指数、对数、幂函数总结归纳

1、;指数与指数幂的运算【学习目标】1理解有理指数幂的含义，掌握幂的运算.2理解指数函数的概念和意义，理解指数函数的单调性与特殊点3理解对数的概念及其运算性质4重点理解指数函数、对数函数、幂函数的性质，熟练掌握指数、对数运算法则，明确算理，能对常见的指 数型函数、对数型函数进行变形处理.5会求以指数函数、对数函数、幂函数为载体的复合函数的定义域、单调性及值域等性质.6知道指数函数与对数函数互为反函数(a0，a1). 【要点梳理】要点一、幂的概念及运算性质1.整数指数幂的概念及运算性质2.分数指数幂的概念及运算性质为避免讨论，我们约定a0，n，mN*，且为既约分数，分数指数幂可如下定义：3运算法则当

2、a0,b0时有：（1）；（2）；（3）；（4）.要点诠释：(1)根式问题常利用指数幂的意义与运算性质，将根式转化为分数指数幂运算；(2)根式运算中常出现乘方与开方并存，要注意两者的顺序何时可以交换、何时不能交换.如；(3)幂指数不能随便约分.如.要点二、根式的概念和运算法则1n次方根的定义：若xn=y(nN*，n1，yR)，则x称为y的n次方根，即x=.n为奇数时， y的奇次方根有一个，是负数，记为；零的奇次方根为零，记为；n为偶数时，正数y的偶次方根有两个，记为；负数没有偶次方根；零的偶次方根为零，记为.2两个等式（1）当且时，；（2）要点诠释：计算根式的结果关键取决于根指数n的取值，尤其当

3、根指数取偶数时，开方后的结果必为非负数，可先写成的形式，这样能避免出现错误指数幂的一般运算步骤有括号先算括号里的；无括号先做指数运算 负指数幂化为正指数幂的倒数底数是负数，先确定符号，底数是小数，先要化成分数，底数是带分数(如)，先要化成假分数（如15/4），然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数运算性质在化简运算中，也要注意公式：a2b2（ab）（ab），a3b3（ab）（a2abb2），a3b3（ab）（a2abb2），（ab）2a22abb2，（ab）3a33a2b3ab2b3，的运用，能够简化运算.指数函数及其性质【要点梳理】要点一、指数函数的概念：函数y=ax(a0且a1)叫做指数函

4、数，其中x是自变量，a为常数，函数定义域为R.要点诠释：（1）形式上的严格性：只有形如y=ax(a0且a1)的函数才是指数函数像，等函数都不是指数函数（2）为什么规定底数a大于零且不等于1：如果，则对于一些函数，比如，当时，在实数范围内函数值不存在如果，则是个常量，就没研究的必要了。而a=0时y=0没意义要点二、指数函数的图象：y=ax0a1时图象-图象要点诠释：（1）当底数大小不定时，必须分“”和“”两种情形讨论。（2）指数函数与的图象关于轴对称。要点三、指数函数底数变化与图像分布规律 则：0ba1dc观察可知，底数越接近1，图象曲线越平缓，底数越远离1，图象曲线越陡，而且指数函数都过点（0

5、,1）又即：x(0,+)时， （底大幂大） x(,0)时，（底小幂小）要点四、指数式大小比较方法(1)单调性法：化为同底数指数式，利用指数函数的单调性进行比较.(2)中间量法：(3)分类讨论法(4)比较法比较法有作差比较与作商比较两种，其原理分别为：若；当两个式子均为正值的情况下，可用作商法，判断，或即可对数及对数运算【要点梳理】要点一、对数概念1.对数的概念如果，那么数b叫做以a为底N的对数，记作:logaN=b.其中a叫做对数的底数，N叫做真数.要点诠释：对数式logaN=b中各字母的取值范围是：a0且a1， N0， bR.2.对数具有下列性质：(1)0和负数没有对数，即；(2)1的对数为

6、0，即；(3)底的对数等于1，即.3两种特殊的对数通常将以10为底的对数叫做常用对数，.以e（e是一个无理数，）为底的对数叫做自然对数， .要点二、对数的运算法则已知(1) 正因数的积的对数等于同一底数各个因数的对数的和； (2) 两个正数的商的对数等于被乘数的对数减去除数的对数；(3) 正数的幂的对数等于幂的底数的对数乘以幂指数；要点诠释：（1）利用对数的运算法则时，要注意各个字母的取值范围，即等式左右两边的对数都存在时等式才能成立.如：log2(-3)(-5)=log2(-3)+log2(-5)是不成立的，因为虽然log2(-3)(-5)是存在的，但log2(-3)与log2(-5)是不存

7、在的.（2）不能将和、差、积、商、幂的对数与对数的和、差、积、商、幂混淆起来，即下面的等式是错误的：错误1：loga(MN)=logaMlogaN， 错误2： (MN)=logaMlogaN，要点三、对数公式1对数恒等式：2换底公式同底对数才能运算，底数不同时可考虑进行换底，在a0， a1， M0的前提下有:(1) 令 logaM=b， 则有ab=M， (ab)n=Mn，即， 则所以得出结论:.(2) ，令logaM=b， 则有ab=M， 则有 即， 即，即当然，细心一些的同学会发现(1)可由(2)推出，但在解决某些问题(1)又有它的灵活性.而且由(2)还可以得到一个重要的结论:.对数函数及其

8、性质【要点梳理】要点一、对数函数的概念1函数y=logax(a0，a1)叫做对数函数.其中是自变量，函数的定义域是，值域为2判断一个函数是对数函数是形如的形式，即必须满足以下条件：（1）系数为1；（2）底数为大于0且不等于1的常数；（3）对数的真数仅有自变量要点诠释：（1）只有形如y=logax(a0，a1)的函数才叫做对数函数，像等函数，它们是由对数函数变化得到的，都不是对数函数。（2）求对数函数的定义域时应注意：对数函数的真数要求大于零，底数大于零且不等于1；对含有字母的式子要注意分类讨论。要点二、对数函数的图象0a1a1图象要点诠释：（1）关于对数式logaN的符号问题，既受a的制约又受

9、N的制约，两种因素交织在一起，应用时经常出错.下面介绍一种简单记忆方法，供同学们学习时参考.（2）以1为分界点，当a，N同侧时，logaN0；当a，N异侧时，logaN0.（3）由于底数的取值范围制约着对数函数图象的升降（即函数的单调性），因此在解与对数函数单调性有关的问题时，必须考虑底数是大于1还是小于1，不要忽略2底数变化与图象变化的规律在同一坐标系内，a越接近1，图象越陡，a越远离1，图象越平缓。这刚好和指数函数的规律相反 所以可以总结出一句话，指数近一缓，对数近一陡。要点四、反函数1反函数的定义一般地，设函数y=f(x)(xA)的值域是B，根据这个函数中x、 y 的关系，用y把x表示出

10、，得到x= g(y)。若对于y在B中的任何一个值，通过x= g(y) （这时候x= g(y)里面的y是自变量，x是因变量），x在A中都有唯一的值和它对应，那么这个函数x= g(y)(xB)叫做函数y=f(x)(xA)的反函数，记作y=f -1 (x) 。反函数y=f -1(x)的定义域、值域分别是函数y=f(x)的值域、定义域由定义可以看出，函数y=f(x)的定义域A正好是它的反函数y=f-1 (x)的值域；函数y=f(x)的值域B正好是它的反函数y=f-1 (x)的定义域由定义可知:对数就是指数变换而来的，因此对数函数是和它底数相同的指数函数的反函数。变化关系如右图： 要点诠释： 不是每个函

11、数都有反函数，有些函数没有反函数，如y=x2一般说来，单调函数有反函数2反函数的性质（1）互为反函数的两个函数的图象关于直线对称（2）若函数图象上有一点，则必在其反函数图象上，反之，若在反函数图象上，则必在原函数图象上幂函数及图象变换【要点梳理】要点一、幂函数概念形如的函数，叫做幂函数，其中x是自变量， 为常数.要点诠释：幂函数必须是形如的函数，幂函数底数为单一的自变量x，系数为1，指数为常数.例如：等都不是幂函数.要点二、幂函数的图象及性质各种幂函数的图象：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)要点诠释：幂函数随着的取值不同，它们的定义域、性质和图象也不尽相同，但它们有一些共同的性质：(1)

12、所有的幂函数在(0，+)都有定义，并且图象都过点(1，1)；(2)时，幂函数的图象通过原点，并且在区间上是增函数特别地，当时，幂函数的图象下凸；当时，幂函数的图象上凸；(3)时，幂函数的图象在区间上是减函数在第一象限内，当从右边趋向原点时，图象在轴右方无限地逼近轴正半轴，当趋于时，图象在轴上方无限地逼近轴正半轴2.作幂函数图象的步骤如下:(1)先作出第一象限内的图象；(2)若幂函数的定义域为(0，+)或0，+)，作图已完成；若在(-，0)或(-，0上也有意义，则应先判断函数的奇偶性如果为偶函数，则根据y轴对称作出第二象限的图象；如果为奇函数，则根据原点对称作出第三象限的图象.3.幂函数解析式的

13、确定(1)借助幂函数的定义，设幂函数或确定函数中相应量的值(2)结合幂函数的性质，分析幂函数中指数的特征(3)如函数是幂函数，求的表达式，就应由定义知必有，即4.幂函数值大小的比较(1)比较函数值的大小问题一般是利用函数的单调性，当不便于利用单调性时，可与0和1进行比较常称为“搭桥”法(2)比较幂函数值的大小，一般先构造幂函数并明确其单调性，然后由单调性判断值的大小(3)常用的步骤是：构造幂函数；比较底的大小；由单调性确定函数值的大小要点三、初等函数图象变换基本初等函数包含以下九种函数：正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、耐克函数。由基本初等函数经

14、过四则运算以及简单复合所得的函数叫初等函数如：的图象变换，（1）平移变换y=f(x)y=f(xa) 图象左（）、右（）平移y=f(x)y=f(x)b 图象上（）、下（）平移（2）对称变换y=f(x) y=f(x), 图象关于y轴对称y=f(x) y=f(x) , 图象关于x轴对称y=f(x) y=f(x) 图象关于原点对称y=f(x) 图象关于直线y=x对称（3）翻折变换： y=f(x) y=f(|x|),把y轴右边的图象保留，然后将y轴左边部分关于y轴对称（注意：它是一个偶函数） y=f(x) y=|f(x)| 把x轴上方的图象保留，x轴下方的图象关于x轴对称要点诠释：（1）函数图象是由基本

15、初等函数的图象经过以上变换变化而来。（2）若f(ax)f(ax)，则函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称。指数函数、对数函数、幂函数配置习题指数幂的概念与运算1.求下列各式的值：（1）.2. 求下列各式的值=3.用分数指数幂形式表示下列各式（式中）：（1）；（2）；（3）；4.计算指数函数的概念5函数是指数函数，求的值6求下列函数的定义域、值域.(1)；(2)y=4x-2x+1；(3)；(4)(a为大于1的常数)指数函数的单调性及其应用7讨论函数的单调性判断函数的奇偶性8判断下列函数的奇偶性：9.请做出的图象10.将下列指数式与对数式互化：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；利用对数恒等式化简求值11求值： 积、商、幂的对数12.表示下列各式换底公式的运用13.已知，求对数运算法则的应用14.求值(1) (2) (3)(4)对数函数的概念15.下列函数中，哪些是对数函数？（1）；（