第二章练习题及参考答案

1、第二章 静电场 练习题及参考答案1均匀带电导体球，半径为 a，带电量为Q。试求（1） 球内任一点的电场（2） 球外任一点的电位移矢量解:（ 1）-QE=0 r a4nr2、放在坐标原点的点电荷在空间任一点r处产生的电场强度表达式为4二；0r2er（1）求出电力线方程；（2）画出电力线。y =Gx解：（1）式中，Ci,C2为任意常数。z 二 C?y（2 ）电力线图所示。3、用球坐标表示的场-25e = er，求（1） 在直角坐标中点（-3，4,5）处的（2） 在直角坐标中点（-3，4,5）处的251解：(1) E =1r22(2) Ex 二25x3.220Ex分量4、两点电荷q1 = -4C，位

2、于x轴上x = 4处，q2二4C位于轴上y二4处，求空间点0,0,4处的(1)电位；(2)该点处的电场强度矢量。解：(1)0,0,4 =0(2) E 丰4- ；0r14二；0r22ex -ey64 二；05、一个点电荷q位于-a,0,0处，另一个点电荷-2q位于a,0,0处，其中a 0。求(1)求出空间任一点 x,y,z处电位的表达式;(2) 求出电场强度为零的点。解：(1 )建立如图18-1所示坐标空间任一点的电位3其中，L = J(x a 丫 + y2 +z2(2)根据分析可知，电场等于零的位置只能位于两电荷的连线上的q的左侧，设位于x处, 则在此处电场强度的大小为4兀 (xaf (x+a

3、f1令上式等于零得一2 2(x a )(x + a )求得X =：32 2 a6、真空中均匀带电球体，其电荷密度为，半径为a，试求(1)球内任一点的电位移矢量(2)球外任一点的电场强度-P -解：(1) D = r r ： a(2)当 r a时，E =T33 0r3 r7、设无限长直线均匀分布有电荷，已知电荷密度为一，如图所示，求(1) 空间任一点处的电场强度;（2） 画出其电力线，并标出其方向。解（ 1）E 二？图1（2）其电力线如图2所示。8、设z =0为两种媒质的分界面，z 0为空气，其介电常数为= ；o, z ： 0为介电常数；2 =5 ；o的媒质2。已知空气中的电场强度为E 4?x

4、ez，求（1）空气中的电位移矢量。（2）媒质2中的电场强度。解：（1）空气中的电位移矢量Di = -Ei= 4 oex謔（2）由边界条件切向分量E2x = E1x = 4法向分量D2z = D1z = ；01故： E2z = D2z / ；2 :5- 1得媒质2中的电场强度为：E4（?x -(d - a)*xW J ；a；(d-a)Q22 C 2S 现Q16、半径为a的均匀带电无限长圆柱导体，单位长度上的电荷量为，求空间电场强度 分布。解：因为电荷分布具有柱对称性，由静电场的高斯定理，可作一个与已知柱体同轴的、高为I、半径为r的柱面为高斯面 S，则分区域讨论:(1) r v a时，由咼斯定理得

5、：E - 0（2） r a时，高斯面S内包围的电荷量为 q二丨.， 同理可得Tae er2二；0r17、两个点电荷，电量分别为 +q和-3q,相距为d,试求：（1） 在它们的连线上电场强度 E=0的点与电荷量为+q的点电荷相距多远？（2） 若选无穷远处电势为零，两点电荷之间电势U=0的点与电荷量为+q的点电荷相距多远？解：（1）据题意可知电场强度 E=0的点一定在它们的连线的延长线上且位于电荷量为+q的点一侧，设与电荷量为 +q的点电荷相距为r，则由E =0得：3q4二；0(d - r)2)=01+运解得：r= 一 d。2（2）据题意可知电位U =0的点（a）可能在它们的连线上（b）也可能在它

6、们的连 线的延长线上且位于电荷量为 +q的点一侧，设与电荷量为 +q的点电荷相距为r，则由U =0可得：U q （ 3q ）=04二；0r4二；0（d -r）或 u q (- 3q )=04兀名0r4兀名0(d +r)1分别解得：（a） r二丄d41（b） r d218、一个半径为a的电介质球内含有均匀分布的自由电荷，电荷体密度为证明其中心点的电位是(2 行 1) a22 ；3；0证明：由静电场的高斯定理可求得空间的电场强度分布为:3 ；rer(r a)&r(r a)若选择无穷远为电位参考点，球心为坐标原点:a:0E *dl = Edr = EgrE2dr000a，则可得球心的电位为:将电场强

7、度的大小分别代入，并计算得:(2；r 1)乃22 ；r3；0，结论得证。- - - 019、证明极化介质中，极化电荷体密度 订与自由电荷体密度 的关系为：b-证明：由高斯定理的微分形式D二亍及电位移矢量的定义式D = ;0E P和极化电荷体密度公式 ：p =P 得:八D 八( ；0E P)二；0； *P = ；0P = 化简得：t，结论得证。20、一个半径为a，带电量为Q的导体球，球外套有半径为b的同心介质球壳，介质的介电 系数为；，壳外是空气。求空间任意点的D, E,P及电位。解：由介质中静电场的高斯定理，得空间各区域的电位移矢量分别为：Dj = 0(r a) D2 = Q 2(?r(ar b)4兀rD 3 = Q 2 殳(r)b)l.4叼空间各区域的电场强度分别为:E1 = 0(r(a).E2 = Q 2 4 (arb) 4兀grE3=, Q2 e(rb)4兀 g 0r空间各区域的极化强度矢量分别为:PiP2P34 二 r0(r b)空间各区域的电位分别为a二 EdrEzdrEadrry(ra)b二 E2drr00j E3drb且(丄一丄) q (a r b)4二；r b 4- ；ob21、半径为a，内部均匀分布着体密度为;?0的电荷的球体。求任意点的电场强度及电位。E