第三节-二叉树模型课件VIP

1、第五讲 期权的价值决定,第一节：期权与期权产品简介 第二节：期权的定价原则 第三节： 二叉树模型 第四节：Black-Scholes定价公式,第三节-二叉树模型,主要内容,第三节：二叉树模型 3.1 二叉树模型简介 单期二叉树模型 两期二叉树模型 多期二叉树模型 3.2.更符合实际的二叉树模型 3.3 二叉树的其他应用,第三节-二叉树模型,第三节-二叉树模型,1979年，J. C. Cox, S. A. Ross 2)含权债券定价：可转债； 3)信用风险度量：如公司债定价，CDS定价等,第三节-二叉树模型,主要内容,第三节：二叉树模型 5.2.1.二叉树模型简介 5.2.2.更符合实际的二叉树

2、模型 5.2.3.奇异期权的二叉树定价,第三节-二叉树模型,一、障碍期权的二叉树模型,第三节-二叉树模型,障碍期权是路径依赖期权，它们的回报，以及它们的价值要受到资产到期前遵循的路径的影响。但是障碍期权的路径依赖的性质是较弱的，因为我们只需要知道这个障碍是否被触发，而并不需要关于路径的其他任何信息,1.障碍期权的性质,第三节-二叉树模型,敲出障碍 当标的资产价格达到敲出障碍水平时，期权合约作废，因此边界条件为 当 时 如果合约中有部分折扣规定的话，边界条件可以修改为,第三节-二叉树模型,敲入障碍 敲入期权在没有到达障碍水平时，有 对于敲入期权来说，其价值在于到达障碍的可能性。如果是一个向上敲入

3、期权，那么在资产价格到达上限的时候，合约的价值 就等于一个相应的常规期权价值,第三节-二叉树模型,敲入和敲出障碍期权的关系 在不考虑折扣R的情况下，具有相同的执行价格、到期时间和障碍水平的敲入期权和敲出期权具有如下的关系： 敲入期权敲出期权 执行价格和时间相同的常规期权 利用这个关系，只需要知道一种障碍期权的价值，就可以得到另外一种障碍期权的价值,第三节-二叉树模型,敲出期权的二叉树定价步骤： 1.生成股价的二叉树 2.确定期末节点的价值：=常规期权的价值 3.倒推定价，根据障碍值确定在节点处是否敲出，如果敲出，价值为0，否则为持有价值； 4.倒推至0时刻，即可得到初始时刻的价值。 这里只有初

4、始时刻的价值有参考价值,第三节-二叉树模型,例3：假设标的资产为不付红利股票,其当前市场价为100元, 无风险连续复利为5%，u=1.1, d=0.9,二叉树步长为1年，试计算该股票3年期的，协议价格为105元，障碍水平为95元的向下敲出欧式看涨期权的价值,二叉树模型下敲出期权的定价,第三节-二叉树模型,53,110,90,121,99,81,100,133.1,108.9,89.1,72.9,Pu=0.76, Pd=0.24,第三节-二叉树模型,54,15.85,0,21.12,2.81,0,11.40,28.1,3.9,0,0,普通看涨期权价值为11.87，障碍期权比较便宜,第三节-二叉树

5、模型,障碍水平的影响,第三节-二叉树模型,二、回望期权的二叉树模型,第三节-二叉树模型,二、回望期权的二叉树模型,回望期权的收益依附于标的资产在某个确定的时段（称为回望时段）中达到的最大或最小价格（又称为回望价），根据是资产价还是执行价采用这个回望价格，回望期权可以分为： 固定执行价期权 浮动执行价期权,第三节-二叉树模型,二叉树模型下回望期权的定价,S=100，d=0.9，u=1.1，执行价格X =105，无风险连续利率 r=5%， 利用3步二叉树计算到期日为3年的固定执行价的欧式回望看涨期权的价格,58,第三节-二叉树模型,股价二叉树,59,110,90,121,99,81,100,133

6、.1,108.9,89.1,72.9,Pu=0.76, Pd=0.24,第三节-二叉树模型,回望期权的二叉树,18.41,0,23.97,0,0,13.31,28.1,16,5,0,执行价为105的回望看涨期权价值为13.31,5,0,0,0,4.75,第三节-二叉树模型,回望期权的数值定价方法 回望期权的定价也经常使用到二叉树模型。但是，在使用二叉树模型的时候，在每个结点需要考虑到当前为止不同路径所导致的不同的最大值或最小值，路径越多，这些值的个数越多，降低了二叉树模型的实用意义 解决方法1、在每个结点，仅对路径函数中具有代表性意义的值进行计算，其他值则用内插法从已知的值中计算得到 解决方法

7、2、回望价和现价S之比 来建立标的资产价格树图并进一步为期权定价,二、回望期权的二叉树模型,第三节-二叉树模型,3、多资产的二叉树模型,对以多资产为标的的衍生产品进行定价，如果随机因素不同，需要合并多个二叉树模型进行，以两个资产为标的的期权为例。 假设有两支股票，波动率为常数 ，两支股票的价格分别有两个布朗运动控制，两个布朗运动的相关系数为，设股票i（i1,2)在单个步长上升的倍数为ui,下降的倍数为di。在每个时间区间上，两只股票的收益有四种情形,1) 都处于上升状态，puu 2)股票1出于上升状态，股票2处于下降状态, pud 3)股票1出于下降状态，股票2处于上升状态, pdu 4)都处

8、于下降状态,pdd,第三节-二叉树模型,共8个参数：N(t=T/N), ui,di和三个概率； 给定t，为和连续时间模型一致，需要选择合适的上升和下降参数及概率值来匹配（或近似匹配）收益(lnSi)的均值、方差和协方差，共5个约束条件和7个未知参数。 在确定了需要的7个参数后，定价基于多资产的期权与定价单资产的期权是类似的，可使用倒推定价法进行定价，差别在于资产个数不同，因此需要考虑资产价格的各种组合,3、多资产的二叉树模型,第三节-二叉树模型,在一个N期的二叉树模型中，两个股票中的每一个在到期日都有N1个节点，因此两个资产的合并二叉树到期日有(N+1)2个可能的节点组合而在每个时期n(n=0

9、,1,N)，都需要考虑(n+1)2个节点组合，因此计算时间是单资产期权计算时间的平方。 类似地，当有3个标的资产时，计算时间是单资产期权的立方，因此计算时间随标的资产个数的增加呈指数增长，这种增长方式同样适用于多个随机因素模型的二叉树图，这将产生严重问题，例如，对于5个资产，N99的情况，需要考虑1005（1百亿）个节点组合，这就是所谓的“维数灾难,3、 多资产的二叉树模型,第三节-二叉树模型,4、可转换债券定价,可转换公司债券是一种附有股票期权的公司债券,它赋予债券持有人可以在规定的时间内(转换期)按照规定的价格(转换价格)将债券转换成公司股票的权利,并且在转股前一直享有债权人的权益. 设计

10、要素： 标的股票 票面利率 转换期 转股价格及其调整 赎回条款 回售条款,第三节-二叉树模型,决定可转债价格的因素,标的股票的价格过程S 转股价格X（相当于期权的执行价） 无风险利率r（风险中性测度下定价） 债券的到期期限T 违约风险D 票面利率C 赎回条款c 回售条款p,4、可转换债券定价,第三节-二叉树模型,一般的可转债条款中规定了转换期，在转换期内，投资者可以将债券转换成股票，因此可转债中包含的期权并非一般的欧式期权，而是与美式期权类似，称为百慕达期权。由于美式期权没有明确的价格解析式，一般用二叉数模型或风险中性定价原理来定价。因此我们可以通过二叉树模型或蒙特卡罗模拟来实现可转债的定价,

11、4、可转换债券定价,第三节-二叉树模型,计算原理,到期日： 可转债价格： Cbond(T)max（债券面值，转股价值） 收益率： 到期日之前： Cbond(i,j)=max(min(持有价值，赎回价值)，转股价值) 持有价值=pcbond(i+1,j+1)+(1-p) cbond(i+1,j)e-r(I,j)t 计算持有价值折现率 r(i,j)pr(i+1,j+1)+(1-p)r(i+1,j,4、可转换债券定价,第三节-二叉树模型,某公司发行期限为9个月的零息票可转换债券，债券面值为100，债券可以在存续期内的任何时刻转换为2股公司股票，也可以在任何时刻以115元的价格赎回。发行时公司股票的价

12、格为50元，股票波动率为30%。市场无风险收益曲线为水平，年收益率为10%。另外该公司债券的收益率曲线也为水平，收益率为15%,试计算该可转换债券的价格,例2,4、可转换债券定价,第三节-二叉树模型,84.07 168.14 0.1,50 100 0.15,38.56 100 0.15,29.74 100 0.15,64.83 129.66 0.1,73.83 147.66 0.1,56.94 113.87 0.12,43.91 97.23 0.15,50 103.56 0.14,计算原理举例,第三节-二叉树模型,1、建立标的股票价格的二叉树； 2、建立可转换债券价格的二叉树,可转债价值的计算,4、可转换债券定价,第三节-二叉树模型,实证时需要考虑的其它因素,息票率； 转股延展期； 转股修正条款； 赎回条款 回售条款,4、可转换债券定价,第三节-二叉树模型,总结,二叉树模型是比较简单且非常实用的方法，尤其在美式期权的估值方面相比其他数值估值方法具有明显优势 但其对路径依赖期权的估值和一篮子期权的估值存在“维数灾难”和“存储量指数增长”的不足 二叉树进