教学设计（教案）——椭圆的几何性质[1]

1、教学设计（教案）模板基本信息学 科数学年 级高二教学形式新授课教 师李鑫单 位渠县琅琊中学课题名称椭圆的简单几何性质学情分析本课的学习对象为高二年文科班的学生，他们经过近一年多的高中学习，已经有一定的学习基础和分析问题、解决问题的能力。作为高二年文科班的学生普遍存在着数学科基础知识较为薄弱，对数学学习有一定的困难。在课堂上的主体作用的体现不是太充分，但是他们能意识到自己的不足，对数学课的学习兴趣高，积极性强。高二年文科班的学生在学习交往上表现为个别化学习，课堂上较为依赖老师的引导。学生的群体性小组交流能力与协同讨论学习的能力不强，对学习资源和知识信息的获取、加工、处理和综合的能力较低。教学目标

2、1、知识与技能：掌握椭圆的范围、对称性、顶点，掌握几何意义以及 的相互关系，初步学习利用方程研究曲线性质的方法。2、过程与方法：利用曲线的方程来研究曲线性质的方法是学习解析几何以来的第一次，通过初步尝试，使学生经历知识产生与形成的过程，不仅注意对研究结果的掌握和应用，更重视对研究方法的思想渗透及分析问题和解决问题能力的培养；以自主探究为主，通过体验数学发现和创造的历程，培养学生观察、分析、逻辑推理、理性思维的能力。3、情感、态度与价值观：通过自主探究、交流合作使学生亲身体验研究的艰辛，从中体味合作与成功的快乐，由此激发其更加积极主动的学习精神和探索勇气；通过多媒体展示，让学生体会椭圆方程结构的

3、和谐美和椭圆曲线的对称美，培养学生的审美习惯和良好的思维品质。教学过程一创设情境教师：请同学们看大屏幕（课件展示“神舟 七号”飞船在变轨前绕地球运行的模拟图）：2008.9.25，是我国航天史上一个非常重要的日子，“神舟 七号”载人飞船成功发射， 实现了几代中国人遨游太空的梦想,这是我们中华民族的骄傲。 我们知道，飞船绕地运行了十四圈，在变轨前的四圈中，是沿着以地球中心为一个焦点的椭圆轨道运行的。如果告诉你飞船飞离地球表面最近和最远的距离，即近地点距地面的距离和远地点距地面的距离，如何确定飞船运行的轨道方程？要想解决这一实际问题，就有必要对椭圆做深入的研究，这节课我们就一起探求椭圆的性质。（引

4、出课题）教师：前面我们学习了椭圆的定义和标准方程，谁能说说椭圆的标准方程（学生回答）。 二探索研究1. 范围教师：同学们继续观察椭圆，如果分别过A1、A2作y轴的平行线，过B1、B2作x轴的平行线（课件展示），同学们能发现什么？ 学生能答出：椭圆围在一个矩形内。教师补充完整：椭圆位于四条直线x=a, y=b所围成的矩形里，说明椭圆是有范围的。教师：下面我们想办法再用方程+=1(ab0)来证明这一结论的正确性。启发学生，用方程讨论图形的范围就是确定方程中x、y的取值范围。 从方程的结构特点出发，师生共同分析，给出证明过程。由+=1，利用两个实数的平方和为1，结合不等式知识得，xa且yb,则有xa

5、,yb, 所以-axa,-byb。2对称性的发现与证明教师：椭圆的图形给人们以视觉上的美感（课件展示椭圆），如果我们沿焦点所在的直线上下对折，沿两焦点连线的垂直平分线左右对折，大家猜想椭圆可能有什么性质？（学生动手折纸，课前教师要求学生把上节学习椭圆定义时画的椭圆拿来。）学生们基本上能发现椭圆的轴对称性。 教师：除了轴对称性外，还可能有什么对称性呢？稍作提示容易发现中心对称性。教师：这仅仅是由观察、猜想得到的结果，怎样用方程证明它的对称性？师生讨论后，需要建立坐标系，确定椭圆的标准方程。不妨建立焦点在x轴上的椭圆的标准坐标系，它的方程就是+=1。教师：这节课就以焦点在x轴上的椭圆的标准方程为例

6、来研究椭圆的性质。教师：这样建立的坐标系对称轴恰好重合于坐标轴，我们先证椭圆关于y轴对称。为了证明对称性，先作如下铺垫：（一起回顾）教师：在第一册学过，曲线关于y轴对称是指什么呢？学生：曲线上的每一点关于y轴的对称点仍在曲线上。教师：要证曲线上每一点关于y轴的对称点仍在曲线上，只要证明-学生：曲线上任意一点关于y轴的对称点仍在曲线上。在学生尝试进行问题解决的过程中，当他们难以把握问题解决的思维方向，难以建立起新旧知识的联系时，这就需要教师适时进行启发点拨。教师：同学们阅读教材中椭圆对称性的证明过程，仔细体会并思考“为什么把x换成-x时，方程不变，则椭圆关于y轴对称”。请一位学生讲解椭圆对称性的

7、证明过程，以此来训练学生表述的逻辑性、完整性和推理的严谨性。教师对学生的证明进行评价。教师：用类似的方法可以证明椭圆关于x轴对称,关于原点对称。课件展示对称性并总结：方程+=1表示的椭圆，坐标轴是其对称轴，原点是其对称中心.从而椭圆有两条互相垂直的对称轴,有一个对称中心(简称中心). 教师引导学生对这一环节进行反思，即通过建立坐标系，用椭圆的方程研究椭圆的性质，这种方法我们今后经常用到。投影显示下图及问题 y o x问题：图中的椭圆有对称轴和中心吗？指导学生思考讨论后获取共识：坐标系是用来研究曲线的重要工具，而椭圆的对称性是椭圆本身固有的性质，无论椭圆在坐标系的什么位置，它都有两条互相垂直的对

8、称轴，有一个中心，与坐标系的选取无关。（此问题也为后面研究平移变换埋下伏笔）。3.顶点的发现与确定教师：我们研究曲线，常常需要根据曲线上特殊点的位置来确定曲线的位置。教师提问：你认为椭圆上哪几个点比较特殊？由学生观察容易发现，椭圆上存在着四个特殊点，这四个点就是椭圆与坐标轴的交点，同时也是椭圆与它的对称轴的交点。教师启发学生与一元二次函数的图像（抛物线）的顶点作类比，并给出椭圆的顶点定义。教师：能根据方程确定这四个顶点的坐标吗？由学生自主探究,求出四个顶点坐标。即令x=0,得 y=b，因此B1(0,-b), B2(0,b) ，令y=0，得x=a，因此A1 (-a,0), A2(a,0)。结合图

9、形指出长轴、短轴、长轴长、短轴长、长半轴长、短半轴长，半焦距，点明方程中a、b和c的几何意义和数量关系。由学生探究得出椭圆的一个焦点F2到长轴两端点A1 , A2的距离分别为a+c和a-c。教师指出，这在解决天体运行中的有关实际问题时经常用到。4离心率教师：我们在学习椭圆定义时，用同样长的一条细绳画出的椭圆形状一样吗？同学们能回答出：不一样，有的圆一些，有的扁一些。请同学们思考：椭圆的圆扁程度究竟与哪些量有关呢？课件动画演示此时学生展开讨论，可能有的说与a、c有关，也可能说与a、b有关等等。通过观察演示实验，化抽象为具体，引导学生思考。 教师引导学生从演示实验观察到由于椭圆位于直线x=a,y=

10、b围成的矩形里，矩形的变化对椭圆形状的影响。矩形越狭长，椭圆越扁；矩形越接近于正方形，椭圆越接近于圆；当矩形变为正方形时，即a=b时,椭圆变为圆。即当比值越小，椭圆越扁；比值越大，椭圆越接近于圆。由于 =，所以当越大时，越小，椭圆越扁；当越小时，越大，椭圆越接近于圆。把比值e=叫椭圆的离心率，分析出离心率的范围：0e1。结论：椭圆在- axa，-bxb内，离心率e越大，它就越扁；离心率e越接近于0，它就越接近于圆。所以说离心率是描述椭圆圆扁程度的量。由上面的分析可以看到，比值、的大小都能反映椭圆的圆扁程度，为什么定义是椭圆的离心率呢？因为a、c这两个量是椭圆定义中固有的，是决定椭圆形状最关键的

11、要素，随着今后的学习可以看到还有更重要的几何意义。三巩固与创新应用例1求椭圆 的长轴长、短轴长、离心率和顶点，并画出它的草图。本题采用讲练结合的方式。前一部分由学生口述求解过程，后一部分由教师介绍画椭圆草图的方法（考虑到画草图对学生来说比较实用）。解：由于a=5, b=4 ，c=3椭圆的长轴长2a=10，短轴长2b=8 离心率e=因为焦点在x轴上，所以椭圆的四个顶点的坐标是(-5,0)、(5,0)、(0,-4)、(0,4) 教师：根据椭圆的性质，可以快捷地画出反映椭圆基本形状和大小的草图，方法如下：（课件展示）首先确定椭圆的四个顶点，其次画出表示范围的矩形框，然后画出椭圆在第一象限的部分，最后

12、根据对称性用平滑的曲线将四个顶点连成一个椭圆的基本图形。教师提醒学生：画图时注意椭圆的对称性和顶点附近的平滑性。学生根据画草图的方法画出上述方程表示的椭圆。教师说明，如果需要比较准确地画出椭圆，可以按教材例1那样，用描点法画出椭圆在第一象限的部分，再根据对称性画出整个椭圆（要求学生课下阅读教材中的描点法作图）。练习：如果把例1中的椭圆方程改为+=1，则长轴长、短轴长、离心率和顶点有什么变化。此处是一个创新点，培养学生用类比的思想解决问题的能力，也通过与上题做比较，使学生体会到椭圆的性质是其本身固有的，是客观存在的，与坐标系的选取无关。学生的回答可能会因为长轴位置发生变化而导致顶点坐标出错，教师

13、要予以纠正。（此题用实物投影展示或由学生到黑板板书） 例2 我国发射的“神舟七号”飞船在变轨前是沿以地球的中心F2为一个焦点的椭圆轨道运行的。已知它的近地点A（离地面最近的点）距地面约为200km,远地点B（离地面最远的点）距地面约为350km，地球半径为6371km并且F2、A、B在同一直线上，求飞船运行的轨道方程。（结果精确到0.01km）设置本题的主要意图是:第一,为增强学生的数学应用意识和运用数学知识解决实际问题的能力；第二，为满足中等及中等以上层次学生的学习需求。师生共同分析：先把实际问题转化为数学问题。（求神舟五号飞船的轨道方程，就是求椭圆的方程）。教师：求椭圆的方程又需要先做什么

14、呢？（建立坐标系）。怎样建系？（以过A、B的直线为x轴，F2为椭圆的右焦点，记F1为左焦点建立如图所示的直角坐标系（课件上作图、建系）则它的标准方程为+=1 (ab0)。下面确定a、b的值，题中提供的信息是近地点、远地点到地面的距离以及地球的半径，由这些条件我们可以知道些什么呢？学生对照图形认真思考，相互讨论由学生得出解法。F2 A=6371+200 ，F2 B=6371+350又F2 A=o A-oF2=a-c因此,有 a-c=o A-oF2=F2 A=6371+200=6571同理,得 a+c=o B+oF2=F2B=6371+350=6721解得 a=6646， c=75b2=a2-c2

15、=(a+c)(a-c)=441636916645.582因此，飞船的轨道方程为+=1学生可能出现的另一种解法：由2a =AB=BN+NM+MA=350+26371+200 a =6646 c =oF2=o A-F2 A =6646-6371-200=75以下做法同上。计算过程由学生用计算器求得。教师最后课件展示：用计算机画出飞船运行的轨迹。 四总结提炼教师：通过这节课学习，你学到了什么？（教师引导学生从知识和方法两方面进行归纳总结，培养学生反思自己学习过程的意识）1.知识总结:本节课我们讨论了椭圆的四个简单性质,掌握这些性质是解决有关问题的基础。2.数学思想:本节主要用到数形结合、猜想、类比的思想方法，平时学习中注意运用。 3.数学方法:掌握利用曲线方程研究曲线性质的重要方法解析法（坐标法），这种方法不仅适用于椭圆也适用于后续课程中的其它曲线。五.课外阅读 课本43页用几何画板探究点的轨迹：椭圆板书设计椭圆的性质一性质 二应用以方程+=1(ab0)为例研究 例11.对称性.椭圆关于x轴、y轴及原点对称.2.顶点.顶点坐标:(a,0) , (-a,0), (0,b),(0,-b).3.范围.椭圆位于x=a,y=b围成的矩形内.4.离心