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文档简介

1、不含参数但同时含有指、对的不等式的证明 前言：最近几天在数学交流群中学了几道不含参数但同时含有指、对的不等式的证明题，我在这里总结一下，供自己及朋友们学习和交流。题型一、“无厘头”不等式的证明题目1：求证：x1时，exx+1x-1lnx.解析：x1时，exx+1x-1lnxexlnxx2-1lnxx2-1ex,设fx=lnx-x2-1ex,x1,fx=1x-2x-x2+1ex=ex+x3-2x2-xxexx2+1+x3-2x2-xxex=x-12x+1xex0,fx0,fx在1,+单增，fxf1=0,lnxx2-1ex,x1时，exx+1x-1lnx.题目2：证明：当-1x0.解析：-1x0

2、lnx+1+xx-2ex0,令fx= lnx+1+xx-2ex, -1x1ex+2x-2-x2x-22ex=x-22+2x-2-x2x-22ex=2-2xx-22ex0,fx在-1,0单增，fxf0=0,lnx+1+xx-2ex0, 当-1x0.点评：题目1,2均为“无厘头”不等式的证明，没有函数作为铺垫，很难找到突破口。一般而言需要对不等式进行变形，基本原则为“对数单身狗”，在证明过程中利用了不等式exx2+1进行放缩，在考试时要先证明再使用，这里我就偷懒了，当然继续求导也是可以证明出来的。题型二、函数解答题中不等式的证明题目3：已知函数fx=ex-x2.1求曲线fx在x=1处的切线方程；2

3、求证：当x0时，ex+2-ex-1xlnx+1.解析：1fx在x=1处的切线方程为y=e-2x+1;2先证：x0时，fxe-2x+1,令gx=fx-e-2x+1,g1=0,gx=ex-2x-e+2,g1=0,gx=ex-2,易得gx在0,ln2单减，ln2,1单增，g0=3-e0,gln20, fxe-2x+1,要证当x0时，ex+2-ex-1xlnx+1只需证x2+e-2x+1+2-ex-1xlnx+1即证xlnx+1,以下证明略。题目4：设函数fx=lnx+ax2+a+2x+1(aR).1讨论函数fx的单调性；2设aZ,若对任意的x0,fx0恒成立，求整数a的最大值；3求证：当 x0时，ex-xlnx+2x3-x2+x-10.解析：（1）略，（2）整数a的最大值为-2,（3）x0时，ex-xlnx+2x3-x2+x-10exx-x+1xlnx-2x2-1exx-x+1x+2lnx-2x2+1=fx,由2知fx0恒成立，令gx=exx-x+1x+2,x0,gx=x-1ex-x-1x2,ex-x-10,gx在0,1单减，1,+单增,gxg1=e0,exx-x+1x+2lnx-2x2+1,点评：题目3,4都是以函数为载体证明含指对的不等式，一般方法是利用前面的信息对不等式进行变形。题目4的不等式因为左右没取等号，故有很大的操作空间，比如可以利用e

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