圆锥曲线与方程复习小结椭圆与双曲线的对偶性质

1、1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.2-1.2.9&H与戒曲线的对偶杵质一（必背的绎典结论（实輪班椭圆在点P处的切线PT平分 PF1F2在点P处的外角.PT平分 PF1F2在点P处的外角，则焦点在直线 PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离.以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.y2b22yxx-2a2 x 若P(x0,y0)在椭圆 a2x若P0(x0, y0)在椭圆a点弦P1P2的直线方程是2x椭圆2a轴端点）2x椭圆一2a|MF1 | aF1PF21上，则过P0的椭圆的切线方程是 辱a1外，则过Po作椭圆的两条

2、切线切点为（a b 0）的左右焦点分别为F1, F，则椭圆的焦点三角形的面积为2y- 1 b2ex0,| MF21 a ex(F1( c,0) , F2(c,0)（a b 0）的焦半径公式:Pl、P2，则切2,点P为椭圆上任意一点（除长2S f1pf2b tan?.M (xo, yo).设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交 P、Q两点，A为椭圆长轴上一个顶点， 连结AP和AQ分别交相应于焦点 F的椭圆准线于 M、N两点，贝U MF丄NF.过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于两点 P、Q, A1、A2为椭圆长轴上的顶点， A1P和A2Q交于点 M , A2P和A1Q交于点N，贝y MF丄NF.22x y

3、a2 b2b2，即a11.AB是椭圆则 kOM kAB12.若 F0(x, y)在椭1的不平行于对称轴且不过原点的弦，M（X。，y）为AB的中点,K AB2x圆ab2x2a y。2告 1内，则被Po所平分的中点弦的方程是b2XoX2ayoyxo2b ayo2 b213.!0 (xo, yo)2x2a2爲 1内，则过Po的弦中点的轨迹方程是b2x2aXoX yya2b2双曲线1双曲线在点P处的切线PT平分 PF1F2在点P处的内角.2.PT平分 PF1F2在点P处的内角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点 3以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相交4以焦点半径

4、 PF1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切(内切：P在右支；外切：P在左支)XoX ygya2b21.2X 6若P)(Xo, yo)在双曲线a2y_b21 (a o,b o)夕卜，则过Po作双曲线的两条切线切点2 x 5若Fo(Xo, yo)在双曲线 a2y21 ( a o,b o)上，则过R的双曲线的切线方程是b为P1、P2,则切点弦P1P2的直线方程是 暂，1.a b22X y7. 双曲线 2 1 (ao,b o)的左右焦点分别为 F1, F 2,点P为双曲线上任意一点(除a b实轴端点)F1PF2，则双曲线的焦点三角形的面积为Sfh b2cot?2 2x y8. 双曲线2 1 (a0,b

5、o)的焦半径公式：(R ( c,0) , F2(c,0)a b当 M(Xo, y)在右支上时，IMFj exo a ,| MF21 exo a .当 M (Xo, y)在左支上时，IMFj exo a ,| MF2 |exo a9设过双曲线焦点 F作直线与双曲线相交 P、Q两点，A为双曲线长轴上一个顶点，连结AP和AQ分别交相应于焦点 F的双曲线准线于 M、N两点，贝U MF丄NF.10.过双曲线一个焦点 F的直线与双曲线交于两点P、Q, A1、A2为双曲线实轴上的顶点,A1P和A2Q交于点 M , A2P和A1Q交于点 N，贝U MF丄NF.22x y11.AB是双曲线 2 1 (a0,b0

6、)的不平行于对称轴且不过原点的弦，M(Xo,y)a bb2X02。a yb2为AB的中点，贝V Kom Kab -y，即Kab a1J-12.若礙心心在双曲线00)内，则被Po所平分的中点弦的方穆是 a 扩空-型=址_必7眉孑眉.T V13.若易(心列)在双曲线-4-=l 0Tb0)内.则过起弦b占的勉迹方程是 口占b丘 y1 _ 时 j;tyTV -椭圆与双曲线的对偶性质(会推导的经典结论)高三数学备课组2X1.椭圆一2a2b21 (a b0)的两个顶点为A(a,0) ,A2(a,0)，与y轴平行的直线交椭圆于Pl、P2时A1P1与A2P2交点的轨迹方程是2x2ab 1.2X2.过椭圆a2每

7、 1 (a b0)上任一点A(x,y0)任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆b于B,C两点,则直线BC有定向且kBCb2X02a y。(常数)3若P为椭圆2X2a( ab0)上异于长轴端点的任一点,F1, F 2是焦点，PF1F2 bPF2F1，则a ctan cot.(由正弦定理可以推导)a c 22224设椭圆PF1F2中，记F1PF2PF1F2F1F2Psinsin sinC e.(由正弦定理可以推导)a2x5.若椭圆a2 _1(ab0)的左、右焦点分别为F1、F2，左准线为L,则当0vew 一 2 1 b时,可在椭圆上求一点 P,使得PF1是p到对应准线距离 d与PF2的比例中项.6.P1

8、 (a b 0)上任一点,F1,F2为左右焦点，A为椭圆内一定点，则2aI AF2I |PA| PFi | 2a |AFi|,当且仅当A,F2,P三点共线时，等号成立7.椭圆2(X Xo)2(y y。)A2a28已知椭圆(1)2aB2b22xa1I OP I2(Ax2y_b21IOQI2b2By。 C)2.1与直线Ax By C 0有公共点的充要条件是(a b 0), O为坐标原点，P、Q为椭圆上两动点，且OP OQ .12a(2)|op2+|oqi2的最大值为1 b 4a2b2(3)S OPQ的最小值是2a2 Ja b2,2 .a b2x9.过椭圆a2y_b2(a b 0)的右焦点F作直线与

9、该椭圆交于 M,N两点，弦MN的垂直平分线交x轴于P,则咱I MN |10.已知椭圆2 x 2 ay2b21 ( ab 0) ,A、B、是椭圆上的两点，线段 AB的垂直平分线与古1 (a b 0)的两个焦点为F1、F2,p (异于长轴端点)为椭圆上任意x轴相交于点P(x0,0),则a2 b2a2 b2x02x11.设P点是椭圆a2ya b0) 上异于长轴端点的任一点，F1、F2为其焦点记F1PF2，则(1)|PFjPF2|2b2 S PF1F2b2巧.2 212.设A、B是椭圆一22a b,BPA ,22ab |cos |.(2)1( a b 0)的长轴两端点,P是椭圆上的一点，PABPBAe

10、分别是椭圆的1PA| a2 c2 2cos2tan tan 1 e .(3) S PAB 2 b半焦距、离心率，则有2a2b2丄2 cota2x13.已知椭圆a1 ( a b0)的右准线I与x轴相交于点E，过椭圆右焦点F的直线与椭圆相交于B两点，点C在右准线I上，且BC x轴,则直线AC经过线段EF的中点.14.过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线,与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直15. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.16. 椭圆焦点三角形中，内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率).(注：

11、在椭圆焦点三角形中，非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.)e.17. 椭圆焦点三角形中，内心将内点与非焦顶点连线段分成定比18. 椭圆焦三角形中，半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项椭圆与双曲线的对偶性质-(会推导的经典结论)高三数学备课组双曲线2 21双曲线 笃 占 1 (a 0,b 0)的两个顶点为 A( a,0),A2(a,0)，与y轴平行的直线 a b2 2Xy交双曲线于Pl、P2时AlPl与A2P2交点的轨迹方程是 21 ab222.过双曲线詁b2双曲线于B,C两点,则直线BC有定向且kBC2a yb X)(常数).3若P为双曲线2y_b2(a 0,b 0)右(或左

12、)支上除顶点外的任一点，F1, F 2是焦点，PF1F2PF2F1c a，则一c atan cot(或2c_a tan cot). c a 222x4.设双曲线a2b 1 (a 0,b0)的两个焦点为F1、F2,P (异于长轴端点)为双曲线上任意一点，在 PF1F2中，记 F1PF2PF1F2F1F2P,则有1 (a0,bo)上任一点 A(Xo, yo)任意作两条倾斜角互补的直线交Sinc e.(可由正弦定理推导)(si n sin ) a2 2x y5.若双曲线一22 1 (a0,b0)的左、右焦点分别为F1、F2,左准线为L,则当1 va bew 2 1时，可在双曲线上求一点 P,使得PF

13、1是P到对应准线距离 d与PF2的比例中项226.P为双曲线一22a b1 (a 0,b 0)上任一点，Fi,F2为二焦点，A为双曲线内一定点,则 |AF2|2a|PA|IPhl，当且仅当A, F2,P三点共线且P和A, F2在y轴同侧时，等号成立.2xa2 22. 2A a B b7.双曲线8.已知双曲线2古1c2.2 2x y a2 b2(a 0,b 0)与直线 Ax By C0有公共点的充要条件是1 (b a 0), O为坐标原点，P、Q为双曲线上两动点，且OP(1)OQ.12|OP|12|OQ|(2)|OPF+|OQ|2的最小值为1 1 T2 ；a b 4a2b2 r22;b a(3)

14、S OPQ的最小值是2 Ja bT22 .b a229.过双曲线/ b 1(a0,b0)的右焦点F作直线交该双曲线的右支于M,N两点,弦MN的垂直平分线交x轴于P,则丄咀1| MN |2x10.已知双曲线a2話 1 (a0,b0) ,A、B是双曲线上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点P(Xo,O),则 Xo2,2a b亠 或X。aa2 b211.设P点是双曲线F1PF2(1)|PF1|PF2|22x y2,2a b则有以下结论。2 b21 cos(a0,b0) 上异于实轴端点的任一点尸、F2为其焦点记S卩斤f2b cot .2x12.设A、B是双曲线a2yb21 (a0,b0)的长轴两端点，P是双曲线上的一点,PABPBABPA,c、e分别是双曲线的半焦距离心率，则有22x y 13.已知双曲线21a b的直线与双曲线相交于A、(1)|PA|22ab | cos |.2 2 2| a c cos |tantan1 e2.S PAB2a2b222 cot（a0,b0）的右准线I与x轴相交于点E，过双曲线右焦点FB两点，点C在右准线I上，且BC x轴，则直线 AC经过线段EF的中点.14过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线，与以