2020届长宁、嘉定、金山高三一模数学Word版(附解析

1、上海市长宁（嘉定金山）区2020届高三一模数学试卷2019.12一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1. 已知集合，则 2. 方程的解为 3. 行列式的值为 4. 计算 5. 若圆锥的侧面面积为，底面面积为，则该圆锥的母线长为 6. 已知向量，则 7. 2位女生3位男生排成一排，则2位女生不相邻的排法共有 种8. 已知点在角终边上，且，则 9. 近年来，人们支付方式发生巨大转变，使用移动支付购买商品已成为一部分人的消费习惯，某企业为了解该企业员工、两种移动支付方式的使用情况，从全体员工中随机抽取了100人，统计了他们在某个月的消费支出情况，发现样本中、两种

2、支付方式都没有使用过的有5人；使用了、两种方式支付的员工，支付金额和相应人数分布如下： 支付金额（元）支付方式大于2000使用18人29人23人使用10人24人21人依据以上数据估算：若从该公司随机抽取1名员工，则该员工在该月、两种支付方式都使用过的概率为 10. 已知非零向量、 两两不平行，且，设，则 11. 已知数列满足：，（），记数列的前项和为，若对所有满足条件的，的最大值为，最小值为，则 12. 已知函数，若对任意实数，关于的不等式在区间上总有解，则实数的取值范围为 二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13. 已知，则“”是“”的（ ）A. 充分非必要条件 B. 必要非充分

3、条件C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件14. 下列函数中，值域为的是（ ）A. B. C. D. 15. 已知正方体，点是棱的中点，设直线为，直线为，对于下列两个命题：过点有且只有一条直线与、都相交；过点有且只有一条直线与、都成45角，以下判断正确的是（ ）A. 为真命题，为真命题 B. 为真命题，为假命题C. 为假命题，为真命题D. 为假命题，为假命题16. 某港口某天0时至24时的水深（米）随时间（时）变化曲线近似满足如下函数模型：，若该港口在该天0时至24时内，有且只有3个时刻水深为3米，则该港口该天水最深的时刻不可能为（ ）A. 16时 B. 17时 C. 18时 D. 19时

4、三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17. 如图，底面为矩形的直棱柱满足：，.（1）求直线与平面所成的角的大小；（2）设、分别为棱、上的动点，求证：三棱锥的体积为定值，并求出该值.18. 在复平面内复数、所对应的点为、，为坐标原点，是虚数单位.（1），计算与；（2）设，（），求证：，并指出向量、满足什么条件时该不等式取等号.19. 如图，某城市有一矩形街心广场，如图，其中百米，百米，现将在其内部挖掘一个三角形水池种植荷花，其中点在边上，点在边上，要求.（1）若百米，判断是否符合要求，并说明理由；（2）设，写出面积的关于的表达式，并求的最小值.20. 已知数列各项

5、均为正数，为其前项的和，且、（）成等差数列.（1）写出、的值，并猜想数列的通项公式；（2）证明（1）中的猜想；（3）设（），为数列的前项和，若对于任意，都有, 求实数的值.21. 已知函数，其中为常数.（1）当时，解不等式；（2）已知是以2为周期的偶函数，且当时，有，若，且，求函数（）的反函数；（3）若在上存在个不同的点（，），使得，求实数的取值范围.参考答案一. 填空题1. 2. 3. 5 4. 25. 2 6. 7. 72 8. 9. 10. 11. 1078 12. 二. 选择题13. B 14. A 15. B 16. D三. 解答题17. 解：（1）由直棱柱知，所以又因为，所以直线平

6、面， 2分所以即直线与平面的所成角 4分由题意，所以所以直线与平面的所成角 6分（2）记点到平面的距离为，三角形的面积为，则， 3分由已知， 6分所以为定值. 8分18. 解：（1） 3分，所以 6分证明（2）， 3分 所以 6分当时取“=”，此时. 8分19. 解：（1）由题意， 3分所以 所以 ，不符合要求 6分（2），所以， 3分 所以，的最小值为. 8分20. （1）解：由已知， 1分所以， 3分猜想 4分证明（2）当时，所以 得， 3分因为，所以数列为等差数列，又由（1），所以 6分（3）解：由（2）知，.若，则，因为都是整数，所以对于任意，都是整数，进而是整数所以，此时， 2分设，则，所以或 4分当时，对于任意，当时，对于任意，所以实数取值的集合为 6分21. 解：（1）解不等式当时，所以当时，所以，综上，该不等式的解集为 4分（每行1分）（2）当时，因为是以2为周期的偶函数，所以，由，且，得， 2分所以当时，所以当时， 4分所以函数的反函数为 6分（3）当时，在上，是上的增函数，所以所以，得； 2分当时，在上，是上的增函数，所以所以，得； 4分当时，在上不单调，所