文献翻译-带两类形状参数的b样条的构造与调配

1、Applied Mathematics and Computation 258 (2015) 162-171摘 要有理伯恩斯坦多项式算子广泛应用于近似理论和几何模型，但通常它们不再生成线性多项式. 基于P. Pitul和P. Sablonnire工作，本文构建了一个新的三角张量积双变量有理伯恩斯坦多项式，它们是规范的并且生成了线性多项式.主要研究是在平面或三角空间上定义的双变量有理伯恩斯坦多项式算子的收敛性证明.关键词：理性近似；伯恩斯坦多项式；多项式的生成AbstractRational Bernstein operators are widely used in approximation

2、 theory and geometric modelingbut in general they do not reproduce linear polynomials. Based on the work of P. Pitul and P. Sablonnire, we construct a new family of triangular and tensor product bivariate rational Bernstein operators, which are positive and reproduce the linear polynomials.The main

3、result is a proof of convergence of the bivariate rational Bernstein operators defined on the square or triangle.Keyword：Rational approximants;Bernstein operators;Reproduction of polynomials第一章 绪 论根据n阶的伯恩斯坦基函数,定义伯恩斯坦多项式算子为 (1)式中，所有的连续函数的取值范围在单位区间0,1上.伯恩斯坦多项式算子首先由S.N. Bernstein在13中证明了Weierstrass近似理论.

4、 伯恩斯坦多项式算子一直受到许多数学家的研究，参见 15,9,10,12 ，他们在计算机辅助几何设计中的几个应用，参见 1,6,11,12 . 鉴于伯恩斯坦的理论和应用史，我们参考了Farouki的论文12.当，伯恩斯坦多项式算子是标准的，其中，多项式成为线性多项式.定义有理伯恩斯坦多项式算子的表达式 (2)其中为正数，是一个在0,1的阶数小于或等于n的严格正多项式算子.这样方便满足常数函数要求的为 (3)与式(1)相反的情况，有理伯恩斯坦多项式算子的研究较少，特别是不能达到预期的总体收敛结果.简单的例子表明，根据一般假设(2)和(3)下不再现线性多项式.然而，P. Pitul和P. Sabl

5、onniret(文献1)推出了一类特殊类型的单变量有理伯恩斯坦多项式算子 (4)其中正数和横坐标，使得产生线性的方式来选择多项式算子.为了实现这一点，要求， (5)式中.假设和给定，那么由式(4)定义的有理伯恩斯坦多项式算子生成线性多项式显然是正数，但是应该注意的是，对于假定系数，横坐标仅在变量变化时增加，参见文献1,9.P. Pitul和P. Sablonniret(文献1) 证明了这种有理伯恩斯坦多项式算子(4)的许多既定性质，其中假设的收敛结果为 (6)式中，.最近，H. Render(文献10)中除去的特殊要求（6）和所述假设下配制收敛结果为收敛到0.一般上的有理伯恩斯坦多项式算子张量

6、积定义为 (7)由上式易知，多项式算子得出的是常数，而不是关于关于x和y的线性多项式.本文的研究目的是将P. Pitul和P. Sablonniret的理论扩展到在平面和三角空间上定义的有理伯恩斯坦多项式算子. 在下面的章节中，我们会将讨论限制在技术上更容易实现的平面的情况，并省略三角空间的证明，仅提供基本公式.为了生成线性多项式，我们假设多项式算子具有正系数，并且类似于P. Pitul和P. Sablonniret(文献1)构造的多项式，我们设置 (8)我们构造一个在上有理伯恩斯坦多项式算子张量积， (9)当为 (10)这些设定确保多项式生成常数和关于x和y的线性多项式.横坐标当且仅当系数满

7、足附加不等式（11）时才增加.对于所有大的n和m，这个条件是使部分.在的这个假设下，多项式算子对均匀地收敛.第二章 有理伯恩斯坦多项式张量积定理2.1. 式(9)中定义的有理伯恩斯坦多项式算子生成常数.证明.对，我们只需要求证使，得根据这些等式，的分母可以改写为当将总和重新排列在第二个总和中，易知通过使用类似的参数使变换为综上所述，完成证明.推论2.1. 有理伯恩斯坦多项式算子可以写成按分母的阶数升高.推论2.2. 有理伯恩斯坦多项式算子生成线性多项式.证明.当，我们只需要求证根据等式，我们得到将式(8)代入上式，我们容易得出对于，我们能用同样的方法来证明.为了应用这些理论，当点应该是单调的，

8、如点且.由式(10)，当时，有简化后，使得以下不等式成立(11)给定的正连续函数的权重为 (12)设将不等式(11)的两边同乘以，我们得到(13)假设连续函数成立，通过使用泰勒扩展，我们得到(14)简化不等式(13)后我们得到以下不等式通过函数的连续性及，当，得到 (15)类似地，可以推导出当时， (16)定理2.2. 如果足够大，由式(12)引起的点在垂直和水平方向都是单调的.使的伯恩斯坦多项式算子张量积为并且定义在式(12)的正连续函数中. 从多变量近似理论(文献7)中的多项式的收敛性，由式(9)定义的的分母可以写为，并且在时满足.因此，我们有以下结果.推论2.3. 对于给定的正连续函数和

9、由式(12)定义的权重，有理多项式算子的序列在为时均匀收敛到.证明.使，由式(8)和式(10)得其中这样有利于定义新的函数那么式(9)中定义的的分子等于. 如果我们可以证明当收敛到时，也逼近. 那么收敛到的分母意味着对于任何连续函数，均匀收敛到.当 (17)显然有此时，我们得到(18)对于式(18)右边的第一个括号，我们有当mn时，得到在上我们得到函数的上限其中是连续性模块. 然后对于式(18)右边的第二个括号，我们根据等式上述等式右边的分子是从得出这意味着其中所以我们得到这导致这意味着当时，均匀收敛到.第三章 三角有理伯恩斯坦多项式算子为了构造三角有理伯恩斯坦多项式算子，我们回顾了三角区域的

10、重心坐标(文献8). 让三角空间T的顶点为和任意点假设的三角区域为.显然有由定义了重心坐标三个顶点的重心坐标是设定在文献8中定义三角空间上的度数n的伯恩斯坦基函数，其中，对于给定的，三角空间上有理伯恩斯坦多项式算子通常(参见文献4,8)定义为 (19)其中当权重事实上，即多项式算子生成常数，但是一般不再生成线性多项式.为了实现线性多项式的生成，我们定义了一个新的n度有理伯恩斯坦多项式算子为 (20)其中为正数，分别为 (21) (22) (23) (24)其中，需要注意的是式(20)中的分母是n-1阶，而分子的阶数是n，可以增加分母的阶数，使得具有与经典有理伯恩斯坦多项式算子类似的表达式.定理

11、3.1. 有理伯恩斯坦多项式算子可以写成(25)线性多项式的生成，多项式对三角空间的收敛可以与张量积多项式算子相同的方式推导出来. 作者省略了证明，只提供了基本公式.推论3.1. 有理伯恩斯坦多项式算子生成常数和线性多项式.对于应用，在式(20)中的点应该大致单调，如同当其实，通过的对称性，只需要求证的情况，化简不等式后得到假设式(20)中分母中的权重以下列方式选择：存在一个正的连续函数，使得 (26)其中，设定得到使推出 (27) (28)当，通过式(27)、式(28)和泰勒扩展方法，得到 (29)还有 (30)综上所述，得到定理3.2. 如果满足式(29)和(30)，并且n足够大，则由式(

12、22)和(23)、(24)、(26)推导出的点是单调的.多项式算子可以写成由式(26)给出的，式(22)-(24)给出的点对于正连续函数，则其中是伯恩斯坦三角多项式算子.事实上，即(文献7)中通过近似理论，当，在三角空间中均匀的收敛. 对于多项式算子的收敛，我们得到以下结果.推论3.2. 关于由式(22)、(23)(24)和(26)定义的正连续函数和 和点，有理多项式算子的序列在时均匀收敛到.第四章 总结和未来规划在本文中，构建了一个新的张量积和三角双变量有理伯恩斯坦多项式算子并实现了线性多项式的生成. 介绍了多项式的融合. 的收敛建立在给定函数， (31)历史文献中，H.Render(参见文

13、献10)在单变量的情况下消除了特殊条件式(6)，并使收敛结果为并收敛到0.如何消除特殊条件式(31)和证明在Render的结论下的收敛性成为未来的研究规划.在下一步中，作者将研究多项式的误差和的变化递减特性，收敛阶数和明确的不等式.此外，本文的构造方法可以继续扩展，以在更高维度的单纯形和张量积区域上构建有理伯恩斯坦多项式算子.同时，本文引用的权重与贝塞尔曲线的在阶数上相似. 研究的另一个工作是研究几何建模中所提出的多项式的权重和应用的几何含义.致 谢我们要感谢一位匿名裁判仔细阅读，他（她）的评论大大改善了这篇论文. 这项研究工作获得了中国国家自然科学基金（11271060），中国民用飞机基础研

14、究（No. MJ-F-2012-04），辽宁省大学优秀人才计划支持， 中国（No.LJQ2014010）和中央大学基础研究基金（No. DUT14YQ111）.参考文献1 P. Pit_ul, P. Sablonnire, A family of univariate rational Bernstein operators, J. Approx. Theory 160 (2009) 3955.2 P.J. Davis, Interpolation and Approximation, Dover Publications, New York, 1975.3 R.A. DeVore, G.G.

15、 Lorentz, Constructive Approximation, Springer, Berlin, 1993.4 G.G. Lorentz, Bernstein Polynomials, University of Toronto Press, Toronto, 1953.5 M.J.D. Powell, Approximation Theory and Methods, Cambridge University Press, Cambridge, 1980.6 G. Farin, Mathematical Methods for CAGD, fifth ed., Morgan K

16、aufmann, Los Altos, 2002.7 R.H. Wang, X.Z. Liang, Approximation by Multivariate Functions, Science Press, Beijing, 1988.8 R.H. Wang, C.J. Li, C.G. Zhu, A Course for Computational Geometry, Science Press, Beijing, 2008.9 J.M. Aldaz, O. Kounchev, H. Render, Bernstein operators for extended Chebyshev s

17、ystems, Appl. Math. Comput. 217 (2010) 790800.10 H. Render, Convergence of rational Bernstein operators, Appl. Math. Comput. 232 (2014) 10761089.11 I. Selimovic, New bounds on the magnitude of the derivative of rational Bzier curves and surfaces, Comput. Aided Geom. Des. 22 (2005) 321326.12 R. Farouki,