阶常系数线性非齐次方程

1、8.3.5 二阶常系数非齐次线性微分方程,二阶常系数非齐次线性微分方程,二阶常系数非齐次线性微分方程,是形如 y+py+qy=f(x) 的方程，其中p、q 是常数,二阶常系数非齐次线性微分方程,二阶常系数非齐次线性微分方程通解的结构,设齐次方程 y+py+qy=0 的通解为yY(x)，非齐次方程 y+py+qy=f(x) 的一个特解为yy*(x)，则非齐次方程的通解为,yY(x) y*(x,一、 f(x) = Pm(x)elx 型,下面求方程 y+py+qy=Pm(x)elx， 的特解y* ，其中Pm(x)是m次多项式,可以猜想，方程的特解y*应具有与Pm(x)elx类似的函数形式,设方程y+

2、py+qy=Pm(x)elx的特解形式为y*=Q(x)elx，代入方程 得 Q(x)+2lQ(x)+l2 Q(x)elx+ pQ(x)+lQ(x)elx +qQ(x)elx =Q(x)+(2l+p)Q(x)+(l2+pl+q)Q(x) elx=Pm(x)elx， 于是有等式 Q(x)+(2l+p)Q(x)+(l2+pl+q)Q(x)=Pm(x,设方程y+py+qy=Pm(x)elx的特解形式为y*=Q(x)elx，则得等式 Q(x)+(2l+p)Q(x)+(l2+pl+q)Q(x)=Pm(x,1)如果l 不是特征方程 r2+pr+q=0 的根，则l2+pl+q0 要使上式成立，Q(x)应设为m

3、 次多项式： Q m(x)=b0 xm+b1xm-1+ +bm-1x+bm ， 通过比较等式两边同次项系数，可确定b0，b1， ，bm ， 并得所求特解 y*=Qm(x)elx,设方程y+py+qy=Pm(x)elx的特解形式为y*=Q(x)elx，则得等式 Q(x)+(2l+p)Q(x)+(l2+pl+q)Q(x)=Pm(x,1)如果l 不是特征方程 r2+pr+q=0 的根，则y*=Qm(x)elx,2)如果l 是特征方程 r2+pr+q=0 的单根，则 l2+pl+q=0，但2l+p0， 要使等式 Q(x)+(2l+p)Q(x)+(l2+pl+q)Q(x)=Pm(x) 成立，Q(x)应设

4、为m+1 次多项式： Q(x)=xQm(x)， Q m(x)=b0 xm +b1xm-1+ +bm-1x+bm ， 通过比较等式两边同次项系数，可确定b0，b1， ，bm，并得 所求特解 y*=xQm(x)elx,设方程y+py+qy=Pm(x)elx的特解形式为y*=Q(x)elx，则得等式 Q(x)+(2l+p)Q(x)+(l2+pl+q)Q(x)=Pm(x,1)如果l 不是特征方程 r2+pr+q=0 的根，则y*=Qm(x)elx,2)如果l 是特征方程 r2+pr+q=0 的单根，则y*=xQm(x)elx,3)如果l 是特征方程 r2+pr+q=0 的重根，则 l2+pl+q =0

5、，2l+p=0， 要使等式 Q(x)+(2l+p)Q(x)+(l2+pl+q)Q(x)=Pm(x) 成立，Q(x)应设为m+2 次多项式：Q(x)=x2Qm(x)， Q m(x)=b0 xm+b1xm-1+ +bm-1x+bm ， 通过比较等式两边同次项系数，可确定b0，b1， ，bm ，并得 所求特解 y*=x2Q m(x)elx,设方程y+py+qy=Pm(x)elx的特解形式为y*=Q(x)elx，则得等式 Q(x)+(2l+p)Q(x)+(l2+pl+q)Q(x)=Pm(x,1)如果l 不是特征方程 r2+pr+q=0 的根，则y*=Qm(x)elx,2)如果l 是特征方程 r2+pr

6、+q=0 的单根，则y*=xQm(x)elx,3)如果l 是特征方程 r2+pr+q=0 的重根，则 y*=x2Q m(x)elx,二阶常系数非齐次线性微分方程 y+py+qy = Pm(x)elx 有形如 y*=xk Qm(x)elx 的特解，其中Qm(x)是与Pm(x)同次的多项式，而k 按l 不是特征方 程的根、是特征方程的单根或是特征方程的的重根依次取为0、1 或2,特解形式,解 这是二阶常系数非齐次 线性微分方程，且f(x)是Pm(x)elx 型(其中Pm(x)3x1，l0,例1 求微分方程y-2y-3y=3x+1的一个特解,与所给方程对应的齐次方程 为 y-2y-3y=0， 它的特

7、征方程为 r2-2r -3=0,把它代入所给方程，得 3b0 x2b03b13x1， 比较两端x同次幂的系数，得,由于l0不是特征方程的根，所以应设特解为 y*b0 xb1,得所给方程的一个特解为,解 这里f(x)是Pm(x)elx 型 (其中Pm(x)x，l2,例2 求微分方程y-5y+6y=xe2x 的通解,所给方程对应的齐次方程为 y-5y+6y=0， 特征方程为： r2-5r +6=0,特征方程的根为：r12，r23 齐次方程的通解为： YC1e2xC2e3x,把它代入所给方程，得 2b0 x2b0b1x 比较两端 x 同次幂的系数，得,求得所给方程的一个特解为,由于l 2 是特征方程

8、的单 根，所以应设方程的特解为 y*x(b0 xb1)e 2x,从而所给方程的通解为,二、f(x)=elx Pl (x)cos w x +Pn(x)sin w x 型,我们有如下结论： 如果f(x)=elx Pl(x)cos w x+Pn(x)sin w x ，则二阶常系数非齐次 线性微分方程 y+py+qy=f(x) 的特解可设为 y*=xk el xR(1)m (x)cos w x+R(2)m (x)sin w x， 其中R(1)m (x)、R(2)m (x)是m次多项式，m=maxl，n，而k 按l+iw (或l-iw)不是特征方程的根或是特征方程的单根依次取0或1,特解形式,例3 求微

9、分方程y+y=xcos 2x的一个特解,解 f(x)是elx Pl(x)cos w x+Pn(x)sin w x 型的，其中l0， w2，Pl(x)x，Pn(x)0 与所给方程对应的齐次方程为 yy0， 它的特征方程为 r210 liw2i 不是特征方程的根，所以应设特解为,于是求得一个特解为,y*(axb)cos 2x(cxd )sin 2x 把它代入所给方程，得 (3ax3b4c)cos 2x(3cx3d4a)sin 2xxcos 2x 比较两端同类项的系数，得,y*=xk el xR(1)m (x)cos w x+R(2)m (x)sin w x,例 4方程 y + 4y = x +1 + sinx 的通解,解自由项 f (x) = x +1 + sinx可以看成 f1 (x) = x +1 和 f2 (x) = sin x 之和,y