第三节、期权套期保值课件

1、第三节、期权套期保值,第三节、期权对价格变化的敏感性指标(The “Greeks”) 及期权套期保值,一、期权对价格变化的敏感性指标(The “Greeks”) 期权价格的敏感性（“Greeks”）是指期权价格决定因素的变动对期权价格的影响程度，即当影响期权价格因素发生一个微小变化时，期权价格的变动程度，或是期权价格对其决定因素变动的反应程度。 常用的“Greeks”有： delta (), gamma ( ), vega (), 和 theta ()，pho,第三节、期权套期保值,1、 The Delta (,Delta()表示期权标的物价格的变动对期权价格的影响程度。例如一个期权的delt

2、a 是 0.5，说明标的物价格上升1$，期权价格上升50 美分。 一般地， 无收益资产欧式看涨和看跌期权的delta 为： 无收益资产欧式看涨期权的delta : 0 1 ， 无收益资产欧式看跌期权的delta: -1 0 无风险利率水平越高，无收益资产看涨期权和欧式看跌期权的delta也越高。（根据N(d1)的公式分析,第三节、期权套期保值,1、 The Delta (,有红利收益资产欧式看涨和看跌期权的delta 为： for call option： for put option： 期货欧式看涨和看跌期权的delta 为： for call option： for put option：

3、 0，期权价格与标的物价格同向变动 0，期权价格与标的物价格反向变动-1 1，期权价格变动小于标的物价格变动,第三节、期权套期保值,其它资产的delta,标的资产本身的delta为1 债券的delta为0（假设与股票市场无关） 股票远期合约的delta： 无收益资产与支付已知现金收益资产的delta为1，因为： f = S- Ke-r(T-t) ， f =(S-I)-Ke-r(T-t) 对于支付已知收益率的资产，其股票远期合约的delta为： e - q(T-t)，因为 f = Se - q(T-t) Ke - r(T-t) 对各种期货的delta 无收益资产与支付已知现金收益资产，其期货的d

4、elta为e r(T-t) ，因为：F = Ser(T-t) ，F =(S-I)er(T-t) 对于支付已知收益率的资产，其期货的delta为： e (r q）(T-t) 因为F = Se (r -q)(T-t,第三节、期权套期保值,证券组合的delta,Where wi denotes the weight coefficient of the ith asset, and denotes the delta of ith asset.当一个证券组合的delta为0时，我们称之为 delta 中性组合,第三节、期权套期保值,The geometric interpretation of th

5、e partial derivative,Option Price and Delta,第三节、期权套期保值,2、The Gamma,Gamma()表示当期权标的物价格发生很小变动时，对期权delta变化的影响程度。 例如一个期权的 gamma是 0.1，说明标的物价格上升1$，期权的delta上升0.1。 一般地， 无收益资产欧式看涨和看跌期权的gamma为（long position）： (for call and put options)根据计算公式，平价期权Gamma最大，同时，当有效期很短时（T-t）越小， Gamma越大,第三节、期权套期保值,2、The Gamma,有红利收益资产

6、欧式看涨和看跌期权的Gamma 为： 期货欧式看涨和看跌期权的Gamma 为： (for call and put option) 其它资产的Gamma 标的资产、债券、远期合约、期货的Gamma 值均为0（根据它们的delta 值求得） 当一个证券组合的为Gamma 0时，我们称之为 Gamma中性组合,第三节、期权套期保值,The curvature of the curves in the figures,A positive gamma example Positive Gamma underlying Asset Price A negative gamma exampleNegat

7、ive Gamma Underlying Asset Price,第三节、期权套期保值,3、Vega,Vega反映标的物价格的波动性对期权价格的影响程度，即标的资产的价格波动性的微小变化导致期权价格的变化。 例如，一个期权vega 是2，则说明当标的资产的价格波动性增加1%，期权的价格增加2美分。 一般地， 当一个证券组合的vega为 0时，我们称之为 vega 中性组合,第三节、期权套期保值,Vega的计算,无收益资产欧式看涨和看跌期权的Vega 为 有红利收益资产欧式看涨和看跌期权的Vega为： 期货欧式看涨和看跌期权的Vega 为： (for call and put option)当一

8、个证券组合的vega为 0时，我们称之为 vega 中性组合,第三节、期权套期保值,其它资产的Vega,标的资产本身的Vega为0（认为标的资产与标准差无关） 标的资产远期合约的Vega为0 因为各类资产的远期合约价值均与与标准差无关 f = S- Ke-r(T-t) ， f =(S-I)-Ke-r(T-t) f = Se - q(T-t) Ke - r(T-t) 对各种期货的Vega为0 因为各类资产的期货价值均与与标准差无关： F = Ser(T-t) ，F =(S-I)er(T-t) ，F = Se (r -q)(T-t） 债券的Vega为0 当一个证券组合的vega为0时，我们称之为v

9、ega中性组合,第三节、期权套期保值,4、Rho,Rho反映的是利率变化对期权价格的影响程度。其计算公式为： 无收益资产欧式看涨期权的Rho 为 无收益资产欧式看跌期权的Rho 为： 这两个公式对于支付连续收益率和期货期权同样适用（对N(d2)做适当的调整即可） 对应于国外利率的欧式外汇看涨期权的Rho 为： 对应于国外利率的欧式外汇看跌期权的Rho 为,第三节、期权套期保值,Rho的特点,看涨期权的Rho一般为正，看跌期权的Rho一般为负（说明利率对看涨期权的价格有正的影响，对看跌期权有正负的影响）； Rho与S-X有关，一般越是实值的期权， Rho的绝对值越大，越是虚值的期权， Rho的绝

10、对值越小； Rho与权利期间有关，且同方向变化。一般权利期间越长，Rho的绝对值越大，权利期间越短， Rho的绝对值越小；在到期日， Rho为0,第三节、期权套期保值,其它资产的Rho,标的资产本身的Rho为0（认为标的资产与利率无关） 标的资产远期合约的Rho为: rho=(T-t) Ke-r(T-t) f = S- Ke-r(T-t) ， f =(S-I)-Ke-r(T-t) f = Se - q(T-t) Ke - r(T-t) 对各种期货的Rho为： rho=(T-t)F ( F = Ser(T-t) ，F =(S-I)er(T-t) ，F = Se (r -q)(T-t）) 当一个证

11、券组合的Rho为 0时，我们称之为 Rho中性组合,第三节、期权套期保值,二. Greeks 在风险管理中的应用,1）一般方法 组合套利的基本思想是组合的净值必须与风险因子（如标的资产的价格）之间没有敏感性。如果我们的证券组合由三个资产组成， 记： V：证券组合的价值； ni ：第i个资产的数量 Ai ：第i个资产的市场价值 保值的目标是求ni ，使得当影响资产价格的因素发生变化时，证券组合的价值不变。即，求n1, n2 and n3 ，使得当影响资产价格的因素x变化时，证券组合的价值基本不变。 一般地，我们可以用n 个资产构成的组合对n-1个风险因子进行套期保值。 例如，可以用3个资产构成的

12、组合对股票价格和利率两个风险因子进行套期保值,第三节、期权套期保值,2）Delta套期保值,含义：当一个组合的为0时，称为 套期保值的组合。例如, 可以用3个资产构成的组合对股票价格和利率两个风险因子进行套期保值。 对于标的资产价格 S的一个微小变化，组合价值基本上为常数的基本条件为： V portfolio S =0 例如，卖出股票的一份看涨期权，假设 S=50, K=50, T=10weeks (time to maturity), =0.5,and r=0.03, 则： c(S,K, r) =0.554. 问题：你应当购买多少份股票可实现Delta 套期保值? 设我们购买ns 股票,因为

13、股票的 是1, 对于Delta 套期保值,我们选ns ，使得： ns 1+(1) 0.554 =0这样我们应当购买0. 554份股票. Question: Can we use a bond to Delta-hedge an option,第三节、期权套期保值,3) Gamma 套期保值,含义：当一个组合的为0时，称为 套期保值的组合。例如, 3个资产构成的组合，其值为： 如果一个组合已经delta-hedged，即S的微小变化，其价值基本上是常数，为什么还需要Gamma-hedge ？ Example（ previous example ） 1份看涨期权的空头+ 0.554 份的股票，此组

14、合为Delta hedged. 我们看一下股票价格的不同变化对组合的影响。 Small change: 当S 从 50 to 51,根据 B-S公式，看涨期权空头的价值变化（减少了）为： $5.064-4.492=$0.572,股票的价值则上升了 0.554 ，总的损失为 ： 0.572-0.554=$0.018,仅是股票价格变化的1.8,第三节、期权套期保值,Example,Large change: 当S从50 to 60, 根据 B-S公式，看涨期权空头的价值变化（减少了）为： $11.577-4.492=$7.09,股票的价值则上升了 5.54 ，总的损失为 ： $7.09-5.54=

15、$1.55 ,是股票价格变化的15.5%. 从上例可以看出， Delta hedging的效果只有在股票价格变化微小时才是好的。在Delta hedging的基础上，再进行Gamma hedging 可以改进hedging的质量。 为此，我们应用Taylor expansion: 购买0.554份股票可以帮助我们保值第一项，但不能保值第二项，Gamma hedging 可以保值第二项。当=$10时,第二项为$1.8,它基本上可以弥补 $1.55的损失 (差异在Taylor expansion 的第三、四项,第三节、期权套期保值,问题,1、Can Gamma-hedging alone be m

16、ore effective than Delta-hedging? 2、 Can we use a fixed stock position to Gamma-hedge an option? 3、Can we use another call option on the same stock but with different strike price of say, K=$55, to Gamma-hedge our written call option (with K=$50),第三节、期权套期保值,4）Delta和Gamma套期保值的综合运用,设计一个组合，使其既Delta中性又

17、Gamma中性。 Example: 应用以上的例子，有一个看涨期权的空头，其=0.554, =0.0361 ，应用股票和第二个看涨期权（标的物相同，K=55 ，T=10 weeks ），构造一个Delta- 和 Gamma-hedged 的组合。 根据 Black-Scholes公式,第二个看涨期权的=0.382 ，= 0.0348. 假设需要ns 份股票， n2 第二个看涨期权。 这样： 组合的价值为： V= ns S+ n2 C2- C1 组合的Delta和Gamma分别为： ns +0.382 n2 0.554 =00 +0.0348 n2 0.0361 =0 解之得： ns =0.15

18、8 ， n2 =1.037,第三节、期权套期保值,分析,看保值效果如何： V= ns S+ n2 C2- C1 当S从 50 to 51, 组合价值的变化仅为0.1 %; 当S从 50 to 60,组合价值的变化(increases) 为20 cents，大大低于$1.55 的水平（only Delta hedged） 问题： Why do we usually need 3 assets to form a portfolio that is both Delta-hedged and Gamma-hedged? In general, we need n assets to form a portfolio that is neutral to small variations of n-1 factors,第三节、期权套期保值,5、交易费用与套期保值,为了保证组合处于 中性，要不断调整组合，然而频繁调整组合会增加交易费用。在实际中，常使用 等参数来评估组合的风险，然后根据对 等的预测，来考虑是否有必要对组合进行调整，如果风险对自己有利或可以接受，则不调整，否则，则进行调整。 例如，某管理者的5月份投资组合中有股票A，10000股，他准备将股票A的市场风险减少一