专题电磁导轨问题归类分析

1、电磁导轨问题归类分析在电磁感应中有一类比较典型的问题：电磁导轨问题。电磁感应中的导轨上的导体棒问题是历年高考 的热点。其频考的原因，是因为该类问题是力学和电学的综合问题，通过它可以考查考生综合运用知识的 能力。它涉及力学、功能关系、电磁学等一系列基本概念、基本规律和科学思维方法。今天这节课我们一 起来总结一下高中阶段所碰到的电磁导轨问题，共同研究它们的基本特点和规律。一、发电式导轨的基本特点和规律(单杆滑动)如图1所示，间距为I的平行导轨与电阻 R相连，整个装置处在大小为 B、垂直导轨平面向上的匀强磁场中，质量为 m、电阻为r的导体从静止开始沿导轨滑下，已知导体与导轨的动摩擦因数为卩。1、电路

2、特点讲解：导体棒开始运动后要切割磁感线， 从而产生感应电流, 象这样的导轨我们称之为发电式导轨。 它的电特点就是导体 棒等效为电源。所以导体棒运动后导轨就可成如下电路图。电源电动势的大小，由导体棒的运动速度决定E=Blv2、安培力的特点通有电流的导体棒在磁场中要受到安培力作用。请判断安培力的方向与运动方向相反，所以安培力为阻力Fb=BI l=BvR r3、加速度特点根据导体棒运动时的受力特点，可得加速度2 2小 mg sin mg cos Bl v/(R r)am加速度随速度增大而减小，导体做加速度减小的加速运动4、两个极值的规律当v=0时，Fb=0，加速度最大为 am=g ( sinB -卩

3、cos 0)2 2当a=0时，F=0，速度最大，根据平衡条件有mgs in 0 =卩mgcos 0 + B丨vm(R r)所以，最大速度为vmmg (sincos )(Rr)5、匀速运动时能量转化规律当导体以最大速度匀速运动时，重力的机械功率等于安培力功率(即电功率)和摩擦力功率之和，并 均达到最大值。Pgmgvm sinPG = PF+Pf PFPfFmVm1 m Emmgvm cosEmim(R r)当卩=0时，重力的机械功率就等于安培力功率，也等于电功率，这是发电导轨在匀速运动过程中，最 基本的能量转化和守恒规律。mgvmsin 0 =Fmvm=I mEmEml；(R r)综述：电磁感应

4、中关于导轨的习题，涉及运动学、牛顿定律、动量守恒及动量定理、能量关系等相关知识, 现分类如下:1. 在恒定外力作用下，做匀速运动例1:长为L、电阻r=0.3Q、质量M=0.1 kg的金属棒 0D垂直跨在位于水平面上的两条平行光滑金属 导轨上，两导轨的间距也为 L,棒与导轨接触良好，导轨电阻不计，导轨左端接有 R=0.5 Q的电阻，量程03.0A的电流表串接在一条导轨上，量程为 01.0V的电压表接在电阻 R的两端。垂直导轨平面的匀强磁场 向下穿过平面，现用向右恒定的外力 F使金属棒以V=2m/s向右匀速滑动，观察到电路中的一个电表正好满F多大?偏，而另一个电表未满偏，贝U满偏的电表是哪个表？拉

5、动金属棒的外力 解析：应是电压表满偏。此时U=1.0V , l=U/R=2.0AV2,回路的电动势BL (vi V2)R7,电流为逆时针方向,ab、cd棒所受的安培力方向分别向左、向右，安培力分别对ab、cd棒做负功、正功，选项 A错误，选项B正确；导体棒最后做加速度相同、速度不同的匀加速运动，且viv2, abdca回路的磁通量一直增加， 选项C错误；对系统，由动能定理可知，F做的功和安培力对系统做的功的代数和等于系统动能的增量，而安培力对系统做的功等于回路中产生的总热量，选项D正确.例2如图7,在水平面上有两条导电导轨 MN PQ导轨间距为L,匀强磁场垂直于导轨所 在的平面（纸面）向里，磁

6、感应强度的大小为 B。两根金属杆1、2摆在导轨上，与导轨垂直， 它们的质量和电阻分别为E和出。两杆与导轨接触良好，与导轨间的动摩擦因数皆 为。已知：杆1被外力拖动，以恒定的初速vO沿导轨运动；达到稳定状态时，杆 2也以恒 定速度沿导轨运动。导轨的电阻可忽略。求此时杆 2克服摩擦力做功的功率。解析 设杆2的运动速度为v,由于两杆运动时，两杆和导轨构成的回路中的磁通量发生 变化，产生感应电动势E Z血 -感应电流|1二E/(Rl+RJ杆2做匀速运动，它受到的安培力等于它受到的摩擦力 BIL =如:g导体杆2克服摩擦力做功的功率 联立式得P =風竹-(艸徉+%) /E江总之，通过以上的分析，可以看出

7、：对导轨上的单导体棒问题，其稳定状态就是导体棒最 后达到的匀速运动状态。稳定条件是导体棒的加速度为零。 对导轨上的双导体棒运动问题，在 无安培力之外的力作用下的运动情况，其稳定状态是两棒最后达到的匀速运动状态，稳定条件 是两棒的速度相同；在有安培力之外的恒力作用下的运动情况，其稳定状态是两棒最后达到的 匀变速运动状态，稳定条件是两棒的加速度相同，速度差恒定。例3. (2014天津卷)如图所示，两根足够长的平行金属导轨固定在倾角=30。的斜面上，导轨电阻不计，间距L=0.4m。导轨所在空间被分成区域I和H，两区域的边界与斜面的交线为MN，I中的匀强磁场方向垂直斜面向下，H中的匀强磁场方向垂直斜面

8、向上，两磁场的磁场感应度大小均为B=0.5T，在区域I中，将质量 mi=0.ikg，电阻Ri=0.1的金属条ab放在导轨上，ab刚好不下滑。然后，在区域n中将质量m2=0.4kg，电阻R2=0.1的光滑导体棒cd置于导轨上，由静止开始下滑，cd在滑动过程中始终处于区域n的磁场中，ab、cd始终与轨道垂直且两端与轨道保持良好接触，取g=10m/s2,问(1) cd下滑的过程中，ab中的电流方向；2) ab将要向上滑动时，cd的速度v多大；3) 从cd开始下滑到ab刚要向上滑动的过程中，cd滑动的距 离x=3.8m，此过程中ab上产生的热量 Q是多少。【答案】(1 )由a流向b ( 2) 5m/S

9、 (3)1.3 J【考点】牛顿第二定律、能量的转化与守恒定律、闭合电路的欧姆定律【解析】(1)由a流向b(2)开始放置ab刚好不下滑时，ab所受摩擦力为最大静摩擦力，设其为Fmax有 Fmax= m1gSin设ab刚好要上滑时，cd棒的感应电动势为 E，由法拉第电磁感应定律有E=Blv设电路中的感应电流为I，由闭合电路的欧姆定律设ab所受安培力为F安，有F安 = ILB此时ab受到的最大静摩擦力方向沿斜面向下，由平衡条件有F安=migsin + Fmax代入数据解得v = 5m / s（3）设cd棒的运功过程中电路中产生的总热量为总，由能量守恒有1Rim2gsinQ总2吋 又Q解得 Q=1.3

10、J例4两金属杆ab和cd长均为I，电阻均为R,质量分别为M和m, Mm,用两根质量和电阻均可忽略的不可伸长的柔软导线将它们连成闭合回路， 并悬挂在水平光滑不导电的圆棒两 侧，两金属杆处在水平位置， 如图4所示，整个装置处在一与回路平面相垂直的匀 强磁场中，磁感强度为 B，若金属杆ab正好匀速向下运动，求运动速度。【解析】设磁场垂直纸面向里，ab杆匀速向下运动时，cd杆匀速向上运动，这时 两杆切割磁感线运动产生同方向的感应电动势和电流，两棒都受到与运动方向相反的安培力，如图5所示，速度越大，电流越大，安培力也越大，最后ab和cd达到力的平衡时作匀速直线运动。回路中的感应电动势：EE1 E2 2B

11、lv回路中的电流为：IEBlv2RRab受安培力向上，cd受安培力向下，大小都为:F BIlB2l2v设软导线对两杆的拉力为 T，由力的平衡条件:对 ab有: T + F = Mg对 cd 有: T = mg + F所以有：2B l V (MRm）g，解得：v(M m)gRr22B l2例5 （2003年全国理综卷）如图所示，两根平行的金属导轨，固定在同一水平面上，磁感应强度B=0.50T的匀强磁场与导轨所在平面垂直，导轨的电阻很小，可忽略不计。导轨间的距离l=0.20m。两根质量均为m=0.10kg的平行金属杆甲、乙可在导轨上无摩擦地滑动，滑动过程中与导轨保持垂直，每根金属杆的电阻为R=0.

12、50 Q。在t=0时刻，两杆都处于静止状态。现有一与导轨平行、大小为0.20N的恒力F作用于金属杆甲上，使金属杆在导轨上滑动。经过t=5.0s，金属杆甲的加速度为 a=1.37m/s2，问此时两金属杆的速度各为多少？（动量）解析：设任一时刻t两金属杆甲、乙之间的距离为x,速度分别为v1和v2，经过很短的时间 t，杆甲移动距离v1 t，杆乙移动距离 v2 t，回路面积改变由法拉第电磁感应定律，回路中的感应电动势E7 =回路中的电流U = 时为0）等于外力F的冲杆甲的运动方程二七二由于作用于杆甲和杆乙的安培力总是大小相等，方向相反，所以两杆的动量联立以上各式解得叫二丄生十芋3_加训12 m1风2尺

13、w代入数据得 1: 点评：题中感应电动势的计算也可以直接利用导体切割磁感线时产生的感应电动势公式和右手定则求解：设甲、乙速度分别为v1和v2，两杆切割磁感线产生的感应电动势分别为E1= Blvl , E2 = Blv2 由右手定则知两电动势方向相反，故总电动势为E = E2 E1 = Bl （v2 v1 ）。分析甲、乙两杆的运动，还可以求出甲、乙两杆的最大速度差“；：开始时，金属杆甲在恒力F作用下做加速运动，回路中产生感应电流，金属杆乙在安培力作用下也将做加速运动，但此时甲的加速度肯定大于 乙的加速度，因此甲、乙的速度差将增大。根据法拉第电磁感应定律，感应电流将增大，同时甲、乙两杆 所受安培力

14、增大，导致乙的加速度增大，甲的加速度减小。但只要a甲a乙，甲、乙的速度差就会继续增大，所以当甲、乙两杆的加速度相等时，速度差最大。此后，甲、乙两杆做加速度相等的匀加速直线运动。设金属杆甲、乙的共同加速度为a,回路中感应电流最大值Im。对系统和乙杆分别应用牛顿第二定律有：F=2ma; BLIm=ma。由闭合电路欧姆定律有 E=2ImR，而. 丄八;由以上各式可解得FR4. “双杆”在不等宽导轨上同向运动。“双杆”在不等宽导轨上同向运动时，两杆所受的安培力不等大反向，所以不能利用动量守恒定律解题。例1 （2004年全国理综卷）图中 alblcldl和a2b2c2d2为在同一竖直平面内的金属导轨，处

15、在磁感应强度 为B的匀强磁场中，磁场方向垂直于导轨所在平面（纸面）向里。导轨的albl段与a2b2段是竖直的，距离为11 ; cldl段与c2d2段也是竖直的，距离为 12。x1 y1与x2 y2为两根用不可伸长的绝缘轻线相连的金属细杆，质量分别为 ml和m2，它们都垂直于导轨并与导轨保持光滑接触。两杆与导轨构成的回路的总 电阻为R。F为作用于金属杆 xlyl上的竖直向上的恒力。已知两杆运动到图示位置时，已匀速向上运动， 求此时作用于两杆的重力的功率的大小和回路电阻上的热功率。X1解析：设杆向上的速度为 V,因杆的运动，两杆与导轨构成的回路的面积减少，从而磁通量也减少。由法拉第电磁感应定律，回

16、路中的感应电动势的大小xlyl的安培力为回路中的电流卫 电流沿顺时针方向。两金属杆都要受到安培力作用，作用于杆方向向上,作用于杆x2y2的安培力为二一 方向向下,当杆作匀速运动时，根据牛顿第二定律有7 - ； 一 (朋十眈 =解以上各式得-F-M +%)g计=37 k%-疔 作用于两杆的重力的功率的大小2电阻上的热功率- 由式，可得问题4:电磁感应中的一个重要推论一一安培力的冲量公式3皿=BUM = BLq = BL 暫R感应电流通过直导线时，直导线在磁场中要受到安培力的作用，当导线与磁场垂直时，安培力的大小为二 BLILt 二殛二血他F=BLI。在时间厶t内安培力的冲量亠二，式中q是通过导体

17、截面的电量。禾U用该公式解答问题十分简便，下面举例说明这一点。例1如图所示，在光滑的水平面上，有一垂直向下的匀强磁场分布在宽为（aL）的正方形闭合线圈以初速V0垂直磁场边界滑过磁场后速度变为完全进入磁场中时线圈的速度大于（安全进入磁场中时线圈的速度等于（完全进入磁场中时线圈的速度小于（以上情况A、L的区域内，有一个边长为av（ vX XX XX X解析：当金属棒ab做切割磁力线运动时，要产生感应电动势，这样，电容器C将被充电，ab棒中有充电电流存在，ab棒受到安培力的作用而减速，当ab棒以稳定速度v匀速运动时，有：BLv=U=q/C而对导体棒ab利用动量定理可得： BLq=mv mv0由上述二式可求得:C的电容器，框架上有一质量为m,例2 :两根竖直放置在