课时作业51利用空间向量求空间角

1、.课时作业51利用空间向量求空间角1(2014福建卷)在平面四边形ABCD中，ABBDCD1，ABBD，CDBD.将ABD沿BD折起，使得平面ABD平面BCD，如图(1)求证：ABCD；(2)若M为AD中点，求直线AD与平面MBC所成角的正弦值解：(1)平面ABD平面BCD，平面ABD平面BCDBD，AB平面ABD，ABBD，AB平面BCD.又CD平面BCD，ABCD.(2)过点B在平面BCD内作BEBD，如图由(1)知AB平面BCD，BE平面BCD，BD平面BCD，ABBE，ABBD.以B为坐标原点，分别以，的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系依题意，得B(0,0,0)，C(1

2、,1,0)，D(0,1,0)，A(0,0,1)，M(0，)，则(1,1,0)，(0，)，(0,1，1)设平面MBC的法向量n(x0，y0，z0)，则即取z01，得平面MBC的一个法向量n(1，1,1)设直线AD与平面MBC所成角为，则sin|cosn，|，即直线AD与平面MBC所成角的正弦值为.2(2014天津卷)如图，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ADAB，ABDC，ADDCAP2，AB1，点E为棱PC的中点(1)证明：BEDC；(2)求直线BE与平面PBD所成角的正弦值；(3)若F为棱PC上一点，满足BFAC，求二面角FABP的余弦值解：依题意，以点A为原点建立空间直角坐标系(如

3、图)，可得B(1,0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)由E为棱PC的中点，得E(1,1,1)(1)证明：向量(0,1,1)，(2,0,0)，故0.所以，BEDC.(2)向量(1,2,0)，(1,0，2)设n(x，y，z)为平面PBD的法向量，则即不妨令y1，可得n(2,1,1)为平面PBD的一个法向量于是有cosn，.所以，直线BE与平面PBD所成角的正弦值为.(3)向量(1,2,0)，(2，2,2)，(2,2,0)，(1,0,0)由点F在棱PC上，设，01.故(12，22，2)由BFAC，得0，因此，2(12)2(22)0，解得.即.设n1(x，y，z)为平面FAB

4、的法向量，则即不妨令z1，可得n1(0，3,1)为平面FAB的一个法向量取平面ABP的法向量n2(0,1,0)，则cosn1，n2.易知，二面角FABP是锐角，所以其余弦值为.3在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB，AD1，M是线段AD的中点(1)试在平面ABCD内过M点作出与平面A1B1CD平行的直线l，说明理由，并证明：l平面AA1D1D；(2)若(1)中的直线l交直线AC于点N，且二面角AA1NM的余弦值为，求AA1的长解：(1)在平面ABCD内过M点作直线lDC，l平面A1B1CD，DC平面A1B1CD，l平面A1B1CD.在长方体ABCDA1B1C1D1中，DCAD，DCDD1，

5、则lAD，lDD1.又ADDD1D，l平面AA1D1D.(2)由(1)知，lDC且M是线段AD的中点，N是线段AC的中点设AA1h，以A1为坐标原点，分别以A1B1，A1D1，A1A所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系A1xyz.则A1(0,0,0)，A(0,0，h)，N(，h)，M(0，h)(0,0，h)，(，h)，(0，h)，(，0,0)设平面A1AN的法向量n1(x1，y1，z1)，则，取x11，n1(1，0)设平面A1MN的法向量n2(x2，y2，z2)，则，取z21，n2(0，2h,1)二面角AA1NM的余弦值为，cosn1，n2，即，解得h1，即AA11.1等边三角形AB

6、C的边长为3，点D、E分别是边AB、AC上的点，且满足(如图1)将ADE沿DE折起到A1DE的位置，使二面角A1DEB为直二面角，连接A1B、A1C(如图2)(1)求证：A1D平面BCED；(2)在线段BC上是否存在点P，使直线PA1与平面A1BD所成的角为60？若存在，求出PB的长，若不存在，请说明理由解：(1)证明：因为等边ABC的边长为3，且，所以AD1，AE2.在ADE中，DAE60，由余弦定理得DE.因为AD2DE2AE2，所以ADDE.折叠后有A1DDE，因为二面角A1DEB是直二面角，所以平面A1DE平面BCED，又平面A1DE平面BCEDDE，A1D平面A1DE，A1DDE，所

7、以A1D平面BCED.(2)由(1)的证明，可知EDDB，A1D平面BCED，以D为坐标原点，以射线DB、DE、DA1分别为x轴、y轴、z轴的正半轴，建立空间直角坐标系Dxyz如右图，设PB2a(02a3)，过P作PHDE，则BHa，PHa，DH2a，所以A1(0,0,1)，P(2a，a,0)，E(0，0)，所以(a2，a,1)，因为ED平面A1BD，所以平面A1BD的一个法向量为(0，0)，因为直线PA1与平面A1BD所成的角为60，所以sin60，解得a，即PB2a，满足02a3，符合题意，所以在线段BC上存在点P，使直线PA1与平面A1BD所成的角为60，此时PB.2如下图，ABC中，A

8、B2，BC1，ABC90，D，E分别为AB，AC上的点，DEBC，将ADE沿DE折到ADE的位置，使平面ADE平面BCED.(1)当D为AB的中点时，设平面ABC与平面ADE所成的二面角的平面角为(0)，直线AC与平面ADE所成角为，求tan()的值；(2)当D点在AB边上运动时，求四棱锥ABCED体积的最大值解：(1)DB，DE，DA两两垂直，故以点D为原点DB，DE，DA所在直线分别为x，y，z轴，建立直角坐标系(如图)，则D(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，E(0，0)，A(0,0,1)(1,0，1)，(0,1,0)，设平面ABC的一个法向量为n(x，y，z)由得，故可取n(1,0,1)，又平面ADE的一个法向量为(1,0,0)cos|cosn，|，tan1由于平面ADE的一个法向量为(1,0,0)，CA(1