线性代数第10讲36279

1、4.2 向量组的线性相关性,上页,下页,铃,结束,返回,补充例题,首页,向量组的线性相关与线性无关 给定向量组A a1 a2 am 如果存在不全为零的数k1 k2 km 使 k1a1k2a2 kmam0 则称向量组A是线性相关的 否则称它线性无关 给定向量组A a1 a2 am 如果不存在不全为零的数k1 k2 km 使 k1a1k2a2 kmam0. 则称向量组A是线性无关的,4.2 向量组的线性相关性,上页,下页,铃,结束,返回,补充例题,首页,向量组的线性相关与线性无关 给定向量组A a1 a2 am 如果存在不全为零的数k1 k2 km 使 k1a1k2a2 kmam0 则称向量组A是

2、线性相关的 否则称它线性无关 换言之, 给定向量组A a1 a2 am 若 k1a1k2a2 kmam0, 必有k1=k2= km=0,则称向量组A是线性无关的,向量组的线性相关与线性无关 给定向量组A a1 a2 am 如果存在不全为零的数k1 k2 km 使 k1a1k2a2 kmam0 则称向量组A是线性相关的 否则称它线性无关,显然有 (1)含零向量的向量组必线性相关 (2)一个向量a线性相关 a0 (3)两个非零向量a1 a2线性相关 a1ka2(即对应分量成比例,下页,向量组的线性相关与线性无关 给定向量组A a1 a2 am 如果存在不全为零的数k1 k2 km 使 k1a1k2

3、a2 kmam0 则称向量组A是线性相关的 否则称它线性无关,向量组A a1 a2 am(m2)线性相关向量组A中至少有一个向量能由其余m1个向量线性表示,这是因为,如果向量组A线性相关 则有 k1a1k2a2 kmam0 其中k1 k2 km不全为0 不妨设k10 于是 a1(1/k1)(k2a2 kmam) 即a1能由a2 am线性表示,下页,向量组的线性相关与线性无关 给定向量组A a1 a2 am 如果存在不全为零的数k1 k2 km 使 k1a1k2a2 kmam0 则称向量组A是线性相关的 否则称它线性无关,向量组A a1 a2 am(m2)线性相关向量组A中至少有一个向量能由其余

4、m1个向量线性表示,这是因为,如果向量组A中有某个向量(不妨设am)能由其余m1个向量线性表示 即有1 2 m1 使 am1a12a2 m1am1 于是 1a12a2 m1am1(1)am0 因为1 2 m1 1不全为0 所以向量组A线性相关,下页,向量组的线性相关与线性无关 给定向量组A a1 a2 am 如果存在不全为零的数k1 k2 km 使 k1a1k2a2 kmam0 则称向量组A是线性相关的 否则称它线性无关,下页,问题: 如何判断向量组A是否线性表相关,向量组的线性相关与线性无关 给定向量组A a1 a2 am 如果存在不全为零的数k1 k2 km 使 k1a1k2a2 kmam

5、0 则称向量组A是线性相关的 否则称它线性无关,定理1 向量组A:a1 a2 am线性相关的充分必要条件是它所构成的矩阵A(a1 a2 am)的秩小于向量个数m 向量组线性无关的充分必要条件是R(A)m,这是因为 向量组A a1 a2 am线性相关 x1a1x2a2 xmam0即Ax0有非零解 R(A)m,下页,i)(定义)若 k1a1k2a2 kmam0, 必有k1=k2= km=0,给定向量组A a1 a2 am线性无关的等价条件,ii)(方程组) Ax0仅有零解,iii)(矩阵) R(A)=m,给定向量组A a1 a2 am线性相关的等价条件,i)(定义)存在不全为零的k1,k2,km使

6、得k1a1k2a2 kmam0,ii)(方程组) Ax0有非零解,iii)(矩阵) R(A)m,向量的线性相关性,a1,a2 ,an 线性相关,方程观点,矩阵观点,向量观点,向量的线性相关性,a1,a2 ,an 线性无关,方程观点,矩阵观点,向量观点,三个角度各有长短，取长补短，灵活运用，举一反三, 挥洒自如,游刃有余,庖丁解牛 庄子养生主,庖丁为文惠君解牛。手之所触，肩之所倚，足之所履，膝之所踦，砉然向然，奏刀騞然，莫不中音：合于桑林之舞，乃中经首之会。文惠君曰：“嘻，善哉！技盖至此乎？”庖丁释刀对曰：“臣之所好者，道也；进乎技矣。始臣之解牛之时，所见无非牛者；三年之后，未尝见全牛也。方今之

7、时，臣以神遇而不以目视，官知止而神欲行。依乎天理，批大郤，导大窾，因其固然，技经肯綮之未尝，而况大？乎！良庖岁更刀，割也；族庖月更刀，折也。今臣之刀十九年矣，所解数千牛矣，而刀刃若新发于硎。彼节者有间，而刀刃者无厚；以无厚入有间，恢恢乎其于游刃必有余地矣！是以十九年而刀刃若新发于硎。虽然，每至于族，吾见其难为，怵然为戒，视为止，行为迟。动刀甚微，？然已解，如土委地。提刀而立，为之四顾，为之踌躇满志；善刀而藏之。”文惠君曰：“善哉！吾闻庖丁之言，得养生焉。,启示,对“道”的不懈追求，追求的过程充满乐趣。 一切事物不管是何等复杂，都有其自身规律，循其规律，不断探索，反复实践，积累经验，终能 “游刃

8、有余,学习线性代数不仅是会做题目，更重要的学习 线性代数提供的思想和方法，用这些方法指导 你做事。过十年，二十年后，也许题目你 忘记怎么做了，但你学习到的思想和方法在你 头脑中根深蒂固，为你提供强大的思想武器， 使你终生受益。 注意：这些思想方法不通过勤奋学习，苦思 冥想是不可能变为己有的,设有x1 x2 x3使 x1b1x2b2x3b30 即 x1(a1a2)x2(a2a3)x3(a3a1)0 亦即 (x1x3)a1(x1x2)a2(x2x3)a30 因为a1 a2 a3线性无关 故有,例1 已知向量组a1 a2 a3线性无关 b1a1a2 b2a2a3 b3a3a1 试证向量组b1 b2

9、b3线性无关,证法一（定义,由于此方程组的系数行列式,故方程组只有零解 x1x2x30 所以向量组b1 b2 b3线性无关,下页,把已知的三个向量等式写成一个矩阵等式,例1 已知向量组a1 a2 a3线性无关 b1a1a2 b2a2a3 b3a3a1 试证向量组b1 b2 b3线性无关,证法二（线性方程组,因为矩阵A的列向量组线性无关 所以可推知Kx0 又因|K|20 知方程Kx0只有零解x0 所以矩阵B的列向量组b1 b2 b3线性无关,记作BAK,设Bx0,以BAK代入得A(Kx)0,下页,例1 已知向量组a1 a2 a3线性无关 b1a1a2 b2a2a3 b3a3a1 试证向量组b1

10、b2 b3线性无关,证法三 （矩阵的秩,因为A的列向量组线性无关 所以R(A)3 从而R(B)3 因此b1 b2 b3线性无关,因为|K|20 知K可逆,所以R(B)R(A,把已知的三个向量等式写成一个矩阵等式,记作BAK,下页,例2 设向量组B：b1,b2,br能由向量组A：a1,a2,as 线性表示为 （b1,br)=(a1,.,as)K, 其中K为sr矩阵，且A线性无关.证明B组线性无关的充要条件是K的秩R(K)r,证明,向量组B线性无关,设Bx0,A(Kx)0,把(b1,br)=(a1,.,as)K 记作BAK,充分性,A线性无关,Kx0,R(K)r,x0,例2 设向量组B：b1,b2

11、,br能由向量组A：a1,a2,as 线性表示为 （b1,br)=(a1,.,as)K, 其中K为sr矩阵，且A线性无关.证明B组线性无关的充要条件是K的秩R(K)r,证明,BAK,R(K)R(B,把b1,br)=(a1,.,as)K 记作BAK,必要性,B线性无关,rR(K,R(K)r,R(B)=r,R(K)r,定理2 (1)若向量组A a1 a2 am线性相关 则向量组B a1 a2 am am1也线性相关 反之 若向量组B线性无关 则向量组A也线性无关,这是因为 记A(a1 a2 am) B( a1 a2 am am1) 有 R(B)R(A)1 若向量组A线性相关 则有R(A)m 从而

12、R(B)R(A)1m1 因此向量组B线性相关,下页,定理2 (1)若向量组A a1 a2 am线性相关 则向量组B a1 a2 am am1也线性相关 反之 若向量组B线性无关 则向量组A也线性无关,这个结论可一般地叙述为 一个向量组若有线性相关的部分组 则该向量组线性相关 一个向量组若线性无关 则它的任何部分组都线性无关,特别地 含零向量的向量组必线性相关,下页,定理2 (1)若向量组A a1 a2 am线性相关 则向量组B a1 a2 am am1也线性相关 反之 若向量组B线性无关 则向量组A也线性无关,2)m个n维向量组成的向量组 当维数n小于向量个数m时一定线性相关 特别地 n1个n

13、维向量一定线性相关,这是因为 m个n维向量a1 a2 am构成矩阵 Anm(a1 a2 am) 有R(A)n,若nm 则R(A)nm,故m个向量a1 a2 am线性相关,下页,定理2 (1)若向量组A a1 a2 am线性相关 则向量组B a1 a2 am am1也线性相关 反之 若向量组B线性无关 则向量组A也线性无关,2)m个n维向量组成的向量组 当维数n小于向量个数m时一定线性相关 特别地 n1个n维向量一定线性相关,3)设向量组A a1 a2 am线性无关 而向量组B a1 a2 am b线性相关 则向量b必能由向量组A线性表示 且表示式是唯一的,这是因为 记A(a1 a2 am) B

14、( a1 a2 am b) 有,即向量b能由向量组A线性表示 且表示式唯一,有唯一解,a1 a2 am)xb,因此方程组,即有R(B)R(A)m,mR(A)R(B)m1,下页,例3 设向量组a1 a2 a3线性相关 向量组a2 a3 a4线性无关 证明 (1) a1能由a2 a3线性表示 (2) a4不能由a1 a2 a3线性表示,a2 a3 a4线性无关,证,a1 a2 a3线性相关,结束,a2 a3也线性无关,1,a1能由a2 a3线性表示,2,a1 ,a2,a3线性相关,R(a1,a2 a3)3 (*,R(a1,a2 a3, a4) R(a2 a3 ,a4)=3 (*,a2 a3 a4线

15、性无关,R(a2 a3 ,a4)=3,综合(*),(*)得,R(a1,a2 a3, a4) R(a1 a2 ,a3) ，得证,小结,概念：线性相关，线性无关. 性质: 定理1 向量组A:a1 a2 am线性相关R(A) m; 线性无关R(A)m. 定理2 A a1 am线性相关B a1 am am1线性相关; 反之 向量组B线性无关向量组A也线性无关 (2)m个n维向量组成的向量组A 若 nm A线性相关; 特别地 n1个n维向量一定线性相关 (3)A a1 a2 am线性无关 B a1 a2 am b线性相关 b必能由A线性表示 且表示式是唯一的,定理1 b能由向量组A a1 a2 am线性表示 R(A)R(A, b) 定理2 向量组B能由向量组A 线性表示 R(A)R(A B) 推论向量组A与向量组B等价 R(A)R(B)R(A B) 定理3 向量组A:a1 a2 am线性相关 R(A) m; 向量组A:a1 a2 am线性无关 R(A)m,定理1 b能由向量组A a1 a2 am线性表示 R(A)R(A, b) Axb有解. 定理2 向量组B能由向量组A 线性表示 R