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1、第五章 第六节 定积分在物理学上的应用教学目的：理解和掌握用定积分的元素法，解决物理上的实际问题 功，水压力和引力教学重点：如何将物理问题抽象成数学问题教学难点：元素法的正确运用教学内容：一、变力沿直线所作的功例1 半径为的球沉入水中，球的上部与水面相切，球的比重为 1 ，现将这球从水中取出，需作多少功?解：建立如图所示的坐标系将高为的球缺取出水面，所需的力为：其中：是球的重力，表示将球缺取出之后，仍浸在水中的另一部分球缺所受的浮力。由球缺公式 有 从而 十分明显，表示取出水面的球缺的重力。即：仅有重力作功，而浮力并未作功，且这是一个变力。从水中将球取出所作的功等于变力从改变至时所作的功。取为

2、积分变量，则，对于上的任一小区间，变力从到这段距离内所作的功。这就是功元素，并且功为另解 建立如图所示的坐标系取为积分变量， 则 ，在 上任取一个小区间，则此小区间对应于球体上的一块小薄片，此薄片的体积为由于球的比重为 1 ， 故此薄片质量约为将此薄片取出水面所作的功应等于克服薄片重力所作的功，而将此薄片取出水面需移动距离为 。故功元素为 二、水压力在水深为处的压强为，这里是水的比重。如果有一面积为的平板水平地放置在水深处，那未，平板一侧所受的水压力为 若平板非水平地放置在水中，那么由于水深不同之处的压强不相等。此时，平板一侧所受的水压力就必须使用定积分来计算。例2 边长为和的矩形薄板，与水面

3、成角斜沉于水中，长边平行于水面而位于水深处。设，水的比重为，试求薄板所受的水压力。解：由于薄板与水面成角斜放置于水中，则它位于水中最深的位置是取为积分变量， 则 (注意： 表示水深)在中任取一小区间，与此小区间相对应的薄板上一个小窄条形的面积是 它所承受的水压力约为 于是，压力元素为 这一结果的实际意义十分明显正好是薄板水平放置在深度为的水中时所受到的压力；而是将薄板斜放置所产生的压力，它相当于将薄板水平放置在深度为处所受的水压力。三、引力由物理学知道：质量为、，相距为的两质点间的引力大小为为引力系数。引力的方向沿着两质点的连线方向。如果要计算一根细棒对一个质点的引力，由于细棒上各点与该质点的距离是变化的，且各点对该质点的引力方向也是变化的，便不能简单地用上述公式来作计算了。例3 设有一半径为， 中心角为的圆弧形细棒， 其线密度为常数， 在圆心处有一质量为的质点， 试求这细棒对质点的引力。解决这类问题，一般来说，应选择一个适当的坐标系。解：建立如图所示的坐标系，质点位于坐标原点，该圆弧的参方程为在圆弧细棒上截取一小段，其长度为，它的质量为，到原点的距离为，其夹角为，它对质点的引力的大小约为在水平方向(即轴)上的分力的近似值为而 于是，我们得到了细棒对质点的引力在水平方向的分力的元素，故 类似地 因此，引力

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