集合与函数概念

1、第一章 集合与函数概念,1.1.1 集合的含义及表示,元素的定义：我们把研究的对象统称为元素 例如：研究1到20之间的整数，这20个数字就是元素 集合的定义：把一些元素组成的总体叫做集合 例如：研究1到20之间的整数，这20个数就是一个集合,点此播放讲课视频,集合的性质 1.互异性：集合中的元素不重复出现 2.确定性：给定一个元素，在不在这个集合中就确定了 3.无序性：集合中的元素在集合内部没有固定的位置,判断下列命题是否正确 a.“中国的大城市”是一个集合 （错） b.“自然数”是一个集合 （对） c.“所有的正方形”是一个集合 （对） d.“有文化的人”是一个集合 （错） e.“大于3小于

2、11的偶数”是一个集合 （对） f.“ a，1，4, 6 其中a为常数”构成集合 （错,点拨：1a、 d.不满足确定性，所以是错误 2当f=1或4或6时都不满足不重复性，所以不是集合,集合与元素的关系 a.如果a是集合A的元素就说a属于A 记作：aA b.如果a不是集合A的元素就说a不属于A,集合地表示 1.列举法：把元素一一列举出来 例如：23,3,48,4,6 2.描述法 a.自然语言描述 例如：1到20的整数 b.数学语言描述 例如：x |x20,牢记的常用集合 正整数集 N* 自然数集 N 整数集 Z 有理数集 Q 实数集 R 虚数集 C,1.1.2 集合间基本关系,子集的定义：如果A

3、的全部元素都在B中，称A为B的子集 子集的表示：Venn图（韦恩图） 真子集：如果A包含于B，且存在元素x在A中但不在B中,称这时的子集为真子集 空集：不含任何元素的集合叫做空集,包含、包含于、不包含、不包含于的区别 a.如果A是B的子集，称A包含于B或B包 含A b.如果A不是B的子集，称A不包含于B或B不包含A,例如：判断下列两个集合的关系 （1）A=1,2,4，B=x |x是8 的约数； （2）A=x |x是4与10的公倍数，x是自然数，B=x |x=20m,m为自然数,规定：（1）空集是任何集合的子集 （2）空集是任何非空集合的真子集 易见：任何一个集合是它本身的子集，都 不是它本身的

4、真子集,传递性：包含、属于、相等 （ 定义留给同学们自己练习写出,集合相等：如果A的全部元素在B中，如果B的全部元素在A中,称A等于B ;记作A=B,例如：写出集合a，b，c的所有子集。 注意：既然已经说是集合，就有a，b，c互不相同,点此播放讲课视频,1.1.3 集合的基本运算,并集：由所有属于A或属于B的元素组成 的集合 叫做A与B的并集，记作AB(读作“A并B”)，即AB=x |xA, xB 交集：由所有属于A且属于B的元素组成 的集合叫做A与B的交集，记作AB(读作“A并B”)，即AB=x |xA且 xB 并集：由所有属于A或属于B的元素组成 的集合 叫做A与B的并集，记作AB(读作“

5、A交B”)，即AB=x |xA, xB 补集：由所有属于A但不属于B的元素组成 的集合叫做A与B的补集,全集：把补集中最大的集合叫做全集 例如：给出集合A=x |x是小于9的正整数，B=y |2y6，求出集合A、B、B在A中的补集 注意到补集不是单独存在的，可能因全集的不同而不同，在说补集时不需要说清楚全集,1.2.1 函数的概念,看下面的例题： 在战争中，一枚炮弹发射后，经过26秒落地击中目标，炮弹在飞行过程中达到最高高度845米，且炮弹距离地面的高度h（单位：米）随时间t（单位：秒）变化的规律是 这里，炮弹飞行时间t的变化范围是数集A=t|0t26炮弹距离地面的高度h变化范围是数集B=h|

6、0h845.从问题的实际可知道，对于数集A中的任意一个t，按对应关系，在数集B中都有唯一的高度h和它对应,上述问题可总结为：对于数集A中的每一个x，按照某种对应关系f，在数集B中都有唯一的y和它对应，记作 f：AB 一般地，设A，B是非空数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任何一个x，在集合B中都有唯一确定的数f（x）和它对应，那么称f：AB为集合A到B的一个函数，记作 y=f（x,定义域：把自变量x的取值范围叫做定义域 值域：把函数值y组成的集合叫做值域 易见，定义域是A的子集； 值域是B的子集,一个函数由定义域、值域、对应法则唯一确定，但值域由对应法则和定义域唯一确定，所以

7、，函数由定义域、对应法则唯一确定 两个函数相等当且仅当定义域和对应法则相同,问（1）y=k x+b确定的对应数不是函数， 假如是写出对应法则、值域、定义域. （2） 确定的对应数不是 函数，假如是写出对应法则、值域、 定义域. （3） 确定的对应数不是函数， 假如是写出对应法则、值域、定义域,闭区间：满足axb的实数x的集合叫做闭 区间，表示为a , b 开区间：满足axb的实数x的集合叫做开 区间，表示为（a , b） 半开半闭区间：满足axb或 ax b的实 数x的集合叫做半开半闭区间，表 示为（a , b或a ，b,1.2.2函数的表示,解析法：用数学表达式表示两个变量之间 的对应关系

8、图像法：用图像表示两个变量之间的对应关 系 列表法：列出表格来表示两个变量之间的对 应关系,点此播放讲课视频,函数的本质: 两个数集间的一种对应关系； 把数集扩充到任意集合，函数变成映射 一般地，设A，B是集合，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任何一个x，在集合B中都有唯一确定的元素 y 和它对应，那么称f：AB为集合A到B的一个映射,1.2.3 单调性与最值,增函数：一般地，设函数f（x）的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D上的任意两个变量 ， ，当 时有f（ ） f（ ），那么就说f（x）在区间D上是增函数 减函数：一般地，设函数f（x）的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D上的任意两个变量 ， ，当 时有f（ ） f（ ），那么就说f（x）在区间D上是减函数,单调性、单调区间 如果函数y=f（x）在D 上是增函数或减函