通信原理 第3章 随机过程

1、第三章 随机过程,3.1随机过程的基本概念和统计特性 3.2平稳随机过程 3.3高斯随机过程 3.4随机过程通过线性系统 3.5窄带随机过程 3.6正弦波加窄带高斯噪声,第 3 章随机过程,返回主目录,3.1 随机过程的基本概念和统计特性,随机试验E的可能结果为(s,t)，试验的样本空间S为x1(t)、 x2(t) xi(t), xi(t)为第i个样本函数。每次实验之后，(s,t)取空间S中的某一个样本函数，于是用(s,t)表示该随机过程，简记为(t),1.随机过程,设有n台性能完全相同的接收机。我们在相同的工作环境和测试条件下记录各台接收机的输出噪声波形（这也可以理解为对一台接收机在一段时间

2、内持续地进行n次观测）。测试结果将表明，尽管设备和测试条件相同，记录的n条曲线中找不到两个完全相同的波形。这就是说，接收机输出的噪声电压随时间的变化是不可预知的，因而它是一个随机过程,图 3- 1样本函数的总体,几个基本概念,随机过程:所有样本函数的集合,t与s均可变； 样本函数（实现）:确定的时间函数,t是变量,s是固定的； 样本随机变量:t固定时,随机信号的状态; 样本值:确定的数值,t与s均固定,随机过程的两种基本表征 样本函数集合 随机变量集合,随机过程的理解,无穷多个样本函数的总体构成随机过程 随机过程可以看成依赖时间参数的一族随机变量。 随机体现两个方面： 1.每次随机实验随机取样

3、本空间中的一个样本； 2.在固定的某一观察时刻t1，(t1)是一个不含t变化的随机变量,随机过程的概率密度函数 一阶概率分布与密度函数 二阶概率分布与密度函数,2.随机过程的统计特征,其中，1、2为实数，10、20、| |1，则称(X, Y) 服从参数为1, 2, 1, 2, 的 二维正态分布，可记为,2)二维正态分布N(1, 2, 1, 2, ) 若二维随机变量(X, Y)的密度函数为,随机过程(t)的数字特征 (t时刻随机变量的统计特性,1.数学期望,随机过程的均值是确定的时间函数，它表示样本函数曲线的摆动中心,数字期望的性质,1）若C为一常数，则E(C)=C； （2）若有两个随机变量X和

4、Y，它们的数学期望E(X)和 E(Y)存在，则E(X+Y)=E(X)+E(Y)。 若随即变量X1,X2,Xn的数学期望都存在，则 E(X1+X2+Xn)也存在，且有 E(X1+X2+Xn)E(X1)+E(X2)+E(Xn,3）若随机变量X和Y相互独立，且E(X)和E(Y) 存在，则E(XY)也存在，且有 E(XY)=E(X)E(Y,方差等于均方值与均值平方之差，表示随机过程在任意时刻t偏离均值的程度,2.方差,方差特性,1）常数的方差等于0，即DX=0； （2）设DX存在，C为常数，则 DX+C=DX D(CX)=C2D(X)； （3）设DX和DY都存在，且X和Y相互独立，则 DX+Y=DX+

5、DY。 对于多个独立的随机变量X1,X2,Xn，不难证明有D(X1+X2+Xn)D(X1)+D(X2)+D(Xn,3.自相关函数,4.自协方差,自相关函数和自协方差函数描述同一随机过程的相关程度，与选择时刻t1和t2有关。如果t2t1并令t2=t1+，即相关函数是时间起点t1以及时间间隔的函数 互相关函数和互协方差函数描述不同随机过程的相关程度,3.2平稳随机过程,统计特性（概率密度函数，相关函数等）具有平稳性的随机信号称为平稳随机过程 观测平稳随机过程的相应统计特性时，不受观察时刻的影响,它的统计特性不随时间的推移而变化。 严格平稳：全部统计特性平稳 广义平稳：部分统计特性平稳 均值平稳 自

6、相关平稳,设随机过程(t)，tT,的有限维概率密度有,则称(t)是平稳随机过程。该定义说明，当取样点在时间轴上作任意平移时，随机过程的所有有限维分布函数是不变的， 具体到它的一维分布, 则与时间t无关， 而二维分布只与时间间隔有关,各态历经性（遍历性） 统计平均等于样本函数的时间平均 均值各态历经性：统计均值等于时间均值 时间均值：设x(t)为(t)的一个样本函数 相关函数各态历经:统计相关函数等于样本的时间相关函数 样本的时间相关函数 各态历经的随机过程是平稳的，但平稳的随机过程不一定是各态历经的,平稳随机过程的自相关函数,自相关函数主要性质：实平稳随机过程(t,平稳随机信号的频谱特性 随机

7、信号的频谱特性用功率谱密度P()来表示 平稳随机信号功率谱密度和自相关函数的关系,3.3 高斯过程,若随机变量的概率密度函数可表示成 则称为服从正态分布的随机变量。a及2是两个常量（均值及方差,高斯随机过程的性质 (1)若高斯过程是广义平稳的,则它也是严平稳的; (2)若几个高斯过程中的随机变量之间互不相关,则这些高斯过程也是互不相关的; (3)若干个高斯过程之和的过程仍是高斯过程; (4)高斯过程经过线性变换后的过程仍是高斯型,概率密度函数图,f(x)关于x=a对称 f(x)在（-，a）内单调上升，在（a，）内单调下降，且在a点最大 对不同的a，表现为f(x)的左右平移，对不同的， f(x)

8、图形随的减小而变高变窄,标准正态分布 误差函数定义 主要性质 erf(0)=0 erf()=1 erf(- )=-erf(,补误差函数 定义 主要性质 erfc(0)=1 erfc()=0 erfc(- )=2-erfc(,概率积分函数 定义 Q函数的主要性质 Q(0)=1/2; Q()=0; Q(-）=1-Q()，0,误差函数和概率积分函数的关系,3.4 随机过程通过线性系统,线性系统,输入i(t,输出o(t,结论,平稳随机过程通过线性系统后,其输出过程也是平稳的,高斯过程经线性变换后的过程仍为高斯过程,输出过程的数学期望为原期望乘以线性系统的直流增益,输出过程的功率谱密度是输入功率谱密度乘

9、以系统频率响应模值得平方,白噪声,若噪声的功率谱密度P()在所有频率上为一常数,则称为白噪声.即 白噪声只有在=0点是相关的， 而在任何两个时刻上的随机 变量都是不相关的,白噪声通过理想低通滤波器,传递函数 功率传递函数 输出功率谱,0,/m,m,2/m,2/m,其中， m=2fm,输出功率,白噪声通过理想带通滤波器,传递函数 功率传递函数,输出功率谱 输出功率,3.5 窄带随机过程,定义:带宽B远小于中心频率fc的随机过程为窄带随机过程。（谱密度集中在f内,一般表达式 a(t)为(t)的包络函数 (t)为(t)的相位函数 窄带随机过程可以表示成两个相互正交的分量之和,性质 一个均值为零的窄带

10、平稳高斯过程，它的同相分量和正交分量同样是平稳高斯过程，而且均值都为零，方差也相同； 在同一时刻得到的同相分量c和正交分量s是不相关的或统计独立的； 一个均值为零、方差为2的平稳高斯窄带过程，其包络a(t)的一维分布是瑞利分布，而相位的一维分布是均匀分布，并且就一维分布而言，相位和包络是统计独立的,3.6 正弦载波加窄带高斯过程,通信系统中传输的信号通常是一个正弦波作为载波的已调信号，信号经过信道传输时总会受到噪声的干扰，为了减少噪声的影响，通常在接收机前端设置一个带通滤波器，以滤除信号频带以外的噪声。因此，带通滤波器的输出是正弦波信号与窄带噪声的合成信号。这是通信系统中常会遇到的一种情况，所以有必要了解合成信号的包络和相位的统计特性,设正弦波加窄带高斯噪声的合成信号为,式中,分别为合成信号的随机包络和随机相位。可以证明，正弦信号加窄带高斯噪声所形成的合成信号，具有如下统计特性,正弦信号加窄带高斯噪声的随机包络服从广义瑞 利分布（也称莱斯（Rice）分布），即其包络的 概率密度函数为 式中， 是 的方差， 为零阶修正贝赛尔函