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1、.第十章 多元函数微分学一、 学习要点1.关于二元函数会求二元函数的定义域和相应的函数值。求二元函数定义域及函数值的方法与一元函数的方法相似。2.关于二元函数微分(1)熟练掌握一阶、二阶偏导数的计算方法和复合函数、隐函数一阶偏导数的计算方法,尤其是形如z=f (x2y2 ,exy)等的复合函数的偏导数。能熟练地求全微分。偏导数的定义、计算公式基本与一元函数导数公式相同。求偏导数时,对一个变量求导时,将另一变量视为常数。如求函数的偏导数(y,z为常数),(x,z为常数)复合函数求偏导数是难点。一般用链式法则,即z=f (u,v),u=u(x,y),v=v(x,y),有具体情况有两种:(一)全部函
2、数关系都给出:这时可按前边方法求偏导数,如求二元函数 ,.的偏导数,可以把u,v代入z中,再求偏导数,即 z=ln(x2+y2+e2xy),求偏导数有 (二)部分函数关系没有给出:此时只有用链式法则。如求函数z=f(xy,x2+y3),的一阶偏导数,则不能用如上方法求解.正确求法是记u=xy,v=x2+y3,用链式法则,上例也可以用链式法则,有求隐函数的偏导数,是复合函数求偏导数的应用,方法仍然同一元隐函数的求导.如求函数的偏导数.(y,z为常数),(x,z为常数)(2)知道函数连续、可微、偏导数存在的关系。3.关于偏导数的几何应用掌握求曲线的切线与法平面,曲面的切平面与法线的方法.(1)设空
3、间曲线方程为x=x(t),y=y(t),z= z(t),在t=t0处的切线方向为 ,则在t0处曲线的切线方程为 法平面方程为 =0(2)曲面F (x,y,z)=0(或z=f (x,y),在曲面上的点P(x0,y0,z0)处的法方向为,则在点(x0,y0,z0)处的切平面方程为法线方程为 注意:点(x0,y0,z0)一定在曲线或曲面上,必须是方向向量在该点处的值。4.关于极值了解二元函数极值的概念,知道极值存在的必要条件,掌握用拉格朗日乘数法求较简单条件极值应用问题的方法。 可微函数z=f (x,y)在极值点(x0,y0)处满足(极值存在的必要条件).用拉格朗日乘数法求条件极值是重点。求函数z=
4、f (x,y)在条件g(x,y)=0下的条件极值的具体步骤是:(1)引入拉格朗日函数F (x,y,l)=f (x,y)+lg(x,y)(2)求联立方程组:的解;(3)若上述方程组的解唯一,则其就是所求函数的最值点。若该方程组的解不唯一,可通过代入验证,以确定极大(最大)或极小(最小)值。二、练习题1.函数+的定义域是_2. 设函数z=,则在点(2,1)处的偏导数3.设函数z=e2x+3y , 。4.如果函数z=f(x,y)的全微分,那么5.点(1,0)是函数f (x,y)=x2 2x +y2+9的极_点.6. .函数f (x,y)在点(x0,y0)满足条件( ),(x0,y0)称为f (x,y
5、)的极值点. A. B.f (x,y)在点(x0,y0)处没有偏导数 C.在点(x0,y0)的某邻域内,有f (x,y)f (x0,y0) D.对定义域内的所有点(x,y),有f (x,y)f (x0,y0)7.以下结论正确的是( ) A.函数f (x,y)在点(x0,y0)可微,则f (x,y)的偏导数连续 B.函数f (x,y)在点(x0,y0)的一阶偏导数连续,则f (x,y)在点(x0,y0)可微 C.函数f (x,y)连续,则f (x,y)可微 D.函数f (x,y)在点(x0,y0)处的一阶偏导数存在,则f (x,y)在点(x0,y0)可微8.设函数f (x,y)=x2y,则f (xy,x+y)=( ) A.x2xy B. x2y2xy C. x+yx 2y2 D.(x+y)2xy9.曲面在点(0,0,0)处的切平面方程是( ).A. x+y+z=0 B.x=0 C. y=0 D.z=010.设二元函数, 求 11.设隐函数由方程确定,求。12.求由方程确定的隐函数的全微分. 13.设,验证z满足方程 14.在曲面上求一点M,使曲面在M点处的切平面与平面平行. 15.求曲线,的平行于平面的切线方程.16.求抛物线到直线的最短距离.17.求内接于椭球面内的体积最大的长方体的边长. 三、练习题答案1x2+y21且yx; 2. ;3.6 e2x+3y;
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