空间向量与立体几何同步检测3

1、第三章 3.13.1.3基础巩固一、选择题1. 下列式子中正确的是导学号 64150680 ()A . |a| a= a2B. (ab)2 = a2 b2C. (a b)c= a(b c)D. |a b| = = = 601 a b= b c= a c=q,a2 = b2= c2= 1.- |a b 2c|=#(a b+ 2cf=a2+ b2+ 4c2 2a b+ 4a c 4b c/ 1 1 1=1 + 1 + 42X 2 + 4X 2 4X?=6 1 + 2 2= 5.3. 若a, b均为非零向量，则“ a b= |a|b|”是“ a与b共线”的导学号 64150682()A .充分不必要

2、条件C.充要条件答案A解析共线包括同向和反向 成立.B .必要不充分条件D .既不充分也不必要条件只有a、b同向时,才有ab=|a|b|4 .已知非零向量a, b不共线，且其模相等，则a+ b与a- b的 关系是导学号64150684()A .垂直B .共线C.不垂直D .以上都可能答案A解析T (a+ b) (a- b)= a2 b2 = 0,-a + b 与 a b 直.5. 如图，空间四边形的各边和对角线长均相等，E是BC的中点,那么导学号64150684 ()a. aE bCaE cDd.aE BC与AE CD不能比较大小答案c6. 已知a, b均为单位向量，它们的夹角为 60那么|a

3、 + 3b|导 学号 64150685()A. . 7B. 10C. 13答案C解析|a+ 3b|2= (a + 3b)2 = a2 + 6a b+ 9b2=|a|2 + 6|a|gos + 9|b|2,v |a|= |b|= 1, = 60|a + 3b|2= 13,|a + 3b|= 13.二、填空题7. 已知&、e2是夹角为60的两个单位向量，则a= e + e, b=ei-2e2的夹角为.导学号64150686答案120解析由已知得|a|= |b|= 3,3a b= 2,-3 a b _21cos=iaTibrT=2， = 120.8 .已知空间四边形ABCD，则AB CD + BC

4、aD + CA BD =，导学号 64150687答案0解析设a, AC= b, AD = c,由原式=a (c b) + (b a) c b (c a)=0.三、解答题9.如图，正方体ABCD A1B1C1D1中，E, F分别是C1D1, DQ的中点，若正方体的棱长为 1.|导学号64150688E（1）求；（2）求证：BDi 丄 eF.i解析（1）AF=aD+dF=aD+2AA1,1 1cE = cC1 + cfE=AA1 + qCD=AA| - 2aB. aBaD=o, aB aAi = o, aD aAi=o, cE aF=（aAi- ab） （AD+2aAi）=2. 又 |aFi=

5、icE=, cos = 2,5证明：BDi = bD+dD i = aDAB+aAi , eF=EiDi + dTf= 2（aB+aAi）, bD1 eF=o , bD1 丄 eF.能力提升一、选择题1. 已知正方体 ABCD A B C D的棱长为a,设AB = a,AD = b, AA = c,则 = |导学号 641506891 （）A . 30B. 60C. 90答案B解析A厂B BC= (a c) (b c)2=a bac bc+cD. 120R cos丁B, C丁 B C _1_ 1|AB|BC|2 2 2=0 0 0+ c2 = c2= 1.A宀B, B宀C= n2. 若 |a|

6、= |b|= 4, = 60,则 |a b|等于导学号 64150690()B. 8D. 13A . 4C. 37答案A解析|a b|2= a2 + b2 2a b= |a|2 + |b|2 2 |a|bCos = 42+ 42 2X 4X4cos60= 42, |a b| = 4.3 .已知四面体ABCD中，AB、AC、AD两两互相垂直，则下列结论中不成立的是导学号 64150691 ()A . |AB + AC + AD | = |AB + ACAD |B. AB+AC+ADI2 = |AB|2 + |AC|2 + |AD|2C. (AB+AC+AD) BC= 0d.AB Cd=AC BD

7、=AD BC答案c解析因为AB、AC、AD两两垂直，则可得 AB丄CD, AC丄 BD,AD丄 BC,且AB aC= o,aB aD = O,AC aD = O,AC BD = O,AD BC =0,所以得到A、B、D均正确.4.已知空间四边形每条边和对角线的长等于 a,点E、F、G分 别是AB、AD、DC的中点，贝卩a2等于导学号64150692()A . 2BA ACB. 2AD BdC. 2FG CAD. 2EF CB答案B1解析2bA aC=-a2,2AD BD = a2,2EF CA=- a2,2EF CB= 2a .二、填空题nn5设 a丄b, = 3， b, o = 6，且|a|

8、= 1， |b|= 2, lcl= 3, 求向量a+b+ c的模为.|导学号64150693答案17 + 6:3解析|a+ b+ c|2= (a+b+ c)2 = |a|2 + |b|2 + |c| 2 + 2(a b+ a c+ b c)=1+4+9+ 2(0 + 1X 3X1+ 2X 32?)=17+ 6 3, |a + b + c| =17 + 6 ： 3.6.已知平行六面体 ABCD A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三 条棱长都等于 2，且两两夹角都是60 ,则对角线 AC1的长是:导学号 64150694答案2 6解析设a, AD = b, AAi = c. |A = 90 CA

9、, BD = 120 CD2= (CA+ AB+ BD)2= 3-1 = 2. C, D两点间距离为 2.三、解答题8. 平行六面体 ABCD-A1B1C1D1的棱长都为2,Z AAB=/A1AD =Z BAD= 60 E是DC的中点，F是BQ的中点.导学号 64150696(1)证明：向量bD , bBi, eF共面；求|DTf|.解析(1)设AB= a, aD = b, aAi = c,则 bBi = c, BD = b a, eF=aF - aE=aB+ 2BC1 - (aD+2Dc)1 1=a+ 2(b + c) (b+2a)1 11=2【(a b)+ c = 2葩-2bD ,由共面向

10、量定理知，向量bD , BB1, eF共面.由题意知|a|=|b|=|c= 2,= vb, c= = 60又 DtF = aF AD1 = a+ 2( b + c) (b+ c)1 1=a 2b 2C,1111|d1F|2 = (a 尹2C) (a2b qc)21 21 2.1=a + 4b + 4c a b a c+ 2b c=4+1+ 1 2 2+ 1 = 3. id!F|= 3.9如图，异面直线a, b所成的角为60在直线a, b上分别取 点A, E和点B, F，使AB丄a, AB丄b（直线AB称为异面直线a, b 的公垂线），若AE= 4, BF = 3, EF = 7,试求公垂线段AB的长.导 学号 64150697解析因为 EF = EA + AB+ BF, 所以 eF2=(EA+AB+ BF)2= EA2+AB2+BF2+ 2(EA AB+AB BF + bF ea)=42+AB2+32+ 2X (0+0+ |BF| |EA| cos) 即 72 = 42+AB2 + 32 + 2|B| |eA|