重庆市北碚区2020-2021学年高一数学上学期期末学业质量调研抽测试题

1、 可修改重庆市北碚区2020-2021学年高一数学上学期期末学业质量调研抽测试题（分数：150分 时间：120分钟）注意：本试卷包含、两卷。第卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。第卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上均无效，不予记分。一、选择题1. 下列五个写法：01,2，3；0；0,1，21，2，0；0；0=，其中错误写法的个数为 A. 1B. 2C. 3D. 42. 设函数，则使得2f(x)f(x+2)成立的x的取值范围是A. B. C. D. 3. 等比数列an的各项均为正数，且a5a6+a4a7=18，则log3a1+log3a2+log

2、3a10=( A. 12B. 10C. 8D. 4. 设函数f(x)=cos(x+3)，则下列结论错误的是()A. f(x)的一个周期为2B. y=f(x)的图象关于直线x=83对称C. f(x+)的一个零点为x=6D. f(x)在(2,)单调递减5. ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinB+sinA(sinCcosC)=0，a=2，c=2，则C=()A. 12B. 6C. 4D. 36. 已知sin(4+)=23，则cos(4)的值等于()A. 23B. 23C. 53D. 537. 已知向量m=(2cos2x,3)，n=(1,sin2x)，设函数f(x)=mn，则下列关

3、于函数y=f(x)的性质的描述正确的是()A. 关于直线x=12对称B. 关于点(512,0)对称C. 周期为2D. y=f(x)在(3,0)上是增函数8. 函数f(x)=sin6xcos6x-3sin26x在区间-1,a上至少取得2个最大值，则正整数a的最小值是 A. 7B. 9C. 11D. 129. 设mR，过定点A的动直线x+my=0和过定点B的直线mxym+3=0交于点P(x,y)，则|PA|+|PB|的取值范围是()A. 5,25B. 10,25C. 10,45D. 25,4510. 设O为ABC的外心，若OA+OB+OC=OM，则M是ABC的()A. 重心(三条中线交点)B. 内

4、心(三条角平分线交点)C. 垂心(三条高线交点)D. 外心(三边中垂线交点)11. 给出下列命题：第二象限角大于第一象限角；三角形的内角是第一象限角或第二象限角；不论用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形所对半径的大小无关；若sin=sin，则与的终边相同；若cos0，n0，若a/b，则1m+8n的最小值_15. 如图，在同一个平面内，向量OA，OB，OC的模分别为1，1，2，OA与OC的夹角为，且tan=7，OB与OC的夹角为45.若OC=mOA+nOB(m,nR)，则m+n=_16. 将函数f(x)=3cos(2x+3)1的图象向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到函数g(x

5、)的图象，则函数g(x)具有性质_.(填入所有正确性质的序号最大值为3，图象关于直线x=3对称；图象关于y轴对称；最小正周期为；图象关于点(4,0)对称；在(0,3)上单调递减三、解答题17. 已知函数f(x)=2x-3x+1(1)判断函数f(x)在区间0,+)上的单调性，并用定义证明其结论；(2)求函数f(x)在区间2,9上的最大值与最小值18. 命题p：函数有意义，命题q：实数x满足(1)当a=1且pq为真，求实数x的取值范围；(2)若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围19. 已知函数f(x)=Asin(wx+)+B(A0,w0,|b0)的左右焦点分别为F1、F2，左顶点为A，若|

6、F1F2|=2，椭圆的离心率为e=12求椭圆的标准方程若P是椭圆上的任意一点，求PF1PA的取值范围21. 在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为x=3cosy=sin(为参数，以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为sin(+4)=22(1)写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；(2)设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标22. 已知函数f(x)=Asin(x+)，xR(其中A0，0，0f(x+2)可化为：2log2(3x1)log2(3x+5)，根据对数函数的性质，可得3x123x+53x103x+50，即可求出结果【解

7、答】解：函数f(x)=log2(3x1)，则不等式2f(x)f(x+2)可化为2log2(3x1)log2(3x+5)，可得3x123x+53x103x+50，解得x43，即使得2f(x)f(x+2)成立的x的取值范围是(43,+)故选B3.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了等比数列的性质，解题的关键是灵活利用等比中项的性质，以及对数运算，属于基础题先根据等比中项的性质可知a5a6=a4a7，进而根据a5a6+a4a7=18，求得a5a6的值，最后根据等比数列的性质求得log3a1+log3a2+log3a10=log3(a5a6)5，则答案可得【解答】解：由等比数列的性质可得a5a6=

8、a4a7，a5a6+a4a7=2a5a6=18，a5a6=9，log3a1+log3a2+log3a10=log3(a5a6)5=5log39=10故选B4.【答案】D【解析】【分析】本题考查与余弦函数有关的命题的真假判断，根据三角函数的图象和性质是解决本题的关键，题目比较基础根据余弦函数的图象和性质分别进行判断即可【解答】解：对于A，函数的周期为2k，kZ，当k=1时，周期T=2，故A正确；对于B，当x=83时，cos(x+3)=cos(83+3)=cos=1为最小值，此时y=f(x)的图象关于直线x=83对称，故B正确；对于C，因为f(x+)=cos(x+3)=cos(x+3)，且，则f(

9、x+)的一个零点为x=6，故C正确；对于D，当2x时，56x+343，此时函数f(x)有增有减，不是单调函数，故D错误故选D5.【答案】B【解析】【分析】本题考查了诱导公式和两角和的正弦公式以及正弦定理，属于中档题根据诱导公式和两角和的正弦公式以及正弦定理计算即可【解答】解：sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC，sinB+sinA(sinCcosC)=0，sinAcosC+cosAsinC+sinAsinCsinAcosC=0，cosAsinC+sinAsinC=0，sinC0，cosA=sinA，tanA=1，2Ac，C=6故选B6.【答案】B【解析】【分析】本题考

10、查了诱导公式，考查学生的计算能力，属于基础题利用诱导公式，即可得结论【解答】解：sin(4+)=23，故选B7.【答案】D【解析】【分析】本题考查了三角恒等变换，正弦函数的图象与性质，考查向量的数量积，属于中档题利用三角恒等变换化简f(x)的解析式，根据正弦函数的性质判断【解答】解：f(x)=mn=2cos2x+3sin2x=cos2x+3sin2x+1=2sin(2x+6)+1，当x=12时，sin(2x+6)=sin31，f(x)不关于直线x=12对称，选项A错误；当x=512时，2sin(2x+6)+1=1，f(x)关于点(512,1)对称，不关于点(512,0)对称，选项B错误；f(x

11、)得周期T=22=2，选项C错误；当x(3,0)时，2x+6(2,6)，f(x)在在(3,0)上是增函数，选项D正确故选D8.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查了三角函数的图象和性质的应用问题，是基础题目化函数f(x)为正弦型函数，求出函数的最小正周期T，根据f(x)在区间1,a上至少取得2个最大值，得出a的取值范围，从而求出a的最小值【解答】解：函数f(x)=sin6xcos6x3sin26x=12sin3x32(1cos3x)=sin(3x+3)32，函数的最小正周期为T=23=6，又f(x)在区间1,a上至少取得2个最大值，a(1)T+T4=7.5，解得a6.5，正整数a的最小值是7

12、故选A9.【答案】B【解析】【分析】本题考查直线过定点问题，涉及直线的垂直关系和三角函数的应用，属中档题可得直线分别过定点(0,0)和(1,3)且垂直，可得|PA|2+|PB|2=10.三角换元后，由三角函数的知识可得【解答】解：由题意可知，动直线x+my=0经过定点A(0,0)，动直线mxym+3=0即m(x1)y+3=0，经过定点B(1,3)，动直线x+my=0和动直线mxym+3=0的斜率之积为1，始终垂直，P又是两条直线的交点，PAPB，|PA|2+|PB|2=|AB|2=10设ABP=，则|PA|=10sin，|PB|=10cos，由|PA|0且|PB|0，可得0,2，|PA|+|P

13、B|=10(sin+cos)=25sin(+4)，0,2，+44,34，sin(+4)22,1，25sin(+4)10,25，故选B10.【答案】C【解析】解：在ABC中，O为外心，可得OA=OB=OC，OA+OB+OC=OM，OA+OB=OMOC设AB的中点为D，则ODAB，CM=2OD，CMAB，可得CM在AB边的高线上同理可证，AM在BC边的高线上，故M是三角形ABC两高线的交点，可得M是三角形ABC的垂心，故选：C设AB的中点为D，根据题意可得ODAB.由题中向量的等式化简得CMAB，即CM在AB边的高线上同理可证出AM在BC边的高线上，故可得M是三角形ABC的垂心本题给出三角形中的向

14、量等式，判断点M是三角形的哪一个心着重考查了向量加法法则、三角形的外接圆性质和三角形“五心”的判断等知识点，属于中档题11.【答案】A【解析】【分析】本题考查了任意角的概念与三角函数的定义和应用问题，是基础题根据题意，对题目中的命题进行分析、判断正误即可【解答】解：对于，根据任意角的概念知，第二象限角不一定大于第一象限角，错误；对于，三角形的内角(0,)，是第一象限角或第二象限角，或y轴正半轴角，错误；对于，根据角的定义知，不论用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形所对半径的大小无关，正确；对于，若sin=sin，则与的终边相同，或关于y轴对称，错误；对于，若cos0，n0，1m+8n=1

15、4(n+2m)(1m+8n)=14(10+nm+16mn)14(10+2nm16mn)=92，当且仅当n=4m=83时取等号，1m+8n的最小值是故答案为15.【答案】3【解析】【分析】本题考查了向量坐标运算性质、同角三角函数的关系，两角和差的三角函数公式，属于中档题建立适当坐标系，利用同角三角函数的关系和两角和差的三角函数的公式求得各点的坐标，进而利用平面向量的坐标运算得到关于m，n的方程组，求得m，n的值，即得【解答】解：如图所示，建立直角坐标系A(1,0)由OA与OC的夹角为，且tan=7cos=152，sin=752，C(15,75)cos(+45)=22(cossin)=35，sin

16、(+45)=22(sin+cos)=45，B(35,45)OC=mOA+nOB(m,nR)，15=m35n，75=0+45n，解得n=74，m=54，则m+n=3故答案为：316.【答案】【解析】【分析】本题考查函数y=Acos(x+)的图象变换规律，余弦函数的图象和性质，属于中档题利用函数y=Acos(x+)的图象变换规律，求得g(x)的解析式，再利用余弦函数的图象和性质，得出结论【解析】解：将函数f(x)=3cos(2x+3)1的图象向左平移个单位长度，得到y=3cos2(x+3)+31=3cos2x1的图象；再向上平移1个单位长度，得到函数g(x)=3cos2x的图象对于函数g(x)=3

17、cos2x：它的最大值为3，由于当x=3时，g(x)=32，不是最值，故g(x)的图象不关于直线x=3对称，故错误；由于该函数为偶函数，故它的图象关于y轴对称，故正确；它的最小正周期为22=，故正确；当x=4时，g(x)=0，故函数的图象关于点(4,0)对称，故正确；当x(0,3)时，2x(0,23)，g(x)单调递增，故错误，故答案为17.【答案】解：(1)f(x)在区间0,+)上是增函数证明如下：任取x1，x20,+)，且x1x2，f(x1)f(x2)=2x13x1+12x23x2+1=(2x13)(x2+1)(x1+1)(x2+1)(2x23)(x1+1)(x1+1)(x2+1)=5(x

18、1x2)(x1+1)(x2+1)x1x20，f(x1)f(x2)0，即f(x1)0得x24ax+3a20，即(xa)(x3a)0，得ax0，则p：ax0；若a=1，则p：1x3，由x3x20解得2x3，即q：2x3；若pq为真，则p，q同时为真，即1x32x3，解得x2x3，实数x的取值范围(2,3)(2)若p是q的充分不必要条件，即q是p的充分不必要条件，即(2,3)是(a,3a)的真子集3a3a2，且3a=3和a=2不能同时成立，解得1a2，实数a的取值范围为1,2【解析】本题考查逻辑联结词以及充分条件和必要条件的判断，考查学生的计算能力，属于中档题(1)若a=1，分别求出p，q成立的等价

19、条件，利用pq为真，求实数x的取值范围；(2)利用p是q的充分不必要条件，即q是p的充分不必要条件，求实数a的取值范围19.【答案】解：(1)由图象可知A+B=1A+B=3,解得A=2B=1,又由于T2=71212T=，所以w=2T=2，由，又2，所以=3，所以f(x)=2sin(2x+3)1；(2)由(1)知，f(x)=2sin(2x+3)1，令，得，所以f(x)的单调递增区间为，令，得，所以f(x)的单调递减区间为，令，得，所以f(x)的对称中心的坐标为；(3)由已知的图象变换过程可得：g(x)=2sin(x+23)，因为0x76，所以23x+23116，所以当x+23=32，得x=56时

20、，g(x)取得最小值g(56)=2，当x+23=23时，即x=0时，g(x)取得最大值g(0)=3【解析】本题主要考查了由y=Asin(x+)+B的部分图象确定其解析式，函数y=Asin(x+)+B的图象变换规律，正弦函数的图象和性质的综合应用，考查了数形结合思想，属于中档题(1)由图象可求A，B的值，求得周期T，利用周期公式可求，由可求，即可得解f(x)的解析式；(2)令，得，可求f(x)的单调递增区间，令，得，可求f(x)的对称中心的坐标；(3)由已知的图象变换过程可得：g(x)=2sin(x+23)，由0x76，利用正弦函数的性质可求在x0,76上的最大值和最小值20.【答案】解：由题意

21、，|F1F2|=2，椭圆的离心率为e=12，c=1，a=2，b=3，椭圆的标准方程为x24+y23=1. 设P(x0,y0)，A(2,0)，F1(1,0)，PF1PA=(1x0)(2x0)+y02=x02+3x0+2+y02，P点在椭圆上，x024+y023=1，y02=334x02，PF1PA=14x02+3x0+5，由椭圆方程得2x02，二次函数开口向上，对称轴x0=62，当x0=2时，取最小值0，当x0=2时，取最大值12PF1PA的取值范围是0,12【解析】本题考查椭圆的标准方程，考查向量知识的运用，考查学生的计算能力，属于中档题利用|F1F2|=2，椭圆的离心率为e=12，求出几何量

22、，即可求椭圆的标准方程设P(x0,y0)，利用数量积公式求出PF1PA，结合2x02，即可求PF1PA的取值范围21.【答案】解：(1)曲线C1的参数方程为x=3cosy=sin(为参数，移项后两边平方可得x23+y2=cos2+sin2=1，所以C1的普通方程为x23+y2=1；曲线C2的极坐标方程为sin(+4)=22，即(22sin+22cos)=22，由x=cos，y=sin，可得x+y4=0，即C2的直角坐标方程为直线x+y4=0；(2)由题意可得当直线x+y4=0的平行线与椭圆相切时，两平行线间的距离为|PQ|的最小值，设与直线x+y4=0平行的直线方程为x+y+t=0，联立x+y

23、+t=0x2+3y2=3可得4x2+6tx+3t23=0，由直线与椭圆相切，可得=36t216(3t23)=0，解得t=2，显然t=2时，|PQ|取得最小值， 即有|PQ|min=|4(2)|1+1=2，此时4x212x+9=0，解得x=32，即为P(32,12).另解：设P(3cos,sin)，由P到直线的距离为d=|3cos+sin4|2=|2sin(+3)4|2，当sin(+3)=1时，|PQ|的最小值为2，此时可取=6，即有P(32,12).【解析】本题考查参数方程和普通方程的互化、极坐标和直角坐标的互化，同时考查直线与椭圆的位置关系，主要是相切，考查化简整理的运算能力，属于中档题(1)运用两边平方和同角的平方关