF -PE -PG二AD的结论，【例20】P为等腰三角形ABC的底边AB上的任意一点,PE _ AC 于点 E , PF _ BC 于点 F , AD _ BC 点D，如图，求证：PE - PF =AD .【考点】等腰三角形的性质及判定 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】面积法 【解析】【答案】解法一：过点 P 作 PN AD 于点 N .在 APN 和 ：PAE 中，EPA =“NAP , ANP =“PEA , AP = PA, UANP 也 PEA, PE =AN，又由四边形 PFDN 为矩形，则 PF =

20、ND . PE PF =AD .解法二：连结CP .-S APC S BPC=S ABC11，即一AC EP BC PF22= -BC AD ,2而 AC 二BC , APE PF =AD【例 21】已知 ABC 中.ACB =90，点 D、E 在 AB 上，且 AD =AC , BE =BC，求.DCE .【考点】等腰三角形的性质及判定【难度】3星【题型】解答【关键词】【解析】【答案】(方法1)：由.ACB =90，可得 EAB =90 .1 1因为 AD 二 AC, BE 二 BC，所以.ACD =； (180 _A) , BCE = ； (180 - B),1 1 因此.DCE =/AC

21、D . BCE -. ACB 二专(180 . A) ：(180 . B) . ACB111=90 A 90 B 90 =90 ( A B) = 45 .222(方法2):设 DCE =x , ACE = : ,. BCD 二.x : = ADC = 1 B根据题意有-，两式相加，得2x = A_B =90，即x =45 .lx + B =NBEC =a 七乙A【例22】已知正方形ABCD的面积是16cm2 , P是正方形外一点，.：APB是等腰直角三角形，求 Sapb .【考点】几何操作与尺规作图【难度】2星【题型】解答 【关键词】【解析】【答案】本题的关键是等腰直角三角形的直角顶点（或腰）

22、不确定，需分类进行探索.若按直角顶点分类，如图和图应有三种情形：.APB为直角或.ABP为直角或.BAP为直角.若按边分类则有两种情形：AB边为腰或为底边，故面积为 4cm2或8cm2 .【例23】已知等边：ABC，分别延长BA到E ,BC到D，使AE =BD .求证:EC =ED .【考点】等边三角形的性质和判定,【难度】4星【题型】解答 【关键词】【解析】（方法1）:如图，延长BD到F，使DF =BC，连EF .因为ABC是等边三角形，所以.B =60，且 AB 二 BC 二 CA 二 DF .又因为AE =BD , DF二BC，所以BE = BF ,厶BEF是等边三角形，即 F =60

23、,且 BE=FE .易证 EBC 幻 EFD，所以 EC = FD（方法2）:如图，过D作DF II CA交BE于F ,E则根据题意，,FBD也是等边三角形.在.ACE 和 FED 中，易证.CAE =. EFD =120 , AC = BC = BD CD 二 AE AF = FE ,AE =BD =FD，所以.：ACE 幻.：FED，所以 EC =ED .【例24】如图所示，AD是.ABC的角平分线，DE、DF分别是 ABD 和 ACD的高，.DEF =20，则 NBAC等于.【考点】等腰三角形的性质及判定【难度】2星【题型】填空【关键词】【解析】易证AEDAFD , DEF为等腰三角形.

24、又由 ZDEF =20 ,则.EDF =180 -40 =140 ,贝LZBAC =360 -90 -90 一140 =40 .【答案】40【例25】如图：E、A、C三点在同一条直线上，三角形ABC和三角形CDE是顶角相等的等腰三角形，其中BC和CD为等腰三角形的底边，F是AE的中点，P是BC边的中点，Q是CD边的中点.求证：FP =FQ ;求证：ZPFQ ZA .BBB【考点】等腰三角形的性质及判定，轴对称类全等问题SPDQ【难度】【题型】解答【关键词】2009年学而思杯【解析】【答案】解法1 :作B点关于AC的对称点B，连接BC和AB，设.Am,则.CED=，ZB ZB ZACB ZACB

25、 NACD =90 一，所以 C、D、B共线.2设P关于AC的对称点为P，连接EQ、AP和FP，则FP二FP.因为三角形ABC和三角形CDE都是等腰三角形，P是等腰三角形 ABC底边上的中点，Q是等腰三角形CDE底边上的中点，所以 EQ_CD , AP_CB.所以EQ / QP，四边形AEQP为直角梯形.作该梯形的中位线 FS，贝U FS / EQ / AP,所以FS _QP , FS是DP的垂直平分线，所以三角形FQP是等腰三角形，FQ=FP=：FP .PFQ 二/PFC CFQ =/PFC CFQ ;因为三角形FQP是等腰三角形，所以 QFS = PFS ;.PFC CFQ 二 CFS P

26、FS . CFS - QFS = 2 CFS .因为 FS / AP，所以 2 CFS =2. CAP;三角形ABC是等腰三角形2/CAP /CAB ZA .综上 ZPFQ za .解法2:连接AP、EQ，作FH _ BC , FG CD，垂足为H和G，作Q关于AC的对称点Q 有两个等腰三角形的顶角相等，可很容易得到底角也向等，所以AC是BCD的角平分线，所以Q在BC , H和G关于AC对称.容易证明 APBC , EQ CD，所以EQ _ BC，所以AP /FH /EQ,在梯形APQ E中，FH是中位线，所以H是PQ的中点，根据对称性，QG 二QH 二PH，又因为 FH 二 FG ,. FH

27、P = FGQ =90，所以. ：FHP 三. ：FGQ，所以 FP = FQ ,.PFQ 二/HFQ -/QFG . PFH =/HFQ =180 -/BCD =180 -2 BCA=/A.E , D，有 ED =DA =EC =BC .【例26】在.ABC中，AB =AC , AB的延长线上截取 求证：.BAC =100 .【考点】等腰三角形的性质及判定【难度】5星【题型】解答【关键词】 【解析】如图过 D作BC II DF，过C作BD II FC .DF -CF交于F，连接EFBCIIDF,bdII CF.DBCF为平行四:边形 BD=FC,BC=PFECAD,AC=ABAE=DB=CF

28、 .DBIICF ACF = EAD 二.AED .在 DAE 与 EFC 中.DE =EC: ZDEA ZECFIEA =CF DAE 也 EFC (SAS) EF =DA =DE =EC = BC = DF EDF为等边三角形./BC II DFABC - . ADF ,设.ABC = ADF =a . EDA =60 -a , EAD = AED =2a ,/又有/EDA =180 -4a ,有60 -a =180 -4a ,a =40 ,. BAC =100 .【例27】如图所示，两条长度为1的线段AB和CD相交于O点，且.AOC =60，求证：AC BD _ 1 .【考点】等边三角形

29、的性质和判定，平行四边形的性质和判定，【难度】4星【题型】解答【关键词】【解析】略【答案】考虑将 AC、BD和AB集中到同一个三角形中，以便运用三角形的不等关系.作CB 丁 AB且CB = AB，则四边形 ABB C是平行四边形，从而 AC=BB（教师可告诉学生：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），在 BB D中可得BB BD _ B D ,即 AC BD _B D .由于 CD = AB =CB =1 , 一B CD = AOC =60 ,所以.B CD是等边三角形，故 BD =1，所以AC BD _1 .【例28】在六边形 ABCDEF 中，AB II DE , BC II EF ,

30、 CD II AF，对边之差BC -EF二ED -AB二AF - CD 0 求证：六边形 ABCDEF的各内角均相等.【考点】等边三角形的性质和判定，平行四边形的性质和判定, 【难度】4星【题型】解答 【关键词】【解析】题设条件中有三组对边平行，且这三组对边之差相等，要证明六边形ABCDEF各内角相等，也就是都等于120；，为此，我们可以设法创造出 60角，这使我们想到通过平移构造出一个等边三角形来进 行求解.【答案】平移线段 DE到CR，平移线段BC到AQ，平移线段FA到EP，如图所示，得到.：PQR .易知 PQ 二 AQ AP =BC EF , RQ 二 RC QC 二 ED AB ,

31、PR 二 PE RE 二 AF _ CD .由于 BC - EF =ED -AB = AF -CD，所以 PQ 二 RQ 二 PR ,即.PQR 是等边三角形，.PQR =. QRP =. RPQ =60.故.DEF =. DER . REF = QRP . RPQ =60；60； =120；.CDECRE =180/QRP =180： -60： =120：.同理， ZDCB ZCBA ZBAF ZAFE =120 ,所以六边形ABCDEF的各内角均相等.【点评】六边形的内角之和为720，要证各内角均相等，即证每个内角都等于120，因此，问题就是要在对边平行且对边之差相等的条件下证明六边形的每

32、个角都为120 而图中没有直接给出120的角，怎么办？我们只要有了 60的角就会产生120的角，而60的角来自于等边三角形的内角，题 设条件中三组对边之差相等，且三组对边分别平行，这就启示我们可以通过平移将“三组对边之差” 集中在一个三角形中.120，连续四边的长依次是1、3、3、2，则该六边形的周【例29】如图所示，一个六边形的六个内角都是 长是多少？C3DAF【考点】等边三角形的性质和判定【难度】4星【题型】解答【关键词】【解析】略【答案】（方法1）:如图所示，由于六边形的内角都是120 ，易知CD II AF , AB II ED , BC II FE .把BC、DE、FA分别平移至 A

33、Ci、CEi、EA，可得等边AGEi,其边长 C1E =CE1 CG 二DE BA=1.在此基础上可求得 EF、AF的长，进而求得六边形的周长：EF =AA =AG -GA =BC -1=3 -1=2 ,AF =A E =AE1 E1 E =1 CD =1 3 =4 ,故六边形的周长是13322 - 15 .（方法2）:如图所示，将六边形补全为等边.PQR .易得PQR的边长为1 37 ,贝U EF =7 -3 -2 =2 , FA =7 -1 -2 =4 ,故六边形的周长是1 3 3 2 2=15 .【例30】如图所示， MBC是等边三角形， M1B1C1的边AB1、B1C1、GA交ABC各边分别于C2、C3、A、2 2 2A、B2、B3.已知AaC C2B