向量的运算法则

1、（1）实数与向量的运算法则：设、为实数，则有：1）结合律：。2）分配律：，。（2）向量的数量积运算法则：1）。2）。3）。（3）平面向量的基本定理。是同一平面内的两个不共线向量，则对于这一平面内的任何一向量，有且仅有一对实数，满足。（4）与的数量积的计算公式及几何意义：，数量积等于的长度与在的方向上的投影的乘积。（5）平面向量的运算法则。1）设，则+。2）设，则-。 3）设点A，B，则。4）设，则。5）设，则。（6）两向量的夹角公式：（，）。（7）平面两点间的距离公式：（A，B）。（8）向量的平行与垂直：设，且0，则有：1）|。2） （0） 0。（9）线段的定比分公式：设，是线段的分点，是实数

2、，且，则（）。（10）三角形的重心公式：ABC三个顶点的坐标分别为、，则ABC的重心的坐标为。（11）平移公式： 。（12）关于向量平移的结论。1）点按向量平移后得到点。2）函数的图像按向量平移后得到图像:。3）图像按向量平移后得到图像:，则为。4）曲线:按向量平移后得到图像:。设a=（x，y），b=(x，y)。1、向量的加法向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。 向量的加法OB+OA=OC。a+b=(x+x，y+y)。a+0=0+a=a。向量加法的运算律：交换律：a+b=b+a；结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。12、向量的减法如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，a

3、+b=0. 0的反向量为0AB-AC=CB. 即“共同起点，指向被 向量的减法减”a=(x,y)b=(x,y) 则a-b=(x-x,y-y).如图：c=a-b 以b的结束为起点，a的结束为终点。3、向量的数乘实数和向量a的乘积是一个向量，记作a，且a=a。当0时，a与a同方向当1时，表示向量a的有向线段在原方向（0）或反方向（0）上伸长为原来的倍当0）或反方向（0）上缩短为原来的倍。数与向量的乘法满足下面的运算律结合律：(a)b=(ab)=(ab)。向量对于数的分配律（第一分配律）：(+)a=a+a.数对于向量的分配律（第二分配律）：(a+b)=a+b.数乘向量的消去律： 如果实数0且a=b，

4、那么a=b。 如果a0且a=a，那么=。24、向量的数量积定义：已知两个非零向量a,b。作OA=a,OB=b,则角AOB称作向量a和向量b的夹角，记作a,b并规定0a,b定义：两个向量的数量积（内积、点积）是一个数量（没有方向），记作ab。若a、b不共线，则ab=|a|b|cosa，b（依定义有：cosa，b=ab / |a|b|）；若a、b共线，则ab=ab。向量的数量积的坐标表示：ab=xx+yy。向量的数量积的运算律ab=ba（交换律）(a)b=(ab)(关于数乘法的结合律)（a+b)c=ac+bc（分配律）向量的数量积的性质aa=|a|的平方。ab =ab=0。|ab|a|b|。（该公

5、式证明如下：|ab|=|a|b|cos| 因为0|cos|1，所以|ab|a|b|）向量的数量积与实数运算的主要不同点1向量的数量积不满足结合律，即：(ab)ca(bc)；例如：(ab)2a2b2。2向量的数量积不满足消去律，即：由 ab=ac (a0)，推不出 b=c。3|ab|与|a|b|不等价4由 |a|=|b| ，推不出 a=b或a=-b。5、向量的向量积定义：两个向量a和b的向量积 向量的几何表示（外积、叉积）是一个向量，记作ab（这里“”并不是乘号，只是一种表示方法，与“”不同，也可记做“”）。若a、b不共线，则ab的模是：ab=|a|b|sina，b；ab的方向是：垂直于a和b，

6、且a、b和ab按这个次序构成右手系。若a、b垂直，则ab=0。向量的向量积性质：ab是以a和b为边的平行四边形面积。aa=0。a垂直b=ab=0向量的向量积运算律ab=-ba（a）b=（ab）=a（b）a（b+c）=ab+ac.注：向量没有除法，“向量AB/向量CD”是没有意义的。6、三向量的混合积定义：给定空间三向量a、b、c，向量a、b的向量积ab，再和向量c作数量积(ab)c， 向量的混合积所得的数叫做三向量a、b、c的混合积，记作(a,b,c)或(abc)，即(abc)=(a,b,c)=(ab)c混合积具有下列性质：1三个不共面向量a、b、c的混合积的绝对值等于以a、b、c为棱的平行六

7、面体的体积V，并且当a、b、c构成右手系时混合积是正数；当a、b、c构成左手系时，混合积是负数，即(abc)=V（当a、b、c构成右手系时=1；当a、b、c构成左手系时=-1）2上性质的推论：三向量a、b、c共面的充要条件是(abc)=03(abc)=(bca)=(cab)=-(bac)=-(cba)=-(acb)4(ab)c=a(bc) 7.例题正方形ABCD,EFGA,CHIK首尾相连，L是EH中点，求证LBGK？设AE=a向量, AG=a, AD=c, AB=c, CH=b,CK=b有 aa=bb=cc=0, a2=a2, b2=b2 ,c2=c2,ab=ab,ac=-ac,ac=ac, bc=bc. bc=-bc*FH=-a+c+c+b LB=FH/2-b