高中三角函数常考知识点及练习题

1、高中三角函数常考知识点及练习题1.螄任意角的三角函数：（1）膄弧长公式：l=aR R 为圆弧的半径，a为圆心角弧度数，I 为弧长。（2）（3）衿扇形的面积公式：S = 1|R R 为圆弧的半径，|为弧长。2（4）rrseca , csca 二一.xy商数关系:, sin a tan a =cosa（5）袀三角函数（6个）表示：a为任意角，角a的终边上任意点P 的坐标为（x,y），它与原点的距离为r （r 0）那么角a的正弦、 余弦、正切、余切、正割、余割分别是：sina 崇,cosa , tana rrx(6)（7）蚂同角三角函数关系式:袂倒数关系：tan acota=1, cosa cot

2、a =sin a罿平方关系：sin2 a cos2 a = 1（8）（9）蚆诱导公式：（奇变偶不变，符号看象限）k 二/2+a所谓奇偶指的是整数k的奇偶性莄函数蚁2.两角和与差的三角函数:聿（1）两角和与差公式:肇 tana（a 二 L） 口注：公式的逆用或者变形tan a 二 tan :1 tan a tan :袂（2）二倍角公式:蒀 tan 2a2ta na1 -ta n2a从二倍角的余弦公式里面可得出腿降幕公式:cos a 二1 cos2a2.21 cos2asin a 二蒈（3）半角公式（可由降幕公式推导出）tanlsin_/-C0Sa2 2cos-2士 Ji +cosa亠 1 -co

3、sa1 cos asin a1 cosa1 -cosasin a蒃3.三角函数的图像和性质：（其中kz）艿三角函数薅定义域芅（-乂，+OO）节(-O, +OO)荿值域羅-1,1螃-1,1羀(-O, +OO)葿最小正周期莆奇偶性蒅奇蝿偶葿奇螇单调袃单调递蕿单调递薅单调递性增增增螂单调递袄单调递减减薁对称性蚈零值点芅最值点肃 x =2kJi，蚆无莀max =1 ；螈x = (2k+l)兀，螅4.函数y=Asin( x j的图像与性质:莃(本节知识考察一般能化成形如y二Asin()图像及性质)(2)袈函数 y = Asin(，X )禾口 y =Acos()的周期都是T =(1)(3)(4) 肇函数y

4、 = Ata n(x )和y = Acot(x 的周期都是T = 一(5)(5) 芃五点法作八Asin(x )的简图，设t x：，取0、丄、二、2、2二来求相应x的值以及对应的y值再描点作图。2(7)(6) 膂关于平移伸缩变换可具体参考函数平移伸缩变换，提倡先平移后伸缩。切记每一个变换总是对字母x而言，即图像变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少。(附上函数平 移伸缩变换)：羈函数的平移变换：蒈 y = f(x)，y=f(x-a)(a 0)将y二f(x)图像沿x轴向左(右)平移a个单位羄(左加右减)羁 y = f(x)，y = f(x)b(b 0)将y=f(x)图像沿y轴向上(下)平

5、移b个单位肇(上加下减)蚄函数的伸缩变换:莂 八f(x) 八f(wx)(w .0)将y二f(x)图像纵坐标不变，横坐 标缩到原来的丄倍(w 1缩短，0：w伸长)w虿y = f(x)； y = Af (x)(A . 0)将y = f(x)图像横坐标不变，纵坐标伸长到原来的A倍(A 1伸长，0：A：1缩短)蚆函数的对称变换： 薃y = f (x)； y = f ( x)将y = f (x)图像绕y轴翻折180 (整体 翻折)蚂(对三角函数来说：图像关于x轴对称)芀y二f(x)y = -f(x)将y = f(x)图像绕x轴翻折180 (整体翻 折)螆(对三角函数来说：图像关于y轴对称)羄y=f(x)

6、T y=f(x)将y = f(x)图像在y轴右侧保留，并把右侧图像绕y轴翻折到左侧（偶函数局部翻折）肀y=f（x）y=f（x）保留y=f（x）在x轴上方图像，x轴下方图像绕x轴翻折上去（局部翻动）聿5.三角变换：螆三角变换是运算化简过程中运用较多的变换，提高三角变换能力，要学会创设条件，灵活运用三角公式，掌握运算、化简的方法技能。（1）（2）莅角的变换：角之间的和差、倍半、互补、互余等关系对角变换，还可作添加、删除角的恒等变形（3）（4）袂函数名称变换：三角变形中常常需要变函数名称为同名函 数。采用公式：astrcsa2 b2 s t n)(其 中02（6）袅常数代换：在三角函数运算、求值、证

7、明中有时候需将常数转化为三角函数，特别是常数“ 1(5)(8) 螆幕的变换：对次数较高的三角函数式一般采用降幕处理， 有时需要升幕例如：.1 cosa常用升幕化为有理式。(9)(9) 芀公式变形：三角公式是变换的依据，应熟练掌握三角 公式的顺用、逆用及变形。(11)(10) 袁结构变化：在三角变换中常常对条件、结论的结构进 行调整，或重新分组，或移项，或变乘为除，或求差等等。 在形式上有时需要和差与积的互化、分解因式、配方等。(13)(11) 羅消元法：如果所要证明的式子中不含已知条件中的某 些变量，可用此法(15)(12) 羃思路变换：如果一种思路无法再走下去，试着改变自 己的思路，通过分析

8、比较去选择更合适、简捷的方法去解题 目。(17)(13) 羂利用方程思想解三角函数。如对于以下三个式子：sina cosa ， sin acosa薀sin a-cosa，已知其中一个式子的值，其余二式均可求出，且必要时可以换元。肅6.函数的最值(几种常见的函数及其最值的求法)：莄 y二asi nx b (或acosx b)型：利用三角函数的值域，须注意对字母的讨论螄y=asi nx bcosx型：引进辅助角化成y = ；a2 b2s in (x)再利用有界性荿y =asin2x bsin x c型：配方后求二次函数的最值，应注意 sinx兰1的约束膅y=asinx b型：反解出sinx，化归为

9、sin x空1解决csin x +d螅 y =a(sin x cosx) bsin x cosx c型： 常 用到换 元法： t 二sinx cosx， 但须注意t的取值范围：t兰血。膂(3)三角形中常用的关系：AR亠C膈 sinA=sin(B C)，cosA - -cos(B C)，sin* 二 cos_B -，2 2芅sin2A - -sin2(B C)，cos2A 二 cos2( B C)膆练习题:袃 1. （08 全国一一 6） y = （sin x cosx）2 _1 是（）膁A.最小正周期为2冗的偶函数莅C.最小正周期为n的偶函数节2. （08全国一 9）为得到函数y =sinx的

10、图像（）莁A.向左平移丄个长度单位6罿C.向左平移55个长度单位6莅 3.（08 全国二 1）若 sin： ：0且 tanB.最小正周期为2冗的奇函数D.最小正周期为n的奇函数y = cos i x，只需将函数I 3丿B.向右平移丄个长度单位6D.向右平移X个长度单位6 - 0是，则是（）蚃A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角肃 4. （08 全国二 10）.函数 f（x）二 sin x-cosx 的最大值为（）A. 1B.2 C .3 D . 2蚈5.（08安徽卷8）函数y二sin（2x 】）图像的对称轴方程可能是（）3蝿 A. xB. xC. xD. x = -6 12

11、 6 12肄6. （08福建卷7）函数y=cosx（x R）的图象向左平移上个单位后，2得到函数y=g（x）的图象，贝S g（x）的解析式为（）A.-sin xB.sin x C.-cos x D.cos x蒁 7. (08 广东卷 5)已知函数 f (x) = (1 cos2x)sin2x,x R，则 f (x)是( )螁A、最小正周期为:的奇函数 B 、最小正周期为-的奇2函数衿C、最小正周期为二的偶函数 D、最小正周期为-的偶2函数蒅8. （ 08海南卷11）函数f（x）=cos2x 2sin x的最小值和最大值分别为（）芃 A. - 3, 1B. -2, 2C. - 3, 32D.-2

12、,蒀9. （ 08湖北卷7）将函数y=si n（x）的图象F向右平移二个单位长3度得到图象F,若F的一条对称轴是直线 -,则二的一个可能取1值是（）羈 A. B.1211_ n125-Tt12C.11JI12D.祎10. （08江西卷6）函数f（x） 沁 x是（）sin x 2sin2蚁A.以4二为周期的偶函数B.以2二为周期的奇函数艿C.以2二为周期的偶函数D.以4为周期的奇函数肇11.若动直线x=a与函数f（x）=sinx和g（x） =cosx的图像分别交于M , N两点，贝卩MN的最大值为（）A. 1 B.2 C.3D. 2羃12. （08山东卷10）已知5，=；、3，则sin送的值是（

13、）莃A.2 血B 2/3C4D.-5555肇13.（08陕西卷1） sin330等于（)A . - 3 B . -1 C .12 2 2D.J2肇14.(08 四川卷 4) tanx cotx cos2 x =() A. tanx B . sinx C . cosxD . cotx莄15. （08天津卷6）把函数y =sinx（xR）的图象上所有的点向左平 行移动匸个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的31倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是（）2x 二A. y =sin 2x , x R B. y = sin, x RI 3丿12 6丿袁 C. y =sin I 2x D

14、. y=sin 2x , x RI 3丿肁 16. （08 天津卷 9）设 a = sin 片,b = cos2. , c =tan 片，贝卩（）月膈 A. a : b : c B. a : c : bC. b c aD. b a ： c螅17. （08浙江卷2）函数y = （sin x cosx）2 1的最小正周期是（）薂 A.B .二 C. D. 2二2 2袀18.（ 08浙江卷7 ）在同一平面直角坐标系中，函数y =cos（X ）（x . 0,2二）的图象和直线y J的交点个数是（）A.02 2 2B.1C.2D.4芈19. （ 08北京卷9）若角:的终边经过点P（1,-2），则tan

15、2的值为 .膆 20. （08 江苏卷 1） f x = cos x - I 6丿5贝，= .肀21. （08辽宁卷16 ）设0,，贝卩函数 厂2皿 1的最小值 I 2 丿sin 2x为.蚈22. (08浙江卷12)若sin(工代)=3，则cos =。25厂?莈23. (08上海卷6)函数f(x) =3sin x +sin(勺+x)的最大值是莂 24. (08 四川卷 17)求函数 y = 74sin xcosx 4cos2 x4cos4 x 的最大 值与最小值。螂25.( 08北京卷15)已知函数 f (x)二 sin2 x .3I 2丿( 0 )的最小正周期为n. ( I)求的值；(H)求

16、函数f (x)在区 间0,上的取值范围.3莇 26.( 08 天津卷 17)已知函数 f (x) = 2cosX 2sinxcosx1(x.0 )的最小值正周期是-.(I)求的值；2蒈(H)求函数f(x)的最大值，并且求使f(x)取得最大值的x的集合.螃 27.(08 安徽卷 17)已知函数 f(x)=cos(2x ) 2sin( x )sin( x )3 44膀(I)求函数f(x)的最小正周期和图象的对称轴方程 蒀(H)求函数f(x)在区间一二二上的值域12 2薈28.(08陕西卷17)已知函数f(x)=2sin cos- -/3si门2兰 + /3 .4 44膄(I)求函数f(x)的最小正

17、周期及最值；袂(II)令g(x) = f x丄，判断函数g(x)的奇偶性，并说明理由. I 3丿腿练习题参考答案：薇 1.D 2.C 3.C 4.B 5.B 6.A 7.D 8.C 9.A 10.A薅 11.B 12.C 13.B 14.D 15.C 16.D 17.B 18.C莀 19. 420. 1021.322.23.23 25羈 24.解：y = 7 -4sin xcosx +4cos2 x -4cos4 x蚇由于函数 “ u-12 6在-1,1 l中的最大值为羆最小值为肂故当sin2x - 一1时y取得最大值10，当sin2x =1时y取得最小值6羁【点评】：此题重点考察三角函数基本公式的变形，配方法，符合函数的值域及最值；螇【突破】：利用倍角公式降幕，利用配方变为复合函数，重视复合函数中间变量的范围是关键；肃 25.解：(I)、1-cos2x 后.小.小1c1f(x)sin 2 - x sin 2 x cos2 x -n 2x 67n6，2 2 2 2 2因此0 sin +6 2因为函数f(x)的最小正周期为n,且0 , 所以亠=冗，解得.=1 . f (x)二sin