一元二次方程总复习知识点梳理

1、一元二次方程总复习考点1: 一元二次方程的概念一元二次方程：只含有一个未知数，未知数的最高次数是2,且系数不为 0，这样的方程叫一元二次方程.一般形式：ax2 + bx+c=0(a工0)。注意：判断某方程是否为一元二次方程时，应首先将方程化为一 般形式。考点2: 元二次方程的解法1直接开平方法：对形如(x+a) 2=b ( b 0)的方程两边直接开平方而转化为两个一元一次方程的方 法。X+a=二.bXi =-a+ - bX2 =-a- / b2配方法：用配方法解一元二次方程：ax2 + bx+c=0(k丰0)的一般步骤是：化为一般形式；移项，将常数项移到方程的右边；化二次项系数为1，即方程两边

2、同除以二次项系数；配方，即方程两边都加上一次项系数的一半的平方；化原方程为(x+a) 2=b的形式；如果b 0就可以用两边开平方来求出方程的解；如果b 0)。步骤：把方程转化为一般形式；确定 a,b, c的值；求出 b2 4ac的值，当b2 4ac 0时代入求根公式。4因式分解法：用因式分解的方法求一元二次方程的根的方法叫做因式分解法理论根据：若ab=0,则a=0或b=0。步骤是：将方程右边化为0 :将方程左边分解为两个一次因式的乘积；令每个因式等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方 程的解.因式分解的方法：提公因式、公式法、十字相乘法。5.一元二次方程的

3、注意事项： 在一元二次方程的一般形式中要注意，强调az 0因当a=0时，不含有二次项，即不是一元二次方程. 应用求根公式解一元二次方程时应注意：先化方程为一般形式再确定a, b, c的值；若b24acv 0,则方程无解. 利用因式分解法解方程时，方程两边绝不能随便约去含有未知数的代数式.如2（x + 4） 2 =3（ x+ 4）中，不能随便约去 x + 4。 注意：解一元二次方程时一般不使用配方法（除特别要求外） 但又必须熟练掌握，解一元二次方程的一般顺序是：开平方法t因式分解法t公式法.6.元二次方程解的情况b2 4ac 0：=方程有两个不相等的实数根；b2 4ac=0：=方程有两个相等的实

4、数根；b2 4ac 1B. k 1 且 k工0C. k v 19、 已知一元二次方程 x2 +2x 8=0的一根是2，则另一个根是 .10、（2018泰安）若关于x的方程x2 + （2k+1） x+2 k2=0有实数根，则k的取值范围是 211、 解方程：（i）2（2x-3）=32；（2）3y（y-1）=2（y-1）；（3） 3（4x2 9） （2x 3）=0;（4） x2 6x+8=0k12、（2018鄂州）关于x的方程kx 2 +（k+2）x+ 4 =0有两个不相等的实数根，（1）求k的取值范围；（2） 是否存在实数k使方程的两个实数根的倒数和等于0?若存在求出k的值；不存在说明理由。考点

5、：一元二次方程的应用一、考点讲解：1 构建一元二次方程数学模型，常见的模型如下：与几何图形有关的应用：如几何图形面积模型、勾股定理等； 有关增长率的应用：此类问题是在某个数据的基础上连续增长（降低）两次得到新数据，常见的等量关系是a（1 x） 2=b，其中a表示增长（降低）前的数据，x表示增长率（降低率），b表示后来的数据。注意：所得解中，增长率不为负，降低率不超过1。 经济利润问题：总利润=（单件销售额-单件成本）x销售数量；或者，总利润=总销售额-总成本。 动点问题：此类问题是一般几何问题的延伸，根据条件设出未知数后，要想办法把图中变化的线 段用未知数表示出来，再根据题目中的等量关系列出方

6、程。2注重解法的选择与验根：在具体问题中要注意恰当的选择解法，以保证解题过程简洁流畅，特别要对方程的解注意检验，根据实际做出正确取舍，以保证结论的准确性.二、经典考题剖析：C【考题1】（2018、深圳南山区）课外植物小组准备利用学校仓库旁的一块空地，开辟一个面积为130平方米的花圃（如图 1 2 1）,打算一面利用长为 15米的仓库墙面，三面利用长为33米的旧围栏，求花圃的长和宽.解：设与墙相接的两边长都为X米，则另一边长为（33_2x ）米，匚二間 1-2-1依题意得x33-2x =30 ,_132x2 _33x 130 =0 xi =1X2 = 2又.当为=10 时 (332x )=131

7、3当 X2 =2时，33-2x =20 1513X 二 2不合题意，舍去. X =10答：花圃的长为13米，宽为10米.【考题2】(2018、襄樊)为了改善居民住房条件，我市计划用未来两年的时间，将城镇居民的住房面积由现在的人均约为 10平方米提高到12.1平方米，若每年的增长率相同，则年增长率为()A.9 %B.10 % C. 11 %D.12 %解：设年增长率为x,根据题意得210(1+x)=12.1 ,解得 x仁0.1 , x2 = - 2.1.因为增长率不为负，所以 x=0.1。故选D。【考题3】(2018、海口)某水果批发商场经销一种高档水果如果每千克盈利10元，每天可售出500千克

8、，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少 20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？解：设每千克水果应涨价x元，依题意，得(500 - 2 0 x) (10+x) =6000.整理，得 x 2 15x + 50=0 .解这个方程，x1=5, x2 =10 .要使顾客得到实惠，应取 x=5 .答：每千克应涨价 5元.点拨：此类经济问题在设未知数时，一般设涨价或降价为未知数；应根据“要使顾客得到实惠”来取舍根的情况.【考题4】如图，在厶ABC中，/ B=90 , AB=5 , BC=7，点P从A点开始沿AB边向点B点

9、以1cm/s的速度移动，点 Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动.(1) 如果点P、Q分别从A、B两点同时出发，经过几秒钟，PBQ的面积等于4 ?(2) 如果点P、Q分别从A、B两点同时出发，经过几秒钟，PQ的长度等于5 ?解：（1）设经过x秒钟， PBQ的面积等于4,则由题意得 AP=x , BP=5 x, BQ=2x,丄丄由 2 BP BQ=4，得 2 （5 x） 2x=4,解得，xA =1 , x 2 =4.当x=4时，BQ=2x=8 7=BC，不符合题意。故 x=1（2）由 BP +BQ =5 得（5 x）+ （2x）=5 ,解得x仁0 （不合题意），x2=2 .所以2秒后

10、，PQ的长度等于5。三、针对性训练：1.小明的妈妈上周三在自选商场花10元钱买了几瓶酸奶，周六再去买时，正好遇上商场搞酬宾活动，同样的酸奶，每瓶比周三便宜0. 5元，结果小明的妈妈只比上次多花了2元钱，却比上次多买了 2瓶酸奶，问她上周三买了几瓶？2 .合肥百货大搂服装柜在销售中发现：“宝乐”牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元。为了迎接“十一”国庆节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，尽快减少库 存。经市场调查发现：如果每件童装降价4元，那么平均每天就可多售出8件。要想平均每天在销售这种童装上盈利 1200元，那么每件童装应降价多少？3.在宽为20米、长为32米的矩形地

11、面上，修筑同样宽的两条互相垂直的道路，余下部分作为耕地，4 .小红的妈妈前年存了 5000元一年期的定期储蓄，到期后自动转存今年到期扣除利息税（利息税为利息的20%),共取得5145元求这种储蓄的年利率.(精确到0.1%)5. 如图12-3 , ABC中，/ B=90。，点P从A点开始沿 AB向点B以1cm/s的速度移动，点 Q从B点开始沿BC边向C点以2cm/s的速度移动。(1)如果P、Q分别从A、B同时出发，经几秒钟，使 ABQ的面积等于8cm2?(2)如果P、Q分别从A、B同时出发，并且 P到B后又继续在BC边上前进，Q以C后又继续在 AC边上前进，经几秒钟，使PCQ的面积等于12.6

12、cm2。1解：依题意，得：2 (6-x) 2x=8解这个方程得：x1=2 , x2=4即经过2s,点P到距离B点4cm处，点Q到距离B点4cm处；经过4s,点P到距离B点2cm处, 点Q到距离B点8cm处。故本小题有两解。(2)设经过x秒，点P移动到BC 上,且有CP= (14-x) cm,点Q移动到CA 上,且命名CQ= (2x-8) cm，过Q作QD丄CB于D。/ CQDCAB ,QD AB6(2x -8)2x -8 AC，即 QD= 10。16(2x -8)依题意，得：2 ( 14-x) 10=12.6,解这个方程得：x1=7 , x2=11经过7s,点P在BC距离C点7cm处，点Q在C

13、A上距离C点6cm处，使SA PCQ=12.6cm2经过11s,点P在BC距离C点m处，点Q在CA上距离C点14cm处，/ 14 0,点Q已超出CA 范围，此解不存在。故本题只有一解。中考真题1钟老师出示了小黑板上的题目（如图1 - 2-2）后，小敏回答：“方程有一根为1 ”，小聪回答：“方程有一根为2”.则你认为（）A 只有小敏回答正确B 只有小聪回答正确C.两人回答都正确D .两人回答都不正确图 1-2-22.解一元二次方程x 2 x 12=0，结果正确的是（）A . x1 = 4, x 2 =3 B . x1 =4, x 2 = 33.方程 x（x 3） =（x 3）解是（）C. X1=

14、 4, x 2 = 3 D. x 1 =4, x 2 =3A. x1 =1B. x1=0, x2 = 3C. x1 =1 , x 2 =3D. x1 =1 , x2 = 34.若t是一元二次方程ax2 + bx+c=O（a丰0）的根，则判别式 = b2 4ac和完全平方式M=（2at+b）的关系是（）A . =MB . MC. MD .大小关系不能确定25.方程x （x - -1）的根是（）B . 1 C . 0, 1 D . 0, 126. 已知一元二次方程 x 2x 7=0的两个根为x1 , x2，则x1 + x2的值为（）A . 2 B . 2 C . 7 D . 72 1 17. 已知

15、x1、x2是方程x2 3x+ 1 = 0的两个实数根，则的值是（）x-ix21A、3B、 3 C、3 D、18. 用换元法解方程（x2 + x）2 + （x2 + x） = 6时，如果设x2 + x = y,那么原方程可变形为（2A、y + y 6 = 02B、y y 6= 0C、y2 y+6 = 0D、y 2 + y + 6= 09.方程x2 5x=0的根是()A . 0 B . 0, 5C. 5, 5则（）10. 若关于x的方程x2 + 2x+ k=0有实数根,A . k v 1, B . kw 1 C. k 1 D. k11. 如果一元二次方程x2 4x+ 2 = 0的两个根是x1 ,

16、x2，那么x1 + x2等于（）A. 4B. 4C. 2 D. 212.用换元法解方程（x2x） . x2-x = 6时，设. x2-x = y，那么原方程可化为（）2A. y + y 6= 0b. y2+ y + 6= 0亠 2C. y y 6= 0D.13设x1, x2是方程22x +3x-2=0的两个根，则x1 + x2的值是 （）A. -3 B.314.方程 x -x=0的解是（C . 0, -1D. 0, 1,- 1若设15.用换元法解方程=y,则原方程x+116两个数的和为6,差（注意不是积）为8，以这两个数为根的一元二次方程是17. 方程x 2 x=0的解是18. 等腰 ABC中

17、，BC=8 , AB、BC的长是关于x的方程x 2 10x+m= 0的两根，则m的值是19. 关于x的一元二次方程 ax2 +2x+仁0的两个根同号，则 a的取值范围是 .20. 解方程 2x2-9x+5=x-321. 解方程：x3 2x2 3x = 0.y=x+12 522. 解方程组：x +y =5223. 解方程：2 （x 1）+5 （ x-l） +2=0.224. 解方程：x 2x 2=0225. 解方程：x +5x+3=0226. 已知关于x的一元二次方程x -（彷_6=0的一个根是2,求方程的另一根和 k的值.2 227. 已知关于x的一元二次方程（k 4）x 3x k &_4=0

18、的一个根为o,求k的值.28. 如图1 2 3为长方形时钟钟面示意图，时钟的中心在长方形对角线的交点上，长方形的宽为20厘米，钟面数字2在长方形的顶点处，则长方形的长为 厘米.（此题用到三角函数）911 121f23-76154ffl I. 2-3中考预测题一、基础经典题（44分）（一）选择题（每题4分，共28分）【备考1】如果在1是方程x2+mx 仁0的一个根，那么 m的值为（）A . 2 B. 3 C. 1 D. 2【备考2】方程2x（x -3） =5（x -3）的解是（）55x =3 B.x Cx =3,x2D.x - -3A.22【备考3】若n是方程x mx 0的根，nz 0,贝U m

19、+n等于（）A . 7 B . 6C . 1D . 12【备考4】关于x的方程x mx n =0的两根中只有一个等于 0,则下列条件中正确的是（）A . m= 0, n= 0B . m = 0, n 丰 0C . m丰 0, n = 0D . mz0, n丰 0【备考5】以5 2 .6和5+2 6为根的一元二次方程是（）2A. x -10x 1 =0 b . x【备考12】关于x的方程（a+1）x 宀 + x5=0是一元二次方程，则a=.三、实际应用题（9分） 本题为增长率问题，一般形式为a （1+x） 2=b, a为起始时间的有关数量，b为终止时间的有关数量【备考13】2003年2月27日广

20、州日报报道：2002年底广州自然保护区覆盖率 （即自然保护区面积占全市面积的百分比）为4 . 65%,尚未达到国家 A级标准，因此，市政府决定加快绿化建设， 10x 1=02 2C. x -10x 1=0 D. x 10x 1 = 0【备考6】已知x1, x2是方程x2 x 3=0的两根，那么x X；值是（）49A . 1 B . 5 C . 7D、41 2 2x（m -3）x m 0【备考7】关于x的方程力争到2005年底自然保护区覆盖率达到8%以上，若要达到最低目标 8%，则广州市自然保护区面积的年平均增长率应是多少？（结果保留三位有效数字）14.据媒体报道，我国2018年公民出境旅游总人数约5000万人次，2018年公民出境旅游总人数约有两个不相等的实根，那么m的最大整数是（）A .