第七章--对冲课件

1、第七章 对冲,金融市场学,第七章-对冲,风险对冲是指通过投资或购买与标的资产收益波动负相关 的某种资产或衍生证券，来冲销标的资产潜在损失的一种策 略。在进行风险对冲时经常用到定量参数有：Delt, Gamma, Vega,Theta和Rho。这些参数一般是某些变量变化对另外一 些变量变化的比率，反映了一些变量对另外一些变量的相对 变化。根据这些参数的变化适时调整头寸，可在一定程度上 达到风险对冲的目的,第七章-对冲,7.1 Delta对冲,下面用一种简单的方法来说明对冲。假设你卖出了一个看涨 期权，并预测当股价上涨1美元时，期权的价格上涨0.5美元（2： 1）关系。那么你的投资组合账户的平衡方

2、法应该是卖出100份看 涨期权，买进50股股票，或者说卖出40份看涨期权与买进20股股 票。 这就是Delta定义为其他变量不变的条件下期权价格变化C与 标的资产价格变化S的比率，即： Delta随着标的资产价格的变化和实践的推移而不断变化，因 此在运用Delta对冲风险时，需要定期调整对冲头寸，否则就要承 担头寸风险暴露的风险,第七章-对冲,对冲、动态规划与理想条件下Black-Scholes运作机制 构造一个投资组合，其中股票数量为a，卖空一份期权，同时持 有一定数量现金或者某一数量的债务，使净头寸为0，换句话说， 投资组合的价值为,第七章-对冲,通过选择 我们得到Delta对冲的另外一种

3、推导方法。若假设对冲计划的初始 时刻资产为 ，通过对资产组合瞬时调整 的实施 以平衡股价S的变化，并保证每一瞬间都有： 写成微分方程的另外一种形式即,早期的Delta对冲 在连续交易中，对冲比率 （7-2） 回头看 该式是离散情形下的对冲，但 U-D=V=衍生产品的价格的差分，且 因此 （7-3） 公式（7-3）是公式（7-2）的离散情形,第七章-对冲,对冲法则：对冲就是卖出一份期权，同时买进股股票。 不支付红利的股票欧式看涨期权的Delta为： Delta=N(d1) (7-4) 根据该式，在对一个欧式看涨期权的空头进行Delta对冲时，在任 何时候需要同时持有数量为N(d1)的标的资产多头

4、。类似的，对一 个欧式看涨期权的多头进行Delta对冲时，在任何时候需要同时持 有数量为N(d1)的标的资产空头。 不支付红利的股票看跌期权的Delta 为： Delta=N(d1) -1 （7-5） 由该式Delta为负值，这意味着看跌期权多头应该利用标的资产的 多头头寸来对冲风险，看跌期权的空头因该利用标的资产的空头 头寸来对冲风险,第七章-对冲,7.2 Theta对冲,Theta定义为在其他变量不变时期权价格的变化相对于权利期间 变化的比率，即 Theta一般是负值，它反映了期权价格随着权力期间的减少而衰减的 程度，因此我们不可能用对冲的方法消除时间变化对期权价格的影响。 不支付红利的股

5、票欧式看涨期权的Theta为： 不支付红利的股票欧式看跌期权的Theta为,第七章-对冲,7.3 Gamma对冲,Gamma反映了期权标的资产价格变动对期权Delta变动的影响程 度。即 （7-9） Gamma大小反映了为保持Delta中性而需要调整的头寸。Delta中性 是指Delta等于零状态。由于标的资产和衍生证券可以是多头和空 头，所以Delta可大于零也可小于零，如果组合内标的资产和衍生证 券数量匹配适当，整个组合的Delta等于零。然而Delta并非固定不 变，随着标的资产价格或者权利区间的变化， Delta也在变化。因 此，进行风险对冲就必须不断随着Delta变化来调整头寸，以保

6、持 Delta中性。在这种调整中，Gamma就是一个有用的指标，因为 Gamma的大小正好反映了为保持Delta中性而需要调整的头寸。 不支付红利股票的欧式看涨和看跌期权的Gamma均为,第七章-对冲,7.4 Vega对冲,Vega定义为在其他变量保持不变的条件下期权价格C变化对标的 资产波动率 变化的比率，即： （7-11） 标的资产价格波动对期权价格有着重大影响，在其他条件一定的条件 下，波动率越大，期权价格越高，波动率越小，期权价格越低。在对 冲风险过程中，Vega是一个重要指标。Black-Scholes期权定价公式 假定标的资产价格波动率为已知常数。这一假定是不符合实际的。所 以在实

7、际交易过程中，投资者要面临着波动率变动的风险，为了规避 这种风险，必须缩小期权的Vega，把波动率变化可能造成的损失降 低到最小。 不支付红利股票的欧式看涨和看跌期权的Vega为,第七章-对冲,7.5 Rho对冲,Rho定义为在其他变量不变时期权价格C辩护与利率r变化之间的 比率。即： （7-13） Rho反映了利率变化对期权价格的影响程度，因此在利率变动比较频 繁的时期，Rho将是一个重要的敏感情况指标。利率变动对看涨期权 的价格有正的影响，对看跌期权价格有负的影响。所以看涨期权的 Rho一般大于零，而看跌期权的Rho一般小于零。 不支付红利股票的欧式看涨期权的Rho为： 不支付红利股票的欧

8、式看涨期权的Rho为,第七章-对冲,例：考虑一个不支付红利股票的欧式看涨期权，其标的资产价格是$50，行权价格为$50，无风险年利率为10%，年波动率是30%，权利期间还有6个月，失球其相应的对冲参数。解：计算,第七章-对冲,7.6 Delta对冲法则的推导,这里分析标的资产现价S对期权价格V的影响。令 这表示在 其他因素不变的前提下，标的资产价格变动与期权价格变化之间的 关系。因为期权价格是标的资产价格的非线性函数，因此这一关系 在当前价格水平S附近才能成立,第七章-对冲,第七章-对冲,7.7 隐含波动率,隐含波动率是一个在市场上无法观察到的波动率，是通过Black- Scholes期权定价

9、公式计算出来的波动率。由于我们无法给出它的解 析解，因此只能借助于数值计算给出近似解。几种计算隐含波动率 的数值方法：二分法和牛顿迭代法。 二分法的设计思想相当简单：如果某函数在一区间的符号有变化， 则在此区间内该函数必有零点，根据这个思想，我们先计算该函数 在给定区间内中点的值，并考察其符号变化，然后再用中点值替代 与其有相同符号的端点，这样每经过一次迭代，包含零点的区间就 缩小一半。假设经过n次迭代后，零点位于长度为 的区间内，则 在下一轮迭代结束后，这个零点将被划界在长度恰好是 的区间内。经过n次这样的迭代后，包含零点的区间两端就会逼近 真值,第七章-对冲,注意】在使用二分法时，需要事先

10、计算出达到给定精度的解所 需要的迭代次数 为迭 代结束后所期望的精度。 【分析】根据上述二分法的基本思想，我们给出求隐含波动率的 步骤：（1）设定隐含波动率的上下限；（2）计算隐含波动率上 下限的平均值并带入Black-Scholes期权定价公式；（3）计算该期权 价格之差，直到达到给定的精度为止,第七章-对冲,例：假设当前观察到的期权是$3.5，标的资产价格是$20，X=17.5， r=10%,权利期间还有3个月，试求隐含波动率。 解：在本例中，Cmarket=3.5，S=20，X=17.5，r=0.1，T-t=0.25 根据 二分法计算隐含波动率的步骤如下： 1、给出一个波动率 的上下限，

11、并计算它的平均值； 2、将计算出来的平均值代入Black-Scholes期权定价公式计算期权 的价格； 3、如果计算出来的期权价格大于期权价格的观察值，缩小波动 率的上下限重新计算； 4、不断重复上述过程直至计算结果逼近期权价格的观察值,第七章-对冲,Price=20; Strike=17.5; Rate=0.1; Time=0.25; Value=3.5; Volatility=blsimpv(Price,Strike,Rate,Time,Value,第七章-对冲,牛顿迭代法 牛顿迭代法（Newtons method）又称为牛顿-拉夫逊方法 （Newton-Raphson method），是

12、牛顿在17世纪提出的一种在实数域上近似求解方程根的方法。 步骤1：将函数f(x)再点x0附近展开成泰勒级数 步骤2：取泰勒级数的前两项作为 设 求解方程 得到这样得到迭代公式 经过n次迭代后可以求出f(x)=0的近似解,第七章-对冲,根据牛顿迭代法，隐含波动率的计算步骤下： （1）假设其他变量保持不变，认为函数 是隐含波动率 的一元函数，其中 为市场上观察到的其时价格。 （2）求函数 的导数 （3）由迭代公式： 计算波动率，直至,第七章-对冲,例：以不支付股息的欧式看涨期权为例。设S=20元，X=17.5元， Cmar=3.5，r=0.1，T=0.25年。运用牛顿迭代法计算隐含波动率。 假设一

13、开始随意选择波动率为18%（ ），根据上式求出 B-S模型的欧式期权 再将,第七章-对冲,然后，用 ，重复以上的步骤，再次计算期权 的模型价格及其如此循环往复，最终计算出 一个最接近期权市场价格的模型价格，此时所试用的波动率就是 隐含波动率。在此例子中，当试算的波动率为44.49% 时，期权的模型价格为3.5001.与期权的市场价格3.5几乎一样。 运用牛顿试算隐含波动率的过程,第七章-对冲,运用科拉多-米勒公式计算隐含波动率 从Black-Scholes公式可知，人们不可能直接通过B-S模型求得隐含 波动率。为了计算出隐含波动率，经济学家和理财专家曾做过种 种努力试图解决这个问题。如布雷纳（Brenner）和萨布拉曼亚 （Subrahmanyam）于1988年，查恩斯（Chance）于1993年分别提 出的计算隐含波动率的公式，虽然这些公式对