多元函数微分学

1、.第十章 多元函数微分学一、 学习要点1.关于二元函数会求二元函数的定义域和相应的函数值。求二元函数定义域及函数值的方法与一元函数的方法相似。2.关于二元函数微分(1)熟练掌握一阶、二阶偏导数的计算方法和复合函数、隐函数一阶偏导数的计算方法，尤其是形如z=f (x2y2 ，exy)等的复合函数的偏导数。能熟练地求全微分。偏导数的定义、计算公式基本与一元函数导数公式相同。求偏导数时，对一个变量求导时，将另一变量视为常数。如求函数的偏导数(y，z为常数)，(x，z为常数)复合函数求偏导数是难点。一般用链式法则，即z=f (u，v)，u=u(x，y)，v=v(x，y)，有具体情况有两种：（一）全部函

2、数关系都给出：这时可按前边方法求偏导数，如求二元函数 ，.的偏导数，可以把u，v代入z中，再求偏导数，即 z=ln(x2+y2+e2xy)，求偏导数有 （二）部分函数关系没有给出：此时只有用链式法则。如求函数z=f(xy，x2+y3)，的一阶偏导数，则不能用如上方法求解.正确求法是记u=xy，v=x2+y3，用链式法则，上例也可以用链式法则，有求隐函数的偏导数，是复合函数求偏导数的应用，方法仍然同一元隐函数的求导.如求函数的偏导数.(y，z为常数)，(x，z为常数)(2)知道函数连续、可微、偏导数存在的关系。3.关于偏导数的几何应用掌握求曲线的切线与法平面，曲面的切平面与法线的方法.(1)设空

3、间曲线方程为x=x(t)，y=y(t)，z= z(t)，在t=t0处的切线方向为 ，则在t0处曲线的切线方程为 法平面方程为 =0(2)曲面F (x，y，z)=0(或z=f (x，y)，在曲面上的点P(x0，y0，z0)处的法方向为，则在点(x0，y0，z0)处的切平面方程为法线方程为 注意：点(x0，y0，z0)一定在曲线或曲面上，必须是方向向量在该点处的值。4.关于极值了解二元函数极值的概念，知道极值存在的必要条件，掌握用拉格朗日乘数法求较简单条件极值应用问题的方法。 可微函数z=f (x，y)在极值点(x0，y0)处满足(极值存在的必要条件).用拉格朗日乘数法求条件极值是重点。求函数z=

4、f (x，y)在条件g(x，y)=0下的条件极值的具体步骤是：（1）引入拉格朗日函数F (x，y，l)=f (x，y)+lg(x，y)（2）求联立方程组：的解；（3）若上述方程组的解唯一，则其就是所求函数的最值点。若该方程组的解不唯一，可通过代入验证，以确定极大（最大）或极小（最小）值。二、练习题1.函数+的定义域是_2. 设函数z=，则在点(2，1)处的偏导数3.设函数z=e2x+3y ， 。4.如果函数z=f(x，y)的全微分，那么5.点(1，0)是函数f (x，y)=x2 2x +y2+9的极_点.6. .函数f (x，y)在点(x0，y0)满足条件( )，(x0，y0)称为f (x，y

5、)的极值点. A. B.f (x，y)在点(x0，y0)处没有偏导数 C.在点(x0，y0)的某邻域内，有f (x，y)f (x0，y0) D.对定义域内的所有点(x，y)，有f (x，y)f (x0，y0)7.以下结论正确的是( ) A.函数f (x，y)在点(x0，y0)可微，则f (x，y)的偏导数连续 B.函数f (x，y)在点(x0，y0)的一阶偏导数连续，则f (x，y)在点(x0，y0)可微 C.函数f (x，y)连续，则f (x，y)可微 D.函数f (x，y)在点(x0，y0)处的一阶偏导数存在，则f (x，y)在点(x0，y0)可微8.设函数f (x，y)=x2y，则f (xy，x+y)=( ) A.x2xy B. x2y2xy C. x+yx 2y2 D.(x+y)2xy9.曲面在点(0，0，0)处的切平面方程是( ).A. x+y+z=0 B.x=0 C. y=0 D.z=010.设二元函数， 求 11.设隐函数由方程确定，求。12.求由方程确定的隐函数的全微分. 13.设，验证z满足方程 14.在曲面上求一点M，使曲面在M点处的切平面与平面平行. 15.求曲线，的平行于平面的切线方程.16.求抛物线到直线的最短距离.17.求内接于椭球面内的体积最大的长方体的边长. 三、练习题答案1x2+y21且yx； 2. ；3.6 e2x+3y；