2019高考数学理科二轮复习名师精编第一篇微型专题练习：微专题22不等式选讲Word版含解析

1、最新 料推荐 22 不等式选讲1. 已知函数 f ( x) =m-|x- 3| , mR,不等式 f ( x) 2 的解集为 x| 2x2, 得 m-|x- 3| 2,所以 5-mx2 的解集为 (2,4),所以 5-m=2 且 m+1=4, 解得 m=3.(2) 关于 x 的不等式 |x-a| f ( x) 恒成立 , 等价于 |x-a|+|x-3| 3恒成立 ,即 |a- 3| 3恒成立 , 解得 a6或 a0.2. 已知函数 f ( x) =|x+m|+| 2x- 1|.(1) 当 m=-1 时 , 求不等式 f ( x) 2的解集 ;(2) 若 f ( x) | 2x+1| 的解集包含

2、, 求 m的取值范围 .解析 ?(1) 当 m=-1 时, f ( x) =|x- 1|+| 2x- 1| ,当 x1时, f ( x) =3x- 22, 解得 1 x ;当 x1 时, f ( x) =x2, 解得 x1 的解集 ;(2) 当 x(0,1) 时, 不等式 f ( x) x 成立 , 求 a 的取值范围 .解析 ?(1) 当 a=2 时, f ( x) =|x+ 1|-| 2x- 1| ,-,-,即 f ( x) =, -,-,-,-,由 f ( x) 1 得-或 -或,解得 x 或x1 的解集为.(2) 当 x(0,1) 时, |x+ 1|-|ax- 1|x 成立等价于当 x

3、(0,1)时 , |ax- 1|0, 由|ax- 1| 1, 解得 0x ,所以 1, 故 00, b0, a2 +b2=a+b.证明 :(1)( a+b) 22( a2+b2);(2)( a+1)( b+1) 4.解析 ? (1) 因为 ( a+b) 2- 2( a2+b2) =2ab-a2-b 2=- ( a-b) 20, 所以 ( a+b) 22( a2+b2) .(2) 由(1) 及 a2 +b2=a+b, 得 0a+b2.因为 ( a+1)( b+1) ()()=4, 当且仅当 a=b=1时等号成立 ,所以 ( a+1)( b+1) 4.能力 1 ? 会解绝对值不等式【例 1】已知函

4、数 f ( x) =|x-a|.2最新 料推荐 (1) 若 a=1, 求不等式 f (2 x) -f ( x+1) 2的解集 ;(2) 若 f (2 x) -x 2的解集为 R,求 a 的取值范围 .解析 ?(1) 当 a=1 时, f ( x) =|x- 1| , 则 f (2 x) -f ( x+1) 2, 即| 2x- 1|-|x|2.当 x0时, 原不等式等价于 - (2 x- 1) +x2, 解得 x- 1;当 0x2;(2) 当 a=0 时, 不等式 f ( x) t 2-t- 7 对 xR恒成立 , 求实数 t 的取值范围 .当 a=1 时, 由 f ( x) 2 得| 2x+1

5、|-|x- 1| 2,解析 ?(1)故有-,-,或或-,- ( -),即 x- 4 或 1,即 x ,3最新 料推荐 故原不等式的解集为- 或.(2) 当 a=0 时, f ( x) =| 2x|-|x-1|=- -,-,由函数 f ( x) 的图象 ( 图略 ) 知, f ( x) min=f (0) =-1.由 - 1t 2-t- 7 得 t 2-t- 60, 解得 - 2t0, b0, 且 a2+b2=1, 证明 :(1)4 a2+b2 9a2b2;(2)( a3+b3 ) 20, b0, a,b(0,1),32323322aa , b b , a +b a +b,又 a2+b2=1,

6、( a3+b3) 20 的解集为 R,求实数 a 的取值范围 .解析 ? (1) f(x) =|x+ 2|+|x- 1| |x+ 2- ( x- 1) |= 3,函数 f ( x) 的最小值为 3, 此时 x 的取值范围为 - 2,1 .(2) 不等式 f ( x) +ax-10 的解集为 R,等价于 f ( x) -ax+1 成立时 ,即函数 f ( x) 的图象恒位于直线 y=-ax+1 的上方 .-,-,f(x) =|x+ 2|+|x- 1|=, -,又函数 y=-ax+1 表示过点 (0,1),斜率为 -a 的一条直线 , 如图所示 ,由题意可知 , -a -, 解得 - 2a1.-

7、-实数 a 的取值范围为 ( - 2,1) .5最新 料推荐 (1) 求含绝对值的函数最值时 , 常用的方法有三种 : 利用绝对值的几何意义 ; 利用绝对值三角不等式 , 即|a|+|b|a b| |a|-|b|; 利用零点分区间法 .(2) 恒成立问题的解决方法 : f(x) m恒成立 , 须有f ( x) maxm恒成立 , 须有 f ( x) minm; 不等式的解集为 R,即不等式恒成立 ; 不等式的解集为空集 , 即不等式无解 .已知函数 f ( x) =| 2x-a|+|x-1| , aR.(1) 若不等式 f ( x) 2-|x- 1| 有解 , 求实数 a 的取值范围 ;(2)

8、 当 a2 时, 函数 f ( x) 的最小值为 3, 求实数 a 的值 .解析 ?(1) 由 f ( x) 2-|x- 1| , 得 x-+|x- 1| 1.由绝对值的几何意义知x-+|x- 1| - 1 .不等式 f ( x) 2-|x- 1| 有解 , - 1 1, 解得 0 a4.实数 a 的取值范围为 0,4 .(2) 函数 f ( x) =| 2x-a|+|x-1| 的零点为 和 1, 当 a2 时, 1,-,f(x) = -,- - (),作出函数 f ( x) 的图象 , 由图可知 f ( x) 在 - , 上单调递减 , 在, 上单调递增 ,f(x) min=f=- +1=3

9、, 解得 a=-42|x|.(2) 若 f ( x) a2+2b2+3c2 对任意 xR恒成立 , 求证 : ac+2bc .解析 ?(1)f ( x) 2|x| ? x2+|x- 2| 2|x|?,或-,或,? 2 或 01 或x0?2 或 1,-xxx2|x| 的解集为 ( - ,1) (2, +) .(2) 当 x2时 , f ( x) =x2+x- 24;当 x0, b0, a+b=1. 求证 :(1) + ;(2)+2.解析 ?(1) a0, b0, a+b=1, 1= a+( b+1), + =( 1)= ,a+ b+当且仅当 b+1=2a, 即 a= , b= 时, 等号成立 .

10、(2)( 分析法 ) 要证+2 ,只需证 2a+1+2b+1+2()() 8,a0, b0, a+b=1,只需证 ()() 2.7最新 料推荐 由基本不等式可得 ()() () () =2,由此逆推而上 , 则不等式+2 成立 .3. 已知函数 f ( x) =|ax- 1|.(1) 当 a=3 时, 解不等式 f ( x) |x+ 1| ;(2) 若关于 x 的不等式 f ( x) +f ( -x ) |m-1| 有实数解 , 求 m的取值范围 .解析 ?(1) 当 a=3 时, f ( x) |x+ 1| 化为 | 3x- 1| |x+ 1| ,两边平方得 9x2- 6x+1 x2+2x+

11、1, 即 8x( x- 1) 0, 解得 x0或x1,所以原不等式的解集为( - ,0 1, +) .(2) f ( x) +f ( -x ) |m-1| 等价于 |ax- 1|+|-ax-1|m- 1| ,因为 |ax- 1|+|-ax-1| |ax- 1-ax- 1|= 2, 所以 f ( x) +f ( -x ) 的最小值为 2,因为不等式 f ( x) +f ( -x ) |m-1| 有实数解 ,所以 2|m-1| , 即 m-12,解得 m3.4. 已知函数 f ( x) =|tx- 3|+|x- 1| ( t 为常数 ) .(1) 当 t= 4 时, 求不等式 f ( x) 2的解

12、集 ;(2) 当 t= 1 时, 若函数 f ( x) 的最小值为 M, 正数 a, b 满足 + =M, 证明: a+b9.解析 ?(1) 当 t= 4 时, f ( x) 2等价于 | 4x- 3|+|x- 1| 2.当 x1时,4 x- 3+x-12, x ;当 x1 时,4 x- 3-x+ 12, 3x4, 即 x , 无解 ;当 x 时,3 - 4x+1-x 2, 5x2, x .综上 , 不等式 f ( x) 2的解集为或.(2) 当 t= 1 时, f ( x) =|x- 3|+|x- 1| | ( x- 3) - ( x- 1) |= 2, + =M=2, 即 + =1,a+b

13、=( a+b) =5+ +5+2=9, 当且仅当 2a=b=6时, 等号成立 .5. 已知函数 f ( x) =|x- 2|+|x- 1|.(1) 求不等式 f ( x) 5的解集 ;8最新 料推荐 (2) 若函数 g( x) =x2 - 2x+|a 2- 3| 的最小值不小于 f ( x) 的最小值 , 求 a 的取值范围 .解析 ? (1) 由 f ( x) 5, 得 |x- 2|+|x- 1| 5, 或,或,-解得 2x4或 1x2或- 1x-2, g( x) =x2+2ax+ , 若对于 x - , 都有f( ) () 成x g x立, 求 a 的取值范围 .解析 ?(1) 当 a=6 时, f ( x) =| 2x+4|+| 2x- 6| , f ( x) 12 等价于|x+ 2|+|x- 3| 6.-,因为 |x+ 2|+|x- 3|=, -,-,-,所以 |x+ 2|+|