北师大版八年级上册第一章第3节第一课时)教案、说明、点评

1、第八届全国初中青年数学教师优秀课观摩与评比活动 蚂蚁怎么走最近 （义务教育课程标准北师大版八年级上册第一章第 3 节第一课时）四川省成都市石室联合中学 易梅一、教学内容解析? 教材内容 本节内容是义务教育课程标准北师大版实验教科书八年级 （上）第一章勾股定理 第 3 节，学习勾股定理及其逆定理的应用，着重研究圆柱体侧面上的最短路径问题? 教学重点 运用勾股定理解决圆柱体、长方体等常见几何体上的最短路径问题? 地位作用 本节课的内容是勾股定理的应用，既可以让学生加深对勾股定理的理解，又可以让 学生体会到勾股定理的应用价值 同时把立体图形问题转化为平面图形问题进行研究的 方法，为高中进一步学习立体

2、几何奠定了一定的基础因此，本节内容具有承前启后的 重要地位其次，把蚂蚁在圆柱侧面上怎么走最近的实际问题，抽象、转化为平面内两点间的 最短路径问题，比较充分地体现了数学的转化思想，并有助于发展学生的数学建模能 力同时，通过立体图形展开与折叠的过程，进一步发展了学生的空间观念二、教学目标设置1学会运用勾股定理计算解决圆柱、长方体等常见几何体上的最短路径问题； 2通过对圆柱体侧面、长方体表面的展开与折叠，发展学生的空间观念，体会数 学的转化思想；3在运用勾股定理解决实际问题的过程中，体会勾股定理的应用价值，培养数学 建模能力三、学生学情分析? 知识基础在本节课前，学生已了解勾股定理，熟悉线段公理，对

3、图形的展开与折叠有一定的 认识，也具备一定的把实际问题抽象为数学问题的经验? 认知水平我校八年级学生普遍数学基础较好，但个体之间有一定的的差异在此阶段，他们 正处于由直观形象思维为主向以抽象逻辑思维为主过渡的思维发展关键期我班学生爱问好动，求知欲强，对动手操作、小组合作、集体讨论等形式多样的学 习方式很感兴趣，有较强的参与欲望，希望能在课堂上得到充分的展示? 教学难点如何将立体图形上的最短路径问题转化为平面上两点之间的距离问题， 从而实现把 空间关系转化为线性计算? 突破难点的策略通过情景创设，激发兴趣设置层层深入的问题，用巧妙的语言调动把学生的思考 逐步引向深入鼓励学生动手操作，合作交流，经

4、历探索过程，得出结论通过归纳小 结和方法提炼环节，让学生内化本节课的知识和方法，从而突破难点四、教学策略分析? 教材处理1将本节内容细分为两课时教材把勾股定理及其逆定理的应用合为一课时，探究内容和问题设计稍显单薄为 了丰富教学内容，体现勾股定理应用的广泛性，在教学设计时将其分为两个课时，本节 课是第一课时，只研究勾股定理的应用2保留课本探究，改编课后练习教学设计中保留了教材中“蚂蚁在圆柱体侧面怎么走最近”的探究内容，而这一内 容仅针对一种旋转体，为了实现对另一种重要几何体多面体的探究，我对教材课后练习进行了挖掘，将习题1.5的第3题进行了改编，作为课堂探究2.3.补充拓展应用由于我班学生普遍数

5、学基础较扎实，接受新知的能力较强，因此补充了拓展应用以 满足学生的学习需求，并实现与前期知识的综合运用.?教学方法本节课采用“探究一一发现”的教学模式进行教学，以有趣的情景引出问题，用问题串引导学生自主探究，发现解决问题的方法，并为学生搭建参与和交流的平台.?学习方法学生在教师的引导下，通过动手操作，自主探究，交流展示等活动，获得本节课的 知识与方法.?教具准备教材、多媒体课件、实物投影仪、圆柱体、长方体、直尺、剪刀等.五、教学过程教学内容与教师活动学生活动设计意图与说明（一）情景引入科学家证实，在生物界中蚂蚁有一种神 奇的天性总能选择取短路线去获取食物，似乎很擅长于数学中的几何学.以蚂蚁在觅

6、食过程中发现路径的行为作 为灵感，科学家创造出了一种新的全局优化 仿生算法一一蚁群算法.拥有蚁群算法的机 器人，已经开始在交通、电信、路桥等方面 进行应用.学生观看动画，了解情景.激发学生对课 题的好奇心，让学 生充满探究的欲 望.（二）温故知新如图所示，在一个长为40cm,宽为30cm 的长方体蛋糕盒顶部，顶点A处有一只蚂蚁，它想吃到相对顶点B处的蛋糕，如何爬行路 径最短，最短路径是多少？学生利用线段公理，通过勾股定理解决.（三）合作探究探究1圆柱体侧面最短路径问题如图，有一个圆柱形蛋糕盒，它的高等 于12厘米，底面半径等于3厘米.在圆柱的 底面A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与 A点相对的

7、B点处的蛋糕，沿圆柱侧面爬行 的最短路程是多少？ （ n的值取3）探究1是教材 内容，探究旋转体 （圆柱）侧面最短 路径问题.1.提出问题，独立思考，引发探究问题1:当A、B两点在一条母线上时,问题2:当B点移动到上底面上与A点相对的B点处时，蚂蚁怎么走最近？学生直接应用线段公理解决问题.学生在思考中产生认知冲突.使学生意识到 对问题2,已有的经 验已无法解决，需 要寻找新的方法， 自然引发学生的探 究欲望.让学生体会知 识点间的联系与发 展，同时也为在立 体图形上探究最短 路径做好铺垫.2 小组合作，交流展示，形成方法教师深入小组，参与学生交流，关注学学生动手操作，培养学生动手生的参与程度，

8、动手能力和合作意识，以及小组合作探究.操作能力，让学生在探究过程中表现出的思维水平.任选3组学生经历探究过程.展示方案，父流b方在各组展示后，教师引导性提问：法.(1)我们要找的仍然是两点间的最短路预设多数学生线，已有经验是两点之间线段最短，你能在能凭感觉画出路侧面上找到连接这两点的一条线段吗？(不学生在问题串径，但说不出依据.能)引导下深入思考，逐此时，教师以问题(2)此时不能在侧面连成线段的原因是步形成方法.串的形式引导学生什么？(因为路径不在同一平面内)思考形成方法.(3)你能不能想个办法把连接 AB两点的路径“放到” 一个平面上？(借助七年级学过的立体图形表面展开的知识)3 深入探究，

9、解决冋题，总结方法学生动手操作，让学生通过动(1)教师深入小组指导.交流方法，代表小组手操作，明确方a.对学生不同的展开方式只要正确都在讲台上交流，板书法.通过师生互动，予以肯定评价，同时引导学生发现更优的展过程，并介绍方案.生生交流，完善方开方式.案，解决问题.b.预设部分学生会找错展开图中 B点的位置，教师引导他们发现并自我修正.通过动画演示学生欣赏动画，强化思路，加深对(2)教师动画演示侧面展开过程.并体会方法.方法的认识和理解.(3)将展开图还原为圆柱.学生动手把展“还原”的过开图还原为圆柱.程验证了最短路径(4)师生总结：利用展开图，把立体图在空间的存在性，形转化为平面图形是解决这一

10、类立体图形上 最短距离问题的主要方法.同时有助于发展学 生的空间观念.在Rt ABC中，由勾股定理得：2 2 2 2 2AB AC BC 123n 225. AB 15 厘米.因此，蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是15厘米.探究2长方体表面最短路径问题如图所示，有一个长方体，它的长、宽、 高分别为5cm，3cm，4cm.在顶点A处有一 只蚂蚁，它想吃到与顶点A相对的顶点B的 食物.已知蚂蚁沿长方体表面爬行的速度是 0.8cm/s,问蚂蚁能否在11秒内获取到食物？A 51.探究所有可能路径(1)解读问题，统一探究方向教师提问：决定蚂蚁能否在11秒内获取到食物的关键是什么?学生独立思考， 得出关键就

11、是要算 出最短路程和11秒 内蚂蚁爬行的距离 8.8cm进行比较.探究2将教材 课后练习中长方体 表面上最短路径探 究作为教学内容进 行了深入研究，从 而实现对另一种重 要几何体多面 体的探究.一方面考虑到 部分学生没有明确 思考方向，另一方 面也是为了让学生 可以把探究的重心 集中到对最短路径 的寻找和判断上.(2)小组探究，明确六种可能a怎样才能找到最短路径？b. 进一步提出有几种不同的展开方式可 以得到可能的最短路径 AB,引发学生小组合 作交流.c. 全班汇总方案，教师点评，优化列举 法.学生交流感知 多种方案，并在组内 交流，互相补充完善生生互动找全方案，优化列举法.从初步感知多 种

12、可能，到互相补 充找全方案，最后 再到优化列举方 法，逐步培养学生 思维的严密性.A SJ3 AA 5学生观看动画, 进一步梳理思路.利用动画演示 展开过程，让学生 明确本质不同的三 种方案，使思路更 清晰.2 .确定最短路径(1) 板演计算，得出最短路径教师板书如下：AiBi23 2(45)290；AA24 2(35)280；A3B3252(34)274.(3)优化方案，确定三条路线提出问题：要知道哪条路径最短，是否 需要把这6条AB的长度都算出来进行比较 呢？还有没有优化的空间？教师利用多媒体动画演示展开过程：学生从对称角 度考虑，留下三种本 质不同的方案.因此，最短路径为A3B3 .2

13、0.8 118.8, 8.877.4474,蚂蚁能在11秒内获取到食物.(3)观察计算过程，发现规律(教师在书写格式上刻意留下了让学生发现规律的空间)3 推广延伸若探究2中的长方体长、宽、高分别为a, b, c,且abc,找出沿正方体表面从 点A到点B的最短路径，并说明理由.最径最大学生观看动画在空间验证最演示并动手折叠，还短路径的存在，发原立体，在空间中感展学生的空间观受蚂蚁爬行的最短念.路径.学生结合图形为推广到一般通过计算不难发现：情况作铺垫.三条AB的长度，分别是以长方体的长、宽、高之一作为一条直角边，其余两者之和作为另一条直角边的直角三角形的斜边长.学生独立思考，从特殊到一发现规律，

14、并验证.般，并用类比方法论证一般规律.（2）应用规律，解决特殊问题a.当a=b=c时，有几种情况？b当a，b，c中任两个量相等时，情况 又如何？（3）教师小结，深化思想方法回顾探究2的过程，总结如下：数学思想：转化、分类与整合研究方式：大胆猜测，严密论证 研究方法：从特殊到一般再到特殊、 类比方法（四）方法提炼解决实际问题的关键是根据实际问题建 立相应的数学模型，解决这一类几何型问题 的具体步骤大致可以归纳如下：1. 审题一一分析实际问题；2. 建模一一建立相应的数学模型；3. 求解一一运用勾股定理计算；4. 检验一一是否符合实际问题的真实性.（五）拓展应用学生应用规律，口头作答.再从一般到特

15、 殊，将规律应用于 特殊情况，从而形 成对长方体（含正 方体）表面展开图 的全面认识.学生回味探究 中学到的方法和体 验到的数学思想.把实践上升到 理论高度，逐步渗 透数学思想方法.学生在教师引导下总结.及时总结解决 冋题的一般方法， 让学生有体验，有 总结，有提升.我校在上学期5月份组织学生参学生欣赏图片 并了解“百鸟苑”内 参观道的信息.观了成都市动物 园，以此为背景，结合我班学生实 际，设计了该拓展 应用，旨在增强学生解决实际问题能 力的同时，进一步 发展学生的数学思 维品质，体会数学 的应用价值.柱形成架空参观廊桥，视野开阔，可与鸟类 近距离接触，同时也节约了占地面积.已修成的这条参观

16、道绕立柱一周，最高 离地面10米，总长70米，每米造价约为1 万元.教师提问：入口（出口）学生独立思考, 设计并父流万案.若请你来当参观道的设计师，依然绕圆 柱一周，最高离地面 10米，每米的造价不 变，你能设计出一个 最省钱的方案吗？ 1.独立思考，交流方案学生在交流过 程中相互借鉴，促 使学生深入思考.（课前预设：学生容易想到借助展开图解 决此问题，但可能在确定并解释最高点的位 置上出现困难）2 联想旧知，分析解决（1）利用轴对称思想解决问题学生联想到这 一问题与所学过的 一个最短路径模型 相吻合，利用轴对称 来找最短距离.作点A关于BB的对称点P，连接RA， 与BB交于点M .则最短路径

17、AM MA PA.拓展应用环节让学生综合运用展在 Rt FAA 中，PA2=PA2 AA220220 n24344 PA 66 米.因此，最省钱的参观道长约为66米，造 价约为66万元.（2）评价学生的设计方案从数学和生活实际等角度出发对设计方 案进行评价.（六）归纳小结（1）教师引导学生总结：a. 知识价值一一勾股定理的应用；b. 模型化思想及其基本步骤；c. 数学思想方法：化归、从特殊到一般 再到特殊、分类与整合等.（2）教师寄语希望将来有致力于数学研究的同学，能 研究出像蚁群算法这样的应用技术，让数学 更广泛地应用于实际，服务于社会.（七）作业布置1.（必作题）习题1.5第1，2，3题；

18、2 .（选作题）如图所示，有一个无盖长 方体，它的长、宽、高分别为10cm, 5cm, 3cm.在顶点A处有一只蚂蚁，它想吃到棱 CD上距顶点C2cm的P点处的食物，蚂 蚁怎样走最近？ 请估计最短路程aA 10cm B开图、轴对称、全 等、勾股定理等知 识解决问题，发展 学生数学建模能力 和空间想象能力.围绕本节课的重难点进行总结，学生从数学知使学生内化本节课识、思想方法等方面的知识和方法.进行全面总结.积极的教育期待可以增强学生的学习动力.分层布置作业可以满足不同层次学生的需要.必作题供全体学生基础过手.选作题将探学生课后完成究2中的长方体进必作题，选择完成选行了两方面的变作题.式：变有盖为

19、无盖；变一个顶点为非顶点.此题也可作为备用题，用于调控课堂.约为多少？3cm附：板书设计结论性问识）（主板书）（副稅书1）（拓廉应用（糙助性规书）过稈性抿爭）儼板书可（副板书对（辅助怦板书）六、设计说明?设计理念在课堂教学中学生是学习的主体，教师是组织者、引导者、合作者，因此在教学设计中，我通过设置动手操作、合作探究、交流展示等活动，突出了学生的主体地位.?教学反思1.目标达成达成初步达成进一步达成课堂学习目标1, 2课堂学习目标1, 2I-J课堂学习目标3课堂学习目标1, 2, 32.课堂评价在教师评价时，关注学生的参与程度和思维水平，关注学生对基本知识的掌握情况 和解决实际问题的意识和能力；其次在教学过程中尊重学生的个体差异，对于学生的不 同思思维方式，只要合理都给予鼓励和肯定，帮助学生树立学习数学的自信，充分发挥 教学评价的价值 同时为学生提供生生评价的平台， 让学生间学会