沪教版相似三角形专题复习教案

1、相似三角形综合复习、基础知识(一) 比例1第四比例项、比例中项、比例线段;2比例性质：(1)基本性质：a bcdadbcabbcb2 ac(2)合比定理：aca bcdbdbd(3)等比定理：acmacm a.(b dn 0)bdnbdn b2aP B3黄金分割：如图，若 PA2 PB AB，则点P为线段AB的黄金分割点.A-4 平行线分线段成比例定理(二) 相似1定义:我们把具有相同形状的图形称为相似形2相似多边形的特性：相似多边的对应边成比例，对应角相等3相似三角形的判定(1) 平行于三角形一边的直线与其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。(2) 如果两个三角形的三组对应边的比相等，

2、那么这两个三角形相似。(3) 如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。(4) 如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。4.相似三角形的性质(1 )对应边的比相等，对应角相等 (2) 相似三角形的周长比等于相似比(3) 相似三角形的面积比等于相似比的平方(4) 相似三角形的对应边上的高、中线、角平分线的比等于相似比5三角形中位线定义： 连接三角形两边中点的线段 叫做三角形的中位线三角形中位线性质：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。6梯形的中位线定义：梯形两腰中点连线叫做梯形的中位线梯形的中位线性质：梯形的中位线

3、平行于两底并且等于两底和的一半7相似三角形的应用：1、利用三角形相似，可证明角相等；线段成比例(或等积式)；2、利用三角形相似，求线段的长等3、利用三角形相似，可以解决一些不能直接测量的物体的长度。如求河的宽度、求建筑物的高度等。(三) 位似:位似:如果两个图形不仅是相似图形，而且是每组对应点所在的直线都经过同一个点，那么这样的两个图形叫做位似图形。这个点叫做位似中心 这时的相似比又称为位似比位似性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比二、经典例题例1. 如图在4X 4的正方形方格中， ABCD DEF的顶点都在长为1的小正方形顶点 上.(1) 填空：/ ABC=, BC=

4、:(2) 判定 ABC与 DEF是否相似？考点透视本例主要是考查相似的判定及从图中获取信息的能力例2.如图所示，D E两点分别在 ABC两条边上，且DE与 BC不平行，请填上一个你认为适合的条件 使得 AD0A ABC例3.如图，王华晚上由路灯 A下的B处走到C处时，测得影子 CD?的长为1米，继续往前走 2米到达E处时, 测得影子EF的长为2米，已知王华的身高是A 4.5 米 B . 6 米 C . 7.2 米1.5米，那么路灯 A的高度等于() .8米例4.如图， ABC是一块锐角三角形余料，边一边在BC上，其余两个顶点分别在 AB AC上, ?这个正方形零件的边长是多少?BC=120mm

5、高AD=80mm ?要把它加工成正方形零件，使正方形的例5.如图所示，在 ABC中，AB=AC=1点D E在直线BC上运动，设 BD=x CE=y.(1) 如果/ BAC=30，/ DAE=105，试确定y与x之间的函数关系式；(2) 如果/ BAC的度数为a, / DAE的度数为当a、B满足怎样的关系式时， 系式还成立，试说明理由.(X、(1 )中y与x?之间的函数关例6. 一般的室外放映的电影胶片上每一个图片的规格为：3.5cm X 3.5cm，放映的荧屏的规格为 2mX 2m,若放映机的光源距胶片20cm时，问荧屏应拉在离镜头多远的地方，放映的图象刚好布满整个荧屏？.适时训练(一)选择题

6、1 .梯形两底分别为m nmnm、(B)匹m nn，过梯形的对角线的交点，引平行于底边的直线被两腰所截得的线段长为(C) mn(D) m nm n2mn2.如图,(A ) AEDs bed ( B) AEDsCBD (C)题3. P是Rt ABC斜边 样条件的直线共有(A) 1 条2BC上异于B、)(B) 2 条C的一点，过点P作直线截厶ABC，使截得的三角形与 ABC相似，满足这(C) 3 条4.如图,(D) 4 条)(D) 5/ ABD = Z ACD，图中相似三角形的对数是(A) 2( B)ABCD是正方形，E是CD的中点，P是BC边上的一点，下列条件中，不能推出 )(C) 45.如图，

7、 的是(A)Z APB = Z EPC(B)Z APE = 90( C) P 是 BC 的中点(D) BP : BC = 2 : 36 .如图， ABC中，AD丄BC于D，且有下列条件：CD AC(1)Z B+Z DAC = 90; (2)Z B =Z DAC ; (3)AD其中一定能够判定 ABC是直角三角形的共有(A) 3 个(B) 2 个(C) 1 个A;(4) AB2= BD BCAB)(D) 0 个ABP与厶ECP相似在正三角形 ABC中，D, E分别在AC, AB上，且-AD = - , AE= BE,U()AC 3 AEDABD ( D) BADBCDDOB题6题7，得 ABF，

8、连结EF交AB于H，则下列结论中错7 .如图，将 ADE绕正方形 ABCD顶点A顺时针旋转 90 误的是()(A ) AE丄 AF(B) EF : AF =、. 2 : 1 (C) AF2= FH FE (D) FB : FC = HB : EC&如图，在矩形 ABCD中，点E是AD上任意一点，则有()(A) ABE的周长+ CDE的周长= BCE的周长(B) ABE的面积+ CDE的面积= BCE的面积(C) A ABEDEC (D ) ABEEBC9.如图，在 口ABCD 中，E 为 AD 上一点，DE : CE= 2 : 3,连结 AE、BE、BD，且 AE、BD 交于点 F,贝U Gd

9、ef :S EBF : SABF 等于()(A) 4 : 10 : 25( B) 4 : 9 : 25( C) 2 : 3 : 5 ( D) 2 : 5 : 25D10 .如图，直线(A)Af11.如图，在all b, AF : FB = 3 : 5,5 : 12(B) 9 : 5BC : CD = 3 :(C) 12 : 5题111,则 AE : EC 为(D)ABC中,M是AC边中点，E是AB上一点，且3 : 21AE= AB,4连结EM并延长，交BC的延长线于D，此时BC : CD为(A) 2 : 112 如图，矩形纸片 和折痕EF的长分别为(A) 4 cm、, 10 cm)(B) 3

10、: 2( C) 3 : 1( D) 5:2ABCD的长AD = 9 cm，宽AB= 3 cm,将其折叠, )(B) 5 cm、,10 cm (C) 4 cm、2 J3 cm使点D与点B重合，那么折叠后 DE的长(D) 5 cm、 2 3 cmDEBD题12(二)填空题13 .已知线段 a= 6 cm , b= 2 cm，贝Ua b的比例中项是cm .卄ab14 .若=c15 .如图，在a、b、a+ b的第四比例项是cm， a+ b 与b c a c 2=m2,贝H m=.bAB = AC= 27, D 在 AC 上，且 BD = BC = 18, DE ll BC 交 AB 于 E,贝U DE

11、 =1E 是 AB 中点，F 在 AD 上，且 AF = - FD , EF 交 AC 于 G,贝U AG : AC =2 aABC 中,16 .如图，口 ABCD 中,17 .如图,E题16AB ll CD，图中共有 对相似三角形.C18 .如图,合适的条件).已知 ABC, P是AB上一点，连结 CP,要使 ACPABC，只需添加条件(只要写出一种19 .如图，AD是厶ABC的角平分线，DE ll AC, EF ll BC, AB= 15, AF = 4,贝U DE的长等于 20 .如图， ABC 中，AB= AC, AD 丄BC 于 D , AE = EC, AD = 18, BE =

12、15,贝U ABC的面积是.21.如图，直角梯形 ABCD 中，AD/ BC, AC丄AB, AD = 8, BC = 10,则梯形 ABCD 面积是.22 .如图，已知 AD / EF / BC,且 AE= 2EB , AD = 8 cm , AD = 8 cm , BC = 14 cm , 贝V S梯形AEFD : S梯形BCFE =.（三）解答题23方格纸中，每个小格的顶点叫做格点，以格点连线为边的三角形叫做格点三角形.请你在图示的10X 10的方格纸中，画出两个相似但不全等的格点三角形，并加以证明（要求所画三角形是钝角三角形，并标明相应字母）.24. 如图， ABC中，CD丄AB于D

13、, E为BC中点，延长 AC、DE相交于点F ,AC求证AFDF25. 如图，在 ABC中，AB= AC,延长BC至D，使得CD = BC, CE丄BD交AD于E,连结BE交AC于F，求 证 AF = FC .E26. 已知：如图，F是四边形ABCD对角线AC上一点，EF / BC, FG / AD .求证:AE + CGAB CD27. 如图，BD、CE分别是 ABC的两边上的高，过 D作DG丄BC于G,分别交 CE及BA的延长线于 F、H , 求证：(1) DG2= BG CG ; (2) BG CG= GF GH .28. 如图，/ ABC=Z CDB = 90, AC = a, BC=

14、 b.(1 )当BD与a、b之间满足怎样的关系时， ABCCDB ?(2) 过A作BD的垂线，与 DB的延长线交于点 丘，若厶ABCCDB . 求证四边形AEDC为矩形(自己完成图形).29. 如图，在矩形 ABCD中，E为AD的中点，EF丄EC交AB于F，连结FC(AB AE).(1 ) AEF与厶EFC是否相似？若相似，证明你的结论；若不相似，请说明理由;AB（2）设=k,是否存在这样的 k值，使得 AEFbfc，若存在，证明你的结论并求出k的值;BC若不存在，说明理由.A E n30.如图，在 RtAABC 中，/ C= 90, BC = 6 cm,速度沿CA、AB运动到点B,则从C点出

15、发多少秒时,1可使Sk BCP=& ABC?4ACECA = 8 cm,动点P从点C出发，以每秒2 cm的31. 如图，小华家（点 A处）和公路（L）之间竖立着一块 35m?长且平行于公路的巨型广告牌（DE）.广告牌挡 住了小华的视线，请在图中画出视点 A的盲区，并将盲区内的那段公路设为 BC. 一辆以60km/h匀速行驶的汽车 经过公路段BC的时间是3s，已知广告牌和公路的距离是 40m,求小华家到公路的距离（精确到 1m）.32. 某老师上完“三角形相似的判定”后，出了如下一道思考题：如图所示，梯形 ABCD中, AD/ BC,对角线 AC BD相交于O,试问： AOBD DOC是否相似?

16、 某学生对上题作如下解答：DOOB ,答： AOB DOC理由如下：在厶 AOBn DOC中， AD/ BC, /-OC/ AOB=/ DOC 二 AOBA DOC请你回答，该学生的解答是否正确？如果正确,请在每步后面写出根据；如果不正确，请简要说明理由.33. 如图：四边形 ABCD中，/ A=Z BCD=90，过C作对角线BD的垂线交BD AD于点E、F,求证:CD2 DF DA ;如图：若过BD上另一点E作BD的垂线交BA BC延长线于F、G,又有什么结论呢?你会证明吗？34.阳光通过窗口照射到室内，在地面上留下 2.7m宽的亮区(如图所示),已知亮区到窗口下的墙脚距离EC=8.7m,窗

17、口高AB=1.8m,求窗口底边离地面的高 BC.A丄 l.SmTffc.7mV35.(1) 如图一，等边 ABC中，D是AB上的动点，以 CD为一边，向上作等边 EDC，连结AE。求证： AE/BC ;(2) 如图二，将中等边 ABC的形状改成以BC为底边的等腰三角形。所作 EDC改成相似于 ABC。 请问：是否仍有 AE/BC ?证明你的结论。36.如图，从O 0外一点A作OO的切线AB AC切点分别为B、C,且O 0直经BD=6连结CD AO (1)求 证：CD/ A0(2)设CD=x AO=y求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；(3)若AO+CD=1,求AB的长。37.已

18、知：如图，在正方形 ABCD中，AD = 1 , P、Q分别为AD、BC上两点,且AP=CQ，连结AQ、BP交于点E, EF平行BC交PQ于F, AP、(1)求m的值(2)试用AP、BQ表示EF0的两根.1(3) 若Sa pqe二丄，求n的值838. 如图，在平面直角坐标系中，已知0A=12cm OB=6cm点P从O点开始沿0A边向点A以1cm/s的速度移动：点Q从点B开始沿B0边向点0以1cm/s的速度移动，如果 P、Q同时出发，用t(s)表示移动的 时间(0 t 6)，那么：(1) 设厶POQ勺面积为y，求y关于t的函数解析式。(2) 当厶POQ勺面积最大时， POQ沿直线PQ翻折 后得到

19、 PCQ试判断点C是否落在直线 AB上, 并说明理由。(3) 当t为何值时， POQA AOB相似？求厶ABC的39. 如图，矩形 PQMN内接于 ABC，矩形周长为 24, AD丄BC交PN于E,且BC= 10 , AE= 16,面积.40. 已知：如图， ABC中，AB = AC, AD是中线，P是AD上一点，过 C作CF / AB，延长BP交AC于E,交CF 于 F.求证：BP2= PE PF.EOD于点D,(第41题)41.在 Rt ABC中，/ C=90 , BC=9, CA=12,Z ABC的平分线 BD交 ACDEL DB交AB于点E,O 0是厶BDE勺外接圆，交 BC于点F(1

20、) 求证：AC是O O的切线；(2)联结EF,求旦匚的值.AC42.请阅读下列材料：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等即如右图 你根据以上材料，解决下列问题 .1,若弦AB CD交于点P则PA- PB=PCPD.请B已知O O的半径为2, P是O O内一点，且0P=1,过点P任作一弦AC,过A、C两点分别作O O的切线m和n, 作PQ丄m于点Q, PR丄n于点R.(如图2)1 1 若AC恰经过圆心0,请你在图3中画出符合题意的图形，并计算：丄 的值；PQ PR若0P丄AC,请你在图4中画出符合题意的图形，并计算： 的值;PQ PR(3)若AC是过点P的任1 1的值，并给出证明.4

21、3.已知 A0B 90 , 0M是 A0B的平分线将一个直角 RPS的直角顶点P在射线0M上移动，点P不 与点0重合.(1) 如图，当直角 RPS的两边分别与射线 OA、OB交于点C、D时，请判断PC与PD的数量关系，并证明 你的结论；(2) 如图，在(1 )的条件下，设 CD与0P的交点为点G，且PG 3 PD，求GD的值；20D(3) 若直角RPS的一边与射线 0B交于点D，另一边与直线 0A、直线0B分别交于点C、E，且以P、D、E为顶点的三角形与OCD相似，请画出示意图；当 0D 1时，直接写出0P的长.R44. 图1是边长分别为 4 3和3的两个等边三角形纸片 ABC和CD E叠放在

22、一起(C与C重合).(1) 固定 ABC,将厶CD E绕点C顺时针旋转30得到 CDE ,连结AD、BE (如图2).此时线段BE与 AD有怎样的数量关系？并证明你的结论；(2) 设图2中CE的延长线交 AB于F，并将图2中的 CDE在线段CF上沿着CF方向以每秒1个单位的速度平移，平移后的 CDE设为 QRP (如图3).设厶QRP移动(点P、Q在线段CF上)的时间为x秒，若 QRP与厶AFC重叠部分的面积为 y,求y与x之间的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；(3) 若固定图1中的 CD E，将 ABC沿CE方向平移，使顶点 C落在CE的中点处，再以点 C为中心 顺时针旋转一定角度，设

23、 ACC 3090 ，边BC交DE于点M，边AC交D C于点N(如图4).此CNgEM的值；如果有变化，请你说时线段CNgEM的值是否随的变化而变化？如果没有变化，请你求出明理由.EDDNMRFPQ45. 如图：AB是O 0的直径，AD是弦,(1) 求证：CD是O 0的切线；DAB 22.5，延长 AB 到点 C ,使得 ACD 2 DAB .(2) 若AB 2 2，求BC的长.46. 已知：如图，AB为O O的直径，AD为弦，/ DBC =Z A.(1) 求证：BC是O O的切线；(2) 若 OC / AD , OC 交 BD 于 E, BD=6 , CE=4，求 AD 的长.47. 在厶ABC中，点D在AC上，点E在BC上，且DE / AB ,将厶CDE绕点C按顺时针方向旋转得到厶 CD E(使 BCE v 180,连接AD、BE，设直线BE与AC交于点O.(1) 如图，当AC=BC时，AD : BE的值为 ;(2) 如图，当 AC=5 , BC=4时，求AD : BE的值；图图D(3) 在(2)的条件下，若/ ACB=60，且E为BC的中点，求 OAB面积的最小值48.如图，在直角梯形 ABCD中，AD/BCQ C丄BC,AB=10,AD=6