专转本高等数学真题集参考答案

1、1 20062006 年年20102010 年江苏省专转本真题参考答案年江苏省专转本真题参考答案 1、 计算 1 1 lim 3 1 x x x 解：原式 3 2 ) 1)(1( ) 1)(1( lim ) 1)(1)(1( ) 1)(1)(1( lim 3320332 3323 0 xxx xx xxxx xxxx xx 2、 已知) 2 1 () 2 1 (lim, 2 )2( lim 0 x xf x xf xx 则 解：设，则当 x0 时，u，代入已知极限得： u x 4 1 即 2 1 ) 2 1 (lim, 2) 4 2 (lim4) 4 2 (4lim u uf u uf u u

2、f uuu 解得 2 1 ) 2 1 (lim x xf x 3、 求极限 x x x x 3 ) 2 (lim 解：原式 6 )6( 2 ) 2 1 (lim e x x x 4、求极限 xx x x sin lim 3 0 解：6 sin 6 lim cos1 3 lim sin lim 0 2 0 3 0 x x x x xx x xxx 5、已知,则常数 a,b 的值为( )3 2 lim 2 2 x baxx x A、a=-1,b=-2 B、a=-2,b=0 C、a=-1,b=0 D、a=-2,b=-1 解： 2 lim,24, 024)(lim 2 2 2 2 x baxx abb

3、abaxx xx 34)2(lim 2 )2()4( lim 2 24 lim 2 2 2 2 2 aax x aaxx x aaxx xxx A=-1,b=-2 6、设，常数 c= 。2)(lim x x cx x 解：2ln, 2)1 (lim)1 (lim)(lim ce cx c cx c cx x c cc c cx x x x x x 2 7、计算 x x x x ) 1 1 (lim 解： 2 12 2 1 ) 1 2 1 (lim) 1 2 1 (lim) 1 1 (lime xxx x x x x x x x 8、设当 x0 时，函数 f(x)=x-sinx 与 g(x)=a

4、n是等价无穷小，则常数 a,n 的 值为（ ） A.4, 6 1 .4, 12 1 .3, 3 1 .3, 6 1 naDnaCnaBna 解：3, 6 1 , 12, 21, 2 lim cos1 lim sin lim 1 2 0 1 00 nanan nax x nax x ax xx n x n x n x 9、设，则 x=2 是 f(x)的（ ） 4 23 )( 2 2 x xx xf A、跳跃型间断点 B、可去间断点 C、无穷型间断点 D、振荡型间断 点 解： 4 1 2 1 lim 4 23 lim 2 2 2 2 x x x xx xx 10、 若且 f(x)在 x=x0处有定

5、义，则当 A= f(xf(x0 0) ) 时 f(x)在 x0处,)(lim 0 Axf x 连续。 解：要使 f(x)在 x0处连续，必有，而 f(x)在 x=x0处有定义，)()(lim 0 0 xfxf xx 即 f(x0)存在，故只要 A= f(x0)时，f(x)在 x0处就连续。 11、 设函数 f(x)=在点 x=0 处连续，求常数 k. 02 0)1 ( 1 x xkx x 解：2)0()1 (lim)1 (lim)(lim 1 0 1 00 fekxkxxf k k kx x x xx 所以，k=ln2 12、 函数的第一类间断点是 x=1x=1 ) 1( 1 )( 2 xx

6、x xf 解：x=0,x=1 是 f(x)的间断点， ) 1( 1 lim)(lim 2 00 xx x xf xx 2 ) 1( 1 lim)(lim 2 01 xx x xf xx 3 13、 函数 f(x)=在 x=0 处连续，则 a = 3 3 . 0 3tan 0 x x x xxa 解： 3,)0(, 3 3tan lim)(lim,)(lim)(lim 0000 aaf x x xfaxaxf xxxx 14、设 f(x)在0,2a上连续，且 f(0)=f(2a)f(a),证明在0,a上至少存在一 点 ,使 f()=f(+a). 证：令 (x）=f(x)-f(x+a),则 (x）

7、在0,a上连续，且 (0）=f(0)-f(a), (a）=f(a)-f(2a)= f(a)-f(0) (1)若 f(0)-f(a)=0,则可取 =0 或 =a; (2)f(0)-f(a)0,则显然 (0）与 (a）异号，由零值定理可知， 至少存在一点 （0，a）,使 (）=0,即 f()=f(+a) 15、 设 y=f(x)由参数方程 x=ln(1+t2) , y = t-arctant 确定，求 2 2 , dx yd dx dy 解：dt t dyd t dt dx dt dy dx dy t t dt dx t t tdt dy 2 1 ) 2 (, 2 , 1 2 , 11 1 1 2

8、2 2 2 t t dt t t dt dx yd dx yd 4 1 1 2 2 1 2 2 2 2 16、 设函数 y=y(x)由方程确定，求xyee yx 0 2 2 0,xx dx yd dx dy 解：两端对 x 求导得： yxyyee yx 所以，又当 x=0 时 y=0 xe ye y dx dy y x 故1 0 x dx dy ，用 x=0,y=0 及 y/(0)=1 代得： 22 2 )( ) 1)()( xe yeyexeye dx yd y yxyx 4 2 0 2 2 x dx yd 17、 函数 f(x)是可导函数，下列各式中正确的是（ A ） A、 B、)0( )

9、()0( lim 0 f x xff x )( )()2( lim 0 00 0 xf x xfxxf x C、)( )()( lim 0 00 0 xf x xxfxxf x D、 在0,x区间上)(2 )()( lim 0 00 0 xf x xxfxxf x 18、 函数 y=y(x)由方程 x=t-sint,y=1-cost 所确定，求 2 2 , dx yd dx dy 解： 2 cot 2 sin2 2 cos 2 sin2 cos1 sin ,cos1,sin 2 t t tt t t dt dx dt dy dx dy t dt dx t dt dy dt tt dyd 2 c

10、sc 2 1 ) 2 (cot 2 2 sin4 1 2 sin2 1 2 sin 1 2 1 )cos1 ( 2 csc 2 1 422 2 2 2 ttt dtt dt t dx yd dx yd 19、设函数在 x=0 处可导，则常数 的取值范围是（ 0 1 sin 00 )( x x x x xf ） A、01 B、01 D、1 解：，当 1-1 1 00 1 sin lim 0 0 1 sin lim)0( x x x x x f xx 20、设函数 y=y(x)由参数方程确定，求 32 )1ln( 2 tty tx 2 2 , dx yd dx dy 解： 2 2 2 2 )1 (

11、4 1 1 )1 (4)( ,)1 (2, 1 1 , 22t t t x y dx yd t x y dx dy t xty t x t t tt 5 21、设其中 (x)在 x=0 处具有二阶连续导数，且 (0)=0， 01 0 )( )( x x x x xf /(0)=1，证明：函数 f(x)在 x=0 处连续且可导。 证：连续性：1)0(, 1)0( 0 )0()( lim )( lim)(lim 000 f x x x x xf xxx 在 x=0 处连续。)(),0()(lim 0 xffxf x 可导性： x x x xx x x x x fxf f xxxx 2 1)( li

12、m )( lim 0 1 )( lim 0 )0()( lim)0( 0 2 000 ，由于 (x)在 x=0 处具有二阶连续导数， 2 )0( 2 )( lim 0 x x 故 存在，所以 f(x)在 x=0 处可导。 2 )0( 22、已知函数，证明 f(x)在 x=0 处连续但不可导。 01 0 )( xx xe xf x 证：（1）因1)0(, 1) 1(lim)(lim, 1lim)(lim 0000 fxxfexf xx x xx 所以函数 f(x)在 x=0 处连续。 （2）因1 1 lim 0 )0()( lim)0( 00 x e x fxf f x xx )0()0(, 1

13、 11 lim 0 )0()( lim)0( 00 ff x x x fxf f xx 由于 所以函数 f(x)在 x=0 处不可导。 23、设函数 y=y(x)由方程所确定，求xey yx 2 2 2 , dx yd dx dy 解：等式两端同时求导得： yx yx e e dx dy yey yx yx yx 21 22 1 2 , 2)1 (即 上式两端再求导得： 22 2 )21 ( )2)(22()21)(2( yx yyxyxy dx yd 22 )21 ( 189 )21 ( )2(3 yx xy yx y 24、下列函数在-1，1上满足罗尔定理条件的是（ C） A、 B、y=1

14、+x C、y=1-x2 D、 x ey x y 1 1 6 解：y=1-x2在-1，1连续，在（-1，1）内可导，且 f(-1)=f(1)=0。 25、求) 1 tan 1 (lim 2 0 xxx x 解： 2 2 0 3 0 2 0 2 0 3 sec1 lim tan lim tan tan lim) 1 tan 1 (lim x x x xx xx xx xxx xxxx 3 1 3 tan lim 2 2 0 x x x 26、求 ) 0 0 ( 1 1 lim 3 1 x x x 解：原式 3 2 2 1 3 1 lim 2 1 3 2 1 x x x 27、 求 ) 0 0 (

15、tan 1 lim 0 xx xex x 解：原式 2 1 2 lim 2 1 lim 1 lim 00 2 0 x x x x x x e x e x xe 28、 求曲线的切线，使切线在两坐标轴上的截距之和最小，并求)0( 1 x x y 出最小值。 解：设切点为（x0,y0）,则,切线方程为： 2 0 1 0 x y xx 0 0 1 x y ，所以)( 11 0 2 0 0 xx xx y 0 0 0 0 2 2 ,2, 2 x x sxd x d xy ，令 s /=0,解得 x0=1,s/0,故 s 为极小值即最小值 3 0 2 0 4 , 2 2 x s x s 等于 4。 29

16、、 证明：当 常量利用最值证明常量利用最值证明 23,2 3 xxx时 证：设则 f(x)在时连续，x0 时， 22 ) 1(ln) 1(xxx 证：（法一）令,显然 F(x)在（0，+）上连续 1 1 ln)( x x xxF 由于，故 F(x)在（0，+）上单调增加，于是：0 ) 1( 1 )( 2 2 xx x xF 当 0 x1 时，F(x)0, 即01, 1 1 ln 2 x x x x又 故；综上所述，当 x0，总有 22 ) 1(ln) 1(xxx 22 ) 1(ln) 1(xxx （法二）（法二）2 1 ln2)() 1(ln) 1()( 22 x xxxxFxxxxF令 3

17、2 2 ) 1(2 )(1 1 ln2)( x x xF x xxF 当 0 x1 时，F/（x）1 时，F/（x）0,从而 F/（x）在（0，1上单调递增；所以当 x0 时，F/（x）F/（0）=20,于是 F/（x）在（0，+）上单 调递增； 当 0 x1 时，F/（x） F/（1）=0，从而 F(x)在（0，1上单调递 减,故当 0 x F（1）=0； 当 x1 时，F（x） F（1）=0, 从而 F(x)在1，+）上单调递增, 故当 0 x F（1）=0；故当 x1 时，F（x） F（1）=0，综上所述，当 x0 时，总有 F（x） F（1）=0，即 。 22 ) 1(ln) 1(xx

18、x 8 31、 对于一切 x,证明： 1)1 ( x ex 解：设 xxxx xeeexxfexxf)1 ()(, 1)1 ()( 令 f /(x)=0,解得 x=0, f(0)=0, 0)()( 00 x xx x xeexf 故 x=0 为最大值点，所以 f(x)f(0)=0,即1)1 ( x ex 32、 设函数 f(x)=x(x-1)(x-2)(x-3),则方程 f /(x)=0 的实根个数为（ C C ） A、1 B、2 C、3 D、4 解：f(x)在（-，+）上连续，可导，且 f(0)=f(1)=f(2)=f(3)=0,在区间 0，1，1，2，2，3上分别用罗尔定理，可知，至少存在

19、 1（0，1） ， 2（1，2） ，3（2，3） ，使 f/(1)=0, f/(2)=0, f/(3)=0,这说明 1、2、3是方程 f/(x)=0 的根，即方程 f /(x)=0 至少有三个实根，又 f /(x)=0 为三次方程，最多只有三个实根，故方程 f /(x)=0 有且仅有三个实 根。 33、证明：当 x1 时， 2 1 2 1 21 xe x 证：设f(1)=0, 0) 1 (,)(), 1 , 2 1 2 1 )( 121 fxexfxxexf xx ，在（1，+）内，f/(x)0,说明 f/(x)为单调增函数，所1)( 1 x exf 以 f/(x) f/(1)=0,又说明了

20、f(x)在（1，+）内为单调增函数，故有 f(x) f(1)=0，即，也就是0 2 1 2 1 21 xe x 2 1 2 1 21 xe x 34、证明：当 1xx2+2x-3 证：令 f(x)= 4xlnx-x2-2x+3,则 f(x)在1，2）上连续,且 f(1)=0 f/(x)=4lnx+4-2x-2=4lnx+2-2x，f/(1)=0，f/(x)= x x x 24 2 4 由于当 1x0，故函数 f/(x)在1，2）上单调增加，从而当 1x f/(1)=0，于是函数 f(x)在1，2）上单调增加，从而当 1x f (1)=0，即当 1xx2+2x-3。 35、设 f(x)=x3-3

21、x,则在区间（0，1）内（ ） A、f(x)单调增加且图形是凹的 B、f(x)单调增加且图形是凸的 C、f(x)单调减少且图形是凹的 D、f(x)单调减少且图形是凸的 解：f/(x)=3x2-3，在（0，1）内 f/(x)0, f(x)图形是凹的。 36、已知 f(x)=x3-3x+1，试求 9 （1）函数 f(x)的单调区间与极值； （2）曲线 y=f(x)的凹凸区间及拐点； （3）函数 f(x)在闭区间-2，3上的最大值与最小值。 解：f(x)的定义域为（-C，+） f/(x)=3x2-3，令 f/(x)=0，解得 x=1，f/(x)=6x，令 f/(x)=0，解得 x=0 x(-,-1)

22、-1(-1,0)0(0,1)1(1,+) f/(x)+0-0+ f/(x ) -0+ f(x) 3 -1 函数 f(x)的单调增区间为：(-,-1)和(1,+ )，单调增区间为：（- 1，1） 极大值 f(-1)=3, 极小值 f(1)=-1 凹区间：（0，+） ；凸区间：（- ，0） ；拐点：（0，1） 因 f(-2)=-1,f(-1)=3,f(1)=-1,f(3)=19 所以最大值：f(3)=19；最小值为：f(-2)=f(1)=-1 37、曲线的渐近线共有（ ） 65 43 2 2 xx xx y A、1 条 B、2 条 C、3 条 D、4 条 解：间断点：x=2,x=3 ,y=1 为水

23、平渐近线1 65 43 lim 2 2 xx xx x )3)(2( 43 lim 65 43 lim, )3)(2( 43 lim 65 43 lim 2 3 2 2 3 2 2 2 2 2 xx xx xx xx xx xx xx xx xxxx x=2,x=3 为两条垂直渐近线。 38、 已知等于 （C） dxxfcedxxf x )(,)( 2 则 ceDceCceBceA xxxx 2222 2 1 .2. 2 1 .2. 解： )()()()(xfxdxfdxxf ,)()( 2 cedxxf x ,2)(,2)( 22xx exfexf cexfdxxf x 2 2)()( 39

24、、计算 dx x x ln1 解：原式cxxdx 2 3 )ln1 ( 3 2 )ln1 (ln1 10 40、 设函数 f(x)的一个原函数为 sin2x,则= （A） dxxf)2( cxDcxCcxBcxA4sin.4cos2.4cos 2 1 .4cos. 解：xxfxxxf4cos2)2(,2cos2)2(sin)( cxcxfxdxfdxxf 4cos)2( 2 1 2)2( 2 1 )2( 41、 求 dxex x 2 解：原式dxexeexdxxeexdex xxxxxx 222 222 cexeex xxx 22 2 42、 函数 f(x)的导数为 cosx，且,则不定积分

25、2 1 )0(f = dxxf)(cxx 2 1 cos 解： 2 1 2 1 )0(,sincos)(,cos)( cfcxxdxxfxxf代入得用 所以 dxxdxxf) 2 1 (sin)(cxx 2 1 cos 43、 求不定积分 dx x x 1 3 解：原式cxxxxdx x xx 1ln 2 1 3 1 ) 1 1 1( 232 44、求不定积分dxxx arctan 解： dx x xarvxdx x x xarvxdxxx) 1 1 1 ( 2 1 tan 2 1 12 1 tan 2 1 arctan 2 2 2 2 2 cxxxarvxarctan 2 1 2 1 tan

26、 2 1 2 45、求不定积分dxx 12sin 解：令, 2 1 ,12 2 tdtdx t xtx 则 cxxxcttttdttttdtt 12sin12cos12sincoscoscossin原式 46、 设 f(x)在0，1上有连续的导数，且 f(1)=2,则3)( 1 0 dxxf 11 （ ） 1 0 )(dxxf x 解：原式132)()()( 1 0 1 0 1 0 dxxfxxfxxdf 47、 计算 dxxx 2 0 2 cos 解：原式cos)cos(2 4 sin2sin 2 0 2 0 2 2 0 2 0 2 dxxxxdxxxxx 2 4 sin2 4 2 2 0

27、2 x 48、 设，则 f /(x)= ( D D ) dttxf x 2 0 2 sin)( 4224 sin2.cos2.sin2.sin.xxDxxCxxBxA 49、 定积分的值为（ ）dxxxx)cos1(4 3 2 2 2 解：原式tdttxxdxxxdxx 2 0 23 2 2 2 2 2 2 cos42sin2cos44 设 2)2sin 2 1 (4)2cos1 (4 2 0 2 0 ttdtt 50、 计算 1 2 2 2 2 1 dx x x 解：令 x=sint,dx=costdt, 4 , 2 2 , 2 ,1 txtx时时 原式= 4 1)cot() 1(csc s

28、in cos 2 4 2 4 2 2 4 2 2 ttdttdt t t 51、计算 4 0 12 3 dx x x 解：设34, 10,2, 2 1 ,12 2 2 txtxtdtdx t xtx时时 3 56 )5 3 1 ()5(2 3 2 1 12 3 3 1 32 3 1 3 1 2 4 0 ttdtttdt t t dx x x 52、 设函数，则 f /(x)= ( ( D D ) ) tdtt x sin 0 2 2 12 xxDxxCxxBxxA2sin8.2sin4.2sin8.2sin4. 2222 53、 = （） dx x x 1 1 2 1 sin2 解：原式 2

29、2arctan2 1 2 ) 1 sin 1 2 ( 1 1 1 1 2 1 1 22 xdx x dx x x x 54、 求定积分 dxe x 1 0 解：原式2 2 22 1 0 1 0 1 0 1 0 tttt eedtetedttetx令 55、设函数，则函数 (x)的导数 /(x)=（ B B ） 。 2 2 cos)( x t tdtex 222 cos.cos2.cos2.cos2. 222 xeDxxeCxxeBxxeA xxxx 解： 2 2 cos2)cos()( 2 2 xxetdtex x x t 56、定积分的值为 。dx x x 1 1 2 3 1 1 2 解：

30、2 arctan2 1 1 2 1 1 11 1 1 0 1 0 2 1 1 2 1 1 2 3 1 1 2 3 xdx x dx x dx x x dx x x 57、求定积分dx x x 1 02 2 2 解：令tdtdxtxcos2,sin2则 原式= 2 1 4 )2sin 2 1 ()2cos1 (sin2 4 0 4 0 4 0 2 ttdtttdt 58、 已知一平面图形由抛物线 y=x2及 y=-x2+8 围成， （1）求此平面图形的面积 （2）求此平面图形绕 y 轴旋转一周所得旋转体体积。 解：由 y=x2及 y=-x2+8 解得 x=-2,x=2,y=4,所以 （1） 平面

31、图形的面积 3 64 ) 3 2 8(2)8(2 2 0 3 2 0 22 xxdxxxS （2） 旋转体体积dyydyydyxdyxVy 8 4 4 0 8 4 2 4 0 2 )8( 16 2 )8( ) 2 ( 8 4 2 4 0 2 yy 59、 设平面图形由曲线 y=1-x2(x0)及两坐标轴围成，求 （1） 该平面图形绕 x 轴旋转所形成的旋转体体积 （2） 求常数 a 的值，使直线 y=a 将该平面图形分成面积相等的两部 13 分。 解：令 y=0，解得 x=-1,x=1 (1)旋转体体积dxxxdxxVx 1 0 422 1 0 2 )21 ()1 ( 15 8 ) 5 1 3

32、 2 ( 1 0 53 xxx (2)由题意得：，即dyydyy a a 1 2 1 0 2 1 )1 ()1 ( 2 3 2 3 1 2 3 0 2 3 )1 (1)1 (,)1 ( 3 2 )1 ( 3 2 aayy a a 解得 3 1 ) 4 1 (1a 60、平面图形由曲线 y=x2，y=2x2 和 x=1 所围成，求 （1） 该平面图形绕 x 轴旋转一周所得旋转体体积 （2） 求常数 a 的值，使直线 x=a 将该平面图形分成面积相等的两部 分。 解：（1）旋转体体积 5 3 3)4( 1 0 54 1 0 4 xdxxxVx （2）由题意得： 13 0 3 1 22 0 22 3

33、 1 3 1 )2()2( a a a a xxdxxxdxxx 即 所以，a3=1-a3,解得 2 4 3 a 61、设由抛物线 y=x2(x0),直线 y=a2(0a1)与 y 轴所围成的平面图形绕 x 轴 旋转一周所形成旋转体的体积为 V1（a） ；由抛物线 y=x2(x0),直线 y=a2(0a1)与直线 x=1 所围成的平面图形绕 x 轴旋转一周所形成旋转体的 体积为 V2（a） ，另 V（a）=V1（a）+V2（a） ，试求常数 a 的值，使 V（a）取 得最小值。 解： 5 0 54 0 44 1 5 4 ) 5 1 ()()(axxadxxaaV a a 54145 1 44

34、2 5 4 5 ) 5 1 ()()(aaxaxdxxaaV a a )(0, 2 1 , 0)(,48)(, 55 8 )( 3445 舍去解得令aaaVaaaVaaaV ，所以为极小点值且惟一，故也0)1232() 2 1 ( 2 1 23 a aaV 2 1 a 为最小值点，所以当时 V（a）取得最小值。 2 1 a 14 62、设 D1是由抛物线 y=2x2及直线 x=a，y=0 所围成的平面区域，D2是由抛物线 y=2x2及直线 x=a，x=2，y=0 所围成的平面区域，其中 0a0)及 y 轴所围平面图形的面积为 A（t）,试求)(limtA t 解：由一阶线性非齐次微分方程 f/

35、(x)+f(x)=2ex知 P(x)=1,Q(x)= 2ex,故通解 为： 12)0(),()2()2( 2 cfceecdxeeecdxeeey xxxxx dx x dx 代入得用 所以， xx eexf )( xx xx ee ee xf xf y )( )( du uu eudx e dx ee e dx ee ee tA t e x t x t xx x xx xx t 2 1 2 0 2 00 2 1 1 2 ) 1 2 ) 2 )1 ()( 2ln 1 ln 1 ln) 1 11 ( 2 2 1 1 2 2 t t e e e e u u du uu t t 01ln) 2 2

36、limln( 1 lnlim 2 2 2 2 t t t t t t e e e e 2ln)(lim tA t 68、求微分分方程 y/-y/=x 的通解。 解：特征方程为：r2-r=0，特征根为 r1=0,r2=1,对应的齐次方程的通解为： Y=C1+C2ex,因 =0 为特征单根， 故设 y*=x(ax+b)=ax2+bx,代入原方程，解得,2)( ,2)( * aybaxy xxyba 2* 2 1 , 1, 2 1 通解为：xxeccy x 2 21 2 1 69、 设a a=1，a ab b，则 a a（a a+b b）= （1 1） 解：因 a ab b，所以 a ab b =0

37、，a a（a a+b b）= a aa a+a ab b=a a2=1 70、 已知 a a，b b 均为单位向量，且 a ab b=，则以向量 a a，b b 为邻边的平行四 2 1 边形的面积为 （） 2 3 解：因 a a，b b 均为单位向量，所以a a=b b=1 a ab b=a ab bcos(a a,b b)=，cos(a a,b b)=, a a,b b= 2 1 2 1 3 平行四边形的面积= =a ab b=a ab bsin(a a,b b) = 2 3 3 sin 16 71、 设 a a=1，2，3，b b=3，2，4，则 a ab b= （C C） A、2，5，4

38、 B、2，-5，-4 A、2，5，-4 A、-2，-5，4 解：a ab b4, 5 , 2 423 321 kji 72、已知向量 a a=（1，0，-1） ，b b=（1，-2，1） ，则向量 a a+b b 和 a a 的夹角为 。 解：a a+b b=（2，-2，0） ，。 3 , 2 1 28 002 ),cos( 夹角 aba aba aba 73、设 a a=（1，2，3） ，b b=（2，5，k） ，若 a a 与 b b 垂直，则常数 k= 。 解：因 a a 与 b b 垂直，故 a ab=b=0，即 12+25+3k=0,解得 k=-4. 74、 求过点 M（3，1，-2

39、）且与两平面 x-y+z-7=0,4x-3y+z-6=0 都平行的直线 方程。 解：设所求直线的方向向量为 s s，则 s s 垂直两平面的法向量，故有 s s=，所以，所求直线方程为： 1 , 3 , 1 134 111 kji 1 2 3 1 2 3 zyx 75、 求过点（1，2，3）且垂直于直线 的平面方程。 解：设所求平面的法向量为 n n，则 n n 垂直于两平面的法向量，故有 n n=，所以，所求平面方程为：3, 1 , 2 112 111 kji 2(x-1)+(y-2)-3(z-3)=0,即 2x+y-3z+5=0 76、 已知平面 过三点 A（2，0，0） ，B（0，3，0

40、） ，C（0，0，5） ，求过点 （1，2，1）且垂直于平面 的直线方程。 解：平面 的法向量即为所求直线的方向向量 法一：法一：设平面方程为 Ax+By+Cz+D=0,代入 A，B，C 点的坐标得： ，所以平面方程为：15x+10y+6z-30=0,则 5 , 3 , 2 D C D B D A s s=n n=15，10，6，所以，所求直线方程为： 6 1 10 2 15 1 zyx 法二：法二：因 ABAB=-2,3,0，BCBC=0,-3,5， 则 s s=ABABBCBC，所以，所求直线方程为： 6 , 10,15 530 032 kji x+y+z+2=0 2x-y+z+1=0 1

41、7 6 1 10 2 15 1 zyx 77、求通过直线且垂直于平面 x+y+z+2=0 的平面方程。 1 2 2 1 3 zyx 解：所求平面的法向量既垂直直线的方向向量也垂直平面的法向量，有 n n=，由知点（0，1，2）在平面上，所) 1 , 2, 1 ( 111 123 kji 1 2 2 1 3 zyx 以，所求平面为：x-2(y-1)+z-2=0,即 x-2y+z=0 78、求通过点（1，1，1）且与直线垂直，又与平面 2x-z-5=0 平行 tz ty tx 35 23 2 的直线方程。 解：直线的方向向量：（1，2，3） ，平面的法向：（2，0，-1） ，所以 n n=，所求直

42、线方程为：)4, 7 , 1( 102 321 kji 4 1 7 1 1 1 zyx 79、已知函数 z=xf(x2,xy),其中 f(u,v)的二阶偏导数存在，求 xy z y z 2 , 解：yfxxfxf x xy z ffxxf x y z 22 2 21 2 2 2 12 2 2 22),0( )2(222 2221 2 222 2 21 2 2 f yf xxf xyfxxfxf x 80、 设,则全微分 dz= y x z 解： 2 , 1 y x y z yx z dy y x dx y dy y z dx x z dz 2 1 81、设 z=f(2x+3y,xy),其中 f

43、 具有二阶连续偏导数，求 yx z 2 解： 21 2f yf x z 2221211222121211 2 )32(6)3()3(2ffxyfyxfxffyfxff yx z 18 82、设函数，则函数在点（2，2）处的全微分 dz 为（ A A ） x y zln dydxDdydxCdydxBdydxA 2 1 2 1 . 2 1 2 1 . 2 1 2 1 . 2 1 2 1 . 解： 2 11 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x y x y x y x y xy x y z x y y x x z dydxdy y z dx x z dz 2 1 2 1 83、 设函数，

44、其中 f(x,y)具有二阶连续偏导数，),( x y yxfz 求 yx z 2 解： 2 2 1 2 21 )(f x y f x y ff x z 22 3 2 2 12 2 112221 2 2 2 1211 2 1 ) 1 () 1 ( 11 f x y f x f x y x f x ff x y f xx ff yx z 84、设函数 z=z(x,y)由方程 xz2+yz=1 确定，则= 。 x z 解：设 F(x,y,z)= xz2+yz-1， yxz z z F x F x z yxz z F z x F 2 ,2, 2 2 85、已知函数，其中 f 具有二阶连续偏导数，求。)

45、,(sinxyxfz yx z 2 解：yfxf x z 21 cos 22212222121211 2 cos0cos0cosfxyff xxxfyfyfxfxfx yx z 86、设函数，则= 。yxz4ln 2 1 0 x y dz 解：1, 4 42 2 4 1 0 1 2 22 y x x z yx x yx x yx x z 2, 4 2 42 4 4 1 0 1 2 22 y x y z yx yxyx y z dydxdy y z dx x z dz y x y x y x 2 0 1 0 1 0 1 19 87、已知函数，其中 f 具有二阶连续偏导数，求。),( 2x exy

46、fyz yx z 2 解： 2 2 1 3 2 2 1 2 fyefyefyyfy x z xx )0(2)0(3 2221 2 21211 3 1 2 2 fxfyefyefxfyfy yx z xx 21 2 211 3 1 2 23fyxefyefxyfy xx 88、 设区域 D 是由 y=x2与 y=x 所围的区域，则= C C D xdxdy 2 1 . 12 1 . 6 1 . 4 1 .DCBA 解：由 y=x2与 y=x 解得交点坐标为（0，0）及（1，1） 所以 12 1 ) 4 1 3 1 ()( 1 0 43 1 0 32 1 0 1 0 2 2 xxdxxxdxxyd

47、yxdxxdxdy x x x x D 89、计算y=x 及 x=2 所围成的平面区域。,2, 22 xxyDydxdyxI D 是由其中 解：及 y=x 解得交点坐标为（0，0）及（1，1） 2 2xxy由 所以 2 12 2 1 3422 2 20 49 )( x xx D dxxxydydxxydxdyxI 90、 设对一切实数 x 有 f(-x,y)=f(x,y),( (关于关于 x x 的偶函数的偶函数) )D=(x,y) x2+y21,y0, D1=(x,y)x2+y21,x0,y0,则 等于（ C C ） D dxdyyxf),( 111 ),(4.),(2.),(.0. DDD

48、 dxdyyxfDdxdyyxfCdxdyyxfBA 解：区域关于 y 轴对称，f(x,y)为 x 的偶函数，故为 2 倍。 91、 计算= ，其中 D 为以点 O（0，0） ，A（1，0） ，B（0，2）为 D dxdy 顶点的三角形区域。 解：直线 AB 的方程为：，即 y=-2x+2 20 01 0 1 y x 被积分函数为 1 时，值与底面积相等，SOAB=112 2 1 故=1。或 D dxdy1)2()22( 1 0 1 0 2 1 0 22 0 xxdxxdydxdxdy x D t D tdxdyxf t 0)( 1 a t=0 20 92、 设 g(t)= 其 中 Dt是由

49、x=t,y=t 以及 坐标轴所围的正方形区域，函数 f(x)连续 （1） 求 a 的值，使得 g(t)连续；（2）求 g /(t) 解：因 t D tt dxxftdyxfdxdxdyxf t 000 )()()( 故 g(t)= （1） 因=0，故 a=0 00 lim)(lim tt tg t dxxf 0 )( （2） t=0 时， )0()(lim )( lim )( lim 0 )0()( lim)( 0 0 000 ftf t dxxf t tg t gtg tg t t ttt t0 时,， t tfdxxftg 0 )()()( 故 g /(t)= 93、 设 ba0 证明：

50、b a axx b a b y yx dxxfeedxexfdy)()()( 232 解：由所给积分限，可知积分区域 D 为：yxb,bya dxexfdyexfdxdxexfdy b a x a yx b a x a yx b a b y yx 222 )()()( 证毕。 b a axx dxxfee)()( 23 94、计算二重积分，其中 D 是由,y=x,x=2 及 y=0 所围成的平面dxdyx D 2 x y 1 区域。 解：由,y=x 解得 x=1,y=1,所以 x y 1 4 7 2 1 4 1 2 1 21 0 4 2 1 2 1 1 0 1 0 32 1 00 22 xxx

51、dxdxxdyxdxdyxdxdxdyx x x D 95、计算二重积分，其中 D=（x,y）。dxdyyx D 22 0,2 22 yxyx t tdxxf 0 0)( a t=0 f(t) t0 f(0) t=0 21 解：D 在极坐标系化为：0，0r2cos,故 2 9 16 1 3 2 3 8 cos 3 8 2 0 3 2 0 cos2 0 222 ddrrddxdyyx D 96、二次积分交换积分次序后得（D ） 1 0 1 1 ),( y dxyxfdy 2 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 0 1 0 1 1 ),(.),(.),(.),(. x xxx dyyxfdxDdyyxfdxCdyyxfdxBdyyxfdxA 97、计算二重积分，其中 D 是由曲线，直线 y=x 及轴所成 D xdxdy 2 1yx 的闭区域。 解： 6 1 ) 3 2 ( 2 1 )21 ( 2 1 2 1 1 0 3 1 0 21 1 0 2 1 0 12 2 yydyydyxxdxdyxdxdy y y y y D 98、计算二重积分，其中 D 是由曲线 0 x2, xy2,， D ydxdy2 22 yx 所成的闭区域