高中不等式的常用证明方法归纳总结

1、学习必备名师推荐精心整理不等式的证明方法不等式的证明是高中数学的一个难点， 证明方法多种多样，近几年高考出现较为形式较为活跃， 证明中经常 需与函数、数列的知识综合应用，灵活的掌握运用各种方法是学好这部分知识的一个前提， 下面我们将证明中常 见的几种方法作一列举。注意a2 b2 _2ab的变式应用。常用；a2 +b2- 2（其中a,b R ）来解决有关根式不等式的问题。一、比较法比较法是证明不等式最基本的方法，有做差比较和作商比较两种基本途径。丄2a1、已知a,b,c均为正数，求证:1+2b1+2c证明：T a,b均为正数,1+4a 4bb(a b) a(a4ab(a b)b) -4ab (a

2、-b)工04ab(a b)同理-4b 4c2一(b-c)4bc(b c)0,丄4c 4a c a2Ca)4ac(a c)三式相加，可得1 1+2a 2b1102c a b b c c a1 1+ +b c c a1112a 2b 2c a b、综合法综合法是依据题设条件与基本不等式的性质等，运用不等式的变换，从已知条件推出所要证明的结论。2、a、b、c （0，, a b c =1，求证:2 2 2 2证：=3(a b c ) _(a b c) 2 2 2=2 a 2b 2c - 2ab2bc2ca2 2 2 2 2 2 23(ab c ) - (a b c) = (a - b) (b - c)

3、 (c - a) - 04443、设a、b、c是互不相等的正数，求证： a b c abc(a b c)证 :/a4 b4 2a2b2b4 c42b2 c24. 442 2- 2222a b c a b b c c a/a2b2b2c22 a2b2 b2c2=2ab2c同理：b2c2c2a22bc2aa2b2b2c2c2a2 abc(ab c)4、 知 a,b,c R，求证：.a? b? ，b? C?c? a? _、2(a b c)2 2 2 2 2 2 2 证明： a b 一2ab 2(a b)a 2ab b -(a b)c4a4 2c2a2c2a2 a2b22ca2b名师推荐精心整理学习必

4、备2即ab(a 2b)，两边开平方得b上乎a +b| (a b)2同理可得 b c-2 (bc) C a(C a)三式相加，得2 2 2 2 2 2a b b c c a - 2(a b c)5、x、y (0,：)且 x y =1，(1)(11 )_ 9证：x y 。11x + y(1 一)(1 一)= (1 )(1 证：x yxx yyxy x)=(2 )(2 ) =5 2( )yxyxy_522=96、已知 a,b R , a b =1 求证:du.、a.k b.丿 9a,b R ,a b =1策略：由于ab -ab 说明a,b R；a，b=1的背后隐含着一个不等式4ab1a, b R ,

5、a b = 1. ab _ 4而仃J仏4 1 ! 1而 1 + 丨 1 + 1=1 + b丿 aa b i-1 =1?_18=9.ab ab ab ab三、分析法分析法的思路是“执果索因”从求证的不等式出发，探索使结论成立的充分条件，直至已成立的不等式。7、已知a、b、c为正数，求证:2(a2b_ ab) a ； c-3.abc)a b 、，a b c 3 2(xab)兰3(Jabc)二cP厂丁证：要证：23只需证：-2*ab兰c-3abc即: c 2 . ab - 33 abc / c . abab 一 33 c . ab 、ab 二 33. abc 成立.原不等式成立8、a、b、c 匕(0

6、, +处)且 a+b+c=1，求证 &a+Pb+長兰眾。证：、a b c 乞、3 二(a 、b . c)2 - 3即：2 ab 2 bc 2 ac 岂 2/ 2 ab - a b 2 be - b c 2 ac - a c即 2 ab 2 be 2 ac乞(a b) (b c) (a =2.原命题成立四、换元法以达到化难为易的目换元法实质上就是变量代换法，即对所证不等式的题设和结论中的字母作适当的变换， 的。/ 22b 1，求证:ab +”(1 _a )(1 _b ) 1b =si n 1ia 式 kjr +-证明：令 a =sin2 k=sin a sin 0 + cosacos r-=si

7、n a sin P二cos： cos -=cos 士 B) 1 ab+J(1 _a 2)(1 _b2) 110、X2十y2 i，求证：一 J2兰x + y兰722 2证：由 x y 二1 设 x=cos： , y=sin： .si n： = . 2 si n()三：；2,. 24-2 x + y bc,求证：a -b b -c a -cc=y (x, y0) 贝U a c= x + y,原不等式证明： a b0, b c0, a c0可设 a b=x, b-_ 2 原不等式成立(当仅y x1 1 4 1 1转化为证明 一-即证(x - y)(- -K4，即证2x y x yx yx=y当“=”

8、成立) 12、已知 1wx2 + y2 w2,求证：-w x2 xy + y 22证明：T 1 w x2 + y 2 w 2，可设 x = rcos vy = rsin其中2 w 2, 0w r v 2 . x2 xy + y2 = r 2 r2 sin 2卄 r 2(1 - sin 2 ), 23 2 12 2r w 3 w x xy + y w 3. 2 一-sin 22丄2 w r2(1 21 sin 2二)w 3 r 2，而 1 r2 1 ,2 2 2 2w . 10 .13、已知 x证明：x 2xy + y = (x y) 2xy + y2 w 2，求证:2 + y2,其中0w可设

9、x y = rcos , y = rsinI x + y | =| x y + 2y | = | rcos 二+ 2rsin | = r| 5 sin( +1racta n)|214、解不等式.5 - x - x 1 -2解：因为(.5 -X)2( x 1)2=6，故可令、5x = ： 0,将上式两边平方并整理，得48 cos J +4 6 cos 23v 0解得 0 w cos v v282 一 6所以224 47x = 6cosS 1 v，且x 1,故原不等式的解集是x|-1 wxv241224 . 471215、- K-X2 -x 0, K x b c)的不等式，常用增量进行代换，代换的

10、目的是减少变量的个数，使要证的结论更清晰，思路更直观，这样可以使问题化难为易，化繁为简.2516、 已知 a,R,且 a+ b = 1，求证：(a + 2) 2 + (b + 2) 2 .211证明：T a, b 二 R,且 a+ b = 1，设 a =+1 , b= t, (t - R)2 2则(a +2)2+(b+ 2) 2 = ( 1 +t + 2) 2 + (- t + 2) 2 = (t+ 5 )2 + (t 5)2 = 2t 2 +空-25.22 2 222 (a +2)2+(b+ 2) 2 25 .2六、利用“1”的代换型111已知 a,b,c R ,且 a b c = 1,求证

11、：-9.17、a b c策略：做“ 1”的代换。111a+b+ca+b+ca+b+c丄 b 丄a 1ca !cb c丄c丄c丄cc丄 +丄 +Jv+一=3十_+_叶_十_ |+ 一 +_ 庄3 + 2+2十2 = 9证明： abc abcla b.丿 lac.丿9c丿七、反证法反证法的思路是“假设 矛盾 肯定”，采用反证法时，应从与结论相反的假设出发，推出矛盾的过程中，每一步推理必须是正确的。18、若 p0, q0, p3 + q 3= 2，求证：p+ qw 2.证明：反证法假设 p + q2,则(p + q) 3 8，即 p3 + q3 + 3pq (p + q) 8, v p3 + q3

12、= 2 , pq (p + q) 2.故 pq (p + q) 2 = p 3 + q3= (p + q)( p 2 pq+ q2 )，又 p 0, q 0 = p + q 0,2 2 pq p pq+ q ,即(p q)2v 0,矛盾.故假设p+ q 2不成立,p+ qw 2.119、已知 a、b、c ( 0, 1),求证:(1 - a)b , (1 - b)c , (1 - c)a，不能均大于 4。(1a), b均为正1 证明：假设(1 一司b , (1 b) c, (1 -c) a均大于4(1-a b2(1 - c)a 1 2 2(1 -b) c同理 2(1 a) b (1 b) c (

13、1 c) a2 2 23 322不正确 假设不成立 原命题正确20、已知 a,b,c ( 0, 1),求证:(1 a) b,(1 b) c,(1 c) a不能同时大于(1 - a) b2(1 - a)b121证明：假设三式同时大于/ 0v a v 1 1 a 0421、a、b、c R, a b c 0 , ab bc ca 0, a b c 0，求证：a、b、c 均为正数。证明：反证法：假设 a、b、c不均为正数又/ a b c 0 a、b、c两负一正不妨设 a0 , b0 , ca0 又a+b+c0c-(a+b)A 0 同乘以(a +b)2 2 2c(a +b) c(a +b)即 ac+bc

14、+ab c-(a +ab+b ) v0，与已知 ab+bc + ca a0 矛盾假设不成立 a、b、c均为正数八、放缩法放缩时常用的方法有：1去或加上一些项2分子或分母放大(或缩小)3用函数单调性放缩 4用已知不等式放缩22、已知a、b、c、d都是正数，求证:v 2.dab证明:cccvv a b c d b c d c ddddvv a b c d c d a c dadab将上述四个同向不等式两边分别相加，得:adabv 2.23、122( . n 1 -1) ： 11 1 1-2 - n _123. n。2：2=2(k-k-1)-22k i k k k -1-2； k 1 - k)k k

15、 ，一 k k . k 1：12(、2 -1)2(、3 - . 2) 假(n -、n -1)=2 n _11 la.2(.21) 2(.、3.2)2(. n 1 、n)2n2(. n 1 一 1)判别式法2 2 224、A、B C为 ABC 的内角，x、y、z 为任意实数，求证：x y z _ 2yzcos A 2xzcosB 2xycosC。2 2 2证明：构造函数，判别式法令f(x) = x +y +z (2yzcosA+2xzcosB+2xycosC)222=x -2 x(zcosB ycosC) (y z -2yzcosA)为开口向上的抛物线2 2 2.: =4(zcosB ycosC

16、) -4(y z -2yzcosA)2 2 2 2= 4(-z sin B-y sin C 2yzcosBcosC 2yzcosA)2 2 2 2=4z sin B y sin C2yzcosBcosC 2yz(cosBcosCsin BsinC)2 2 2 2 2-4z sin B y sin C -2yzsin BsinC - -4(zsin B - ycosC)二0无论y、z为何值，厶-0 R f(x)0.命题真九、构造函数法构造函数法证明不等式 24设0 a、b、c2ab+ 2bc+ 2ca .证明：视 a 为自变量，构造一次函数 f (a) = 4a+ b2 + c2 + abc 2

17、ab 2bc 2ca = (bc 2b 2c + 4)a + (b 2+ c2 2bc)，由 0w aw 2,知 f (a)表示一条线段.又 f (0) = b 2 + c2 2bc = (b c) 20, f (2) = b2 + c2 4b 4c + 8 = (b 2) 2 + (c 2) 20,2 2可见上述线段在横轴及其上方，.f (a) 0, 即卩4a + b + c + abc 2ab + 2bc + 2ca .构造向量法证明不等式根据已知条件与欲证不等式结构，将其转化为向量形式，利用向量数量积及不T T Tf等式关系m n w | m| | n|，就能避免复杂的凑配技巧，使解题过

18、程简化应用这一方法证明一些具有和 积结构的代数不等式，思路清晰，易于掌握.+2525、设 a、b R，且 a+ b =1，求证：(a + 2) 2 + (b + 2) 2 .2证明：构造向量 m = (a + 2, b + 2), n = (1 , 1).设m和n的夹角为，其中0ww二. 22- I m| = . (a 2) (b 2), | n | =2 , m n =| m | | n |cos 二=.(a 2)2 (b 2)22 cos用；另一方面，m n = (a + 2) 1+ (b + 2) 1 = a + b+ 4 = 5,而 0w |cosw 1,所以.(a 2)2 (b 2)

19、2 . 2 5，从而(a + 2)2 + (b + 2)2 25 .构造解析几何模型证明不等式如果不等式两边可以通过某种方式与图形建立联系，则可根据已知式的结构挖掘出它的几何背景，通过构造解析几何模型，化数为形，利用数学模型的直观性，将不等式表达的抽象数量关系转化为图形加以解决.26、设 a 0, b 0, a + b = 1，求证：.2&一1 + 21 2.2 .证明：所证不等式变形为：2a十1十1 0, y 0)上.如图所示，AD丄BC,半径 AO AD,即有： 去* +1 密2b + 1 三 2,所以 J2a + 1 + ：2b +1 w 2/2 .V21.实数绝对值的定义：囘=卜也0这

20、是去掉绝对值符号的依据，是解含绝对值符号的不等式的基础。2最简单的含绝对值符号的不等式的解。若 a0 时，贝卩 |x|a 三-axa u? xa。注:这里利用实数绝对值的几何意义是很容易理解上式的，即|x|可看作是数轴上的动点P(x)到原点的距离。3常用的同解变形|f(x)|g(x)-g(x)f(x)g(x) l f(x)g(x);|f(x)|g(x)|f2(x)g 2(x)。4 三角形不等式：|a|-|b| w |a b| w|a|+|b|高中数学复习专题讲座关于不等式证明的常用方法高考要求不等式的证明，方法灵活多样，它可以和很多内容结合高考解答题中，常渗透不等式证明的内容，纯不等式的证明，

21、历来是高中数学中的一个难点，本节着重培养考生数学式的变形能力，逻辑思维能力以及分析问题和解决问题的能力重难点归纳1 不等式证明常用的方法有比较法、综合法和分析法，它们是证明不等式的最基本的方法名师推荐精心整理学习必备(1) 比较法证不等式有作差(商)、变形、判断三个步骤，变形的主要方向是因式分解、配方，判断过程必须详细叙述如果作差以后的式子可以整理为关于某一个变量的二次式，则考虑用判别式法证(2) 综合法是由因导果，而分析法是执果索因，两法相互转换，互相渗透，互为前提，充分运用这一辩证关 系，可以增加解题思路，开扩视野放缩法是不等2、不等式证明还有一些常用的方法 ：|换元法、放缩法、反证法、函

22、数单调性法、判别式法、数形结合法等。|换元法主要有三角代换,两种，在应用换元法时，要注意代换的等价性式证明中最重要的变形方法 之一，放缩要有的放矢，目标可以从要证的结论中考查有些不等式，从正面证“惟一”或含有其他否定词的命题，适宜用反证法如果不易说清楚，可以考虑反证法凡是含有“至少”证明不等式时，要依据题设、题目的特点和内在联系，选择适当的证明方法，要熟悉各种证法中的推理思维，并 掌握相应的步骤、技巧和语言特点典型题例示范讲解111l*例1证明不等式1 +2你(n N )命题意图辑分析能力知识依托缩法、构造法等错解分析1 -1.2. 3n本题是一道考查数学归纳法、不等式证明的综合性题目，考查学

23、生观察能力、构造能力以及逻1 -23此题易出现下列放缩错误1 1本题是一个与自然数 n有关的命题，首先想到应用数学归纳法，另外还涉及不等式证明中的放这样只注重形式的统一，而忽略大小关系的错误也是经常发生的技巧与方法 本题证法一采用数学归纳法从 n=k到n=k+1的过渡采用了放缩法证法二先放缩，后裂项,有的放矢，直达目标而证法三运用函数思想，借助单调性，独具匠心，发人深省证法一 (1)当n等于1时，不等式左端等于1,右端等于2，所以不等式成立1 1 1(2)假设n=k(k1)时，不等式成立，即 1+v 2 k ,1 1 1 1则1 一：【- 一一一 -2、.k ：【一2了 3Vk +1、，k+1

24、=2 乔,当n=k+1时，不等式成立1 1综合(1)、得 当n N*时，都有1 +V23另从k到k+1时的证明还有下列证法2(k 1) -1 -2. k(k 1)二k -2. k(k 1) (k 1)=C k -k 1)又如：2 -k 1 -2 .k ： 20,.2 k(k 1)1 ：2(k 1),.k 10,. 2、k 12、k 1.Wk +1 + JkJk +1 + Jk +1.2 k 1：2 -.k 1.vk +1Uk +1证法二 对任意k N ,都有证法三设1kkk ： k k 一严5111_ _ 因此 1 2 2(.,2 _1) 2(.3 2)亠 亠2 (. n_. n_ 1)=2.

25、n.2 f(k)因此，对任意 n N* 都有 f(n)f(n 1) f(1)=1 0,11 .21:2n.例2求使x i y w a . x y (x 0, y 0)恒成立的a的最小值命题意图本题考查不等式证明、求最值函数思想、以及学生逻辑分析能力知识依托 该题实质是给定条件求最值的题目，所求a的最值蕴含于恒成立的不等式中，因此需利用不等式的有关性质把a呈现出来，等价转化的思想是解决题目的突破口，然后再利用函数思想和重要不等式等求得最值错解分析本题解法三利用三角换元后确定a的取值范围，此时我们习惯是将x、y与cosB、sinB来对应进行换元，即令x =cos 0 , y =sin 0 (0 v

26、 B v _ )，这样也得a sin 0 +cos 0，但是这种换元是错误的其原2因是 (1)缩小了 x、y的范围(2)这样换元相当于本题又增加了“x、y=1 ”这样一个条件，显然这是不对的技巧与方法除了解法一经常用的重要不等式外，解法二的方法也很典型，即若参数a满足不等关系，af(x)，则amin = f(X)max若a 0,. x+y 2 . xy ,当且仅当x=y时，中有等号成立比较、得a的最小值满足a2仁1,- a2=2, a=、2 (因 a 0), a 的最小值是2解法二设厂Jxy)2 =x y 2 xy1 2 xyT x0, y 0,. x+y2 . xy (当 x=y 时=”成立

27、),名师推荐精心整理学习必备12 . xy三1, 2 xy的最大值是ix yx y从而可知，u的最大值为1 1 =$2 ,又由已知，得a u, a的最小值为、2解法三 /y 0,原不等式可化为x +1 a X 1 ,和 YyI xi设. =tan 0 , 0 (0,):y2 tan 0 +1 a、tan2 v 1 即 tan 0 +1 sin 0 +cos 0 =72 sin( 0 + 丄)4又 sin(0 + )的最大值为1(此时0 =)4 4由式可知a的最小值为、21125例 3 已知 a0, b0，且 a+ b=1求证 (a )( b+)ab4证法一(分析综合法)欲证原式，即证 4(ab

28、)2+4(a2+b2) 25ab+4 0,2 1即证 4(ab) 33(ab)+8 0，即证 ab 84/ a 0, b0, a+b=1, ab 8 不可能成立仁a+b 2 ab , ab 0, b 0,t1 + t2=0 , |t1|, |t21 0, b 0,二 a+b 2 . ab ,21125 a2 +1(a -)(b 匚)-丁一 -a b 4 a1125(a )(b；ab4证法四(综合法)2b2125b 4142 24ab 珈 J-*。二 abw4ab4ab/ a+b=1 , a0, b0，二 a+b2 ab ,.1 -ab_1 -1 =?= (1-ab)44(1-ab)2 1251

29、6二2(1-ab)1ab-4ab1125即(a f兀(0,-)2证法五（三角代换法）T a 0, b 0, a+b=1，故令 a=sin2 a , b=cos2 a1 1 2 1 2 1(a )(b 二)=(sin厂)(cos厂)a bsi nocos a44sin :亠cos - -2sin .：: cos 二亠2(4 - sin -：:)16 2 24sin 2 二4sin 2 二sin22： _1,. 4 -sin22： _4 1 =3.24 -2sin22H6_2522(4 -sin22 )22511沖2上2王一4sin22a 4sin 22口 4即得(a 1)(b 1) 一 2.a

30、b 4不等式的证明高考要求1 通过复习不等式的性质及常用的证明方法(比较法、分析法、综合法、数学归纳法等)，使学生较灵活的运用常规方法(即通性通法)证明不等式的有关问题；2 掌握用“分析法”证明不等式；理解反证法、换元法、判别式法、放缩法证明不等式的步骤及应用范围3 搞清分析法证题的理论依据，掌握分析法的证题格式和要求搞清各种证明方法的理论依据和具体证明方法和步骤4通过证明不等式的过程，培养自觉运用数形结合、函数等基本数学思想方法证明不等式的能力；能较灵 活的应用不等式的基本知识、基本方法，解决有关不等式的问题 知识点归纳不等式的证明方法(1 )比较法：作差比较： A_BmOuAB作差比较的步

31、骤： 作差：对要比较大小的两个数(或式)作差 变形：对差进行因式分解或配方成几个数(或式)的完全平方和 判断差的符号：结合变形的结果及题设条件判断差的符号注意：若两个正数作差比较有困难，可以通过它们的平方差来比较大小(2 )综合法：由因导果(3) 分析法：执果索因 基本步骤：要证只需证，只需证 “分析法”证题的理论依据：寻找结论成立的充分条件或者是充要条件 “分析法”证题是一个非常好的方法，但是书写不是太方便，所以我们可以利用分析法寻找证题的途径，然 后用“综合法”进行表达(4 )反证法：正难则反(5)放缩法：将不等式一侧适当的放大或缩小以达证题目的1 i - 1 3放缩法的方法有：添加或舍去

32、一些项，如：va2 +1 a ； n(n +1) n ； 将分子或分母放大(或缩小) 利用基本不等式,如：Iog3 Ig5 :：: (lg 3 lg 5)2 = lg . 15 ： lg、16 = Ig4 ；2 n (n 1),n(n 1)2 利用常用结论：1 1: k 1 一 k 2、k n、1 , 1 1 1k2 k(k -1) k -1 k1 1 1 1k2 k(k 1) k k 1(程度大)川、(程度小)2 1丄()k2 k2 -1 (k -1)(k 1) 2 k -1 k 1(6 )换元法：换元的目的就是减少不等式中变量，以使问题化难为易，化繁为简，常用的换元有三角换元和代 数换元如

33、：已知 x2y2 二 a2，可设 x = a cos71, y = a sin ：；已知 x2 y2 込1，可设 x = r cos71, y=rs in r(O-r -1 )；名师推荐精心整理学习必备已知X2 ab222Xy2 ab2已知=1,2y2=1,可设 x = a cost, y = bsi nr ；可设 x = a seen, y = bta n v ；(7)构造法：通过构造函数、方程、数列、向量或不等式来证明不等式； 证明不等式的方法灵活多样，但比较法、综合法、分析法和数学归纳法仍是证明不等式的最基本方法要依据题设、题断的结构特点、内在联系，选择适当的证明方法， 要熟悉各种证法中

34、的推理思维，并掌握相应的步骤，技巧和语言特点.数学归纳法法证明不等式将在数学归纳法中专门研究题型讲解例1若水杯中的b克糖水里含有a克糖，假如再添上m克糖，糖水会变得更甜，试将这一事实用数学关系式 反映出来，并证明之a a + m分析：本例反映的事实质上是化学问题，由浓度概念(糖水加糖甜更甜)可知(b a 0,m 0)b b + m解：由题意得 a : - (b a 0, m 0)b b + m证法一：(比较法)呃 m)-a(b m) = m(b_a) b+m bb(b+m)b(b+m)b a 0, m 0 , ba 0,b m 0,m(b -a)b(b m)证法二：(放缩法)a _ a(b m

35、) b b(b m)证法三：(数形结合法) 如图，在 RtAABC及RtAADF中,AB=a , AC=b , BD=m，作 CE / BDABC s :ADF ,a a ma m a mb b CFb CE b m且 a+b=1求证：(a +2 f +(b + 2 f Z252证法一：(比较法)例2已知a, b R,a, b R, a b = 1, b = 1 - a二(a 十2 j +(b +2 f 25 =a2 +b2 +4(a +b) _92 2229211 2=a2(1-a)24 2a-2a 2(a-)2-02 2 222251即a 2 b 2（当且仅当a二b时，取等号）证法二：（分析法）2 J 2252225a 2 B 2a b 4（a b） 8 -b = 1 -aI 22a2 (1-a)2(a-2 -0因为显然成立，所以原不等式成立点评：分析法是基本的数学方法，使用时，要保证“后一步”是“前一步”的充分条件 证法三：（综合法）由上分析法逆推获证（略）证法四：（反证法）假设（a 2）2 （b 2）2 : 25，225则a2 b2 4（a b） 8 :225 由 a+b=1，得 b = 1 -a，于是有 a2(1 - a)212 :2所以这与