(一)集合的含义与表示

1、隹厶集合考纲导读（一）集合的含义与表示1了解集合的含义、元素与集合的“属于”关系2能用自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题。（二）集合间的基本关系1 理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集2 在具体情境中，了解全集与空集的含义（三）集合的基本运算1 理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集。2理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集.3能使用韦恩图（Venn）表达集合的关系及运算。根据考试大纲的要求，结合 2009年高考的命题情况，我们可以预测 2010年集合部分在选 择、填空和解答题中都有涉及，高考命题热点有以下两个

2、方面：一是集合的运算、集合的有关述语和符号、集合的简单应用等作基础性的考查，题型多以选择、填空题的形式出现；二 是以函数、方程、三角、不等式等知识为载体，以集合的语言和符号为表现形式，结合简易 逻辑知识考查学生的数学思想、数学方法和数学能力，题型常以解答题的形式出现第1课时 集合的概念基础过关一、集合1 集合是一个不能定义的原始概念，描述性定义为：某些指定的对象就成为一个集合，简称 集合中的每一个对象叫做这个集合的 2 集合中的元素属性具有：(1) 确定性；(2) ; (3) 3集合的表示法常用的有 、和韦恩图法三种，有限集常用，无限集常用 ，图示法常用于表示集合之间的相互关系.二、元素与集合

3、的关系4.元素与集合是属于和 的从属关系，若a是集合A的元素，记作 ,若a不是集合B的元素，记作 但是要注意元素与集合是相对而言的.三、集合与集合的关系5 集合与集合的关系用符号 表示.6 子集：若集合 A中都是集合B的元素，就说集合 A包含于集合B (或集合B包含集合A),记作7相等：若集合 A中都是集合B的元素，同时集合 B中都是集合A的元素，就说集合 A等于集合B,记作&真子集：如果 就说集合A是集合B的真子集，记作 9 若集合A含有n个元素，则 A的子集有个，真子集有 个，非空真子集有个.10空集 是一个特殊而又重要的集合，它不含任何元素，是任何集合的 ,是任何非空集合的，解题时不可忽

4、视典型例题8例1.已知集合A x N | N ，试求集合 A的所有子集.6 x解：由题意可知6 x是8的正约数，所以6 x可以是1,2,4,8 ；相应的x为2,4,5，即 A 2,4,5 A 的所有子集为，2,4,5,2,4,2,5,4,52,4,5变式训练1.若a,b R,集合a b,a0, b ,b ,求b-a的值.a 解:由1,ab, a0 b b可知0,则只能a+b=0,则有以下对应关系 JJ Vaab0ab0ba或baab1b1aa 1由得b 1,符合题意；无解.所以b-a=2.例 2.设集合 U 2,3, a2 2a 3 , A | 2a 1|,2 , CdA 5，求实数 a 的值

5、.解：此时只可能a2 2a 35，易得a 2或4 。当a 2时，A 2,3符合题意。当a 4时，A 9,3不符合题意，舍去。故a 2。变式训练 2: (1) P= x|x2 2x 3 = 0 , S= x|ax + 2 = 0 , S P,求 a 取值?(2) A= 2 x w 5, B= x|m + 1 x解：(1) a= 0,S =P成立 a0, S ，由 S P, P= 3 , 12得 3a+ 2 = 0, a =-或a + 2= 0, a = 2;32a值为0或或2.3(2) B= ，即 m+ 12m- 1,m2 A成立.，由题意得m 1 2m 12 m 1 得 2wmW35 2m 1

6、 m2或2w mW 3即mW 3为取值范围注：(1 )特殊集合作用，常易漏掉 例 3.已知集合 A=x|mx2-2x+3=0 , m R.(1 )若A是空集，求m的取值范围；(2 )若A中只有一个元素，求m的值；解：集合A是方程mx2-2x+3=0在实数范围内的解集(1) A是空集，方程 mx2-2x+3=0无解. =4-12m.3(2 ) A中只有一个元素，方程mx2-2x+3=0只有一个解.若m=Q方程为-2x+3=0 ,只有一解x= 3 ;2若0，则 =0，即 4-12m=0,m=l .3 m=0 或 m=L .3探究1：若A中至多只有一个元素，求m的取值范围.答案：A中至多只有一个元素

7、包含 A中只有一个元素和 A是空集两种含义，根据（1）、（ 2） 的结果，得 m=0或m 1.3变式训练3. (1)已知 A=a+2,( a+1) 2, a2+3a+3且1 A求实数a的值;(2)已知 M=2, a, b , N=2a, 2, b2且 M=N 求 a, b 的值.解：(1)由题意知： a+2=1 或(a+1)2=1 或 a2+3a+3=1, a=0即为所求. a=-1或-2或0，根据元素的互异性排除-1 , -2,2(2)由题意知，a 2a或a b2b b b 2a根据元素的互异性得14即为所求12例 4.若集合 A= 2 , 4, a3 2a22a 7, B= 1 , a +

8、 1, a 2a 2 ,1 z 22(a3a 8)、3a a 3a7 ,且 An B= 2 ,5，试求实数a的值.解：TAnBu 2 , 5 , 2 A且 5 A,则 a32 a2a 7 = 5 (a 2)(a 1)(a + 1) = 0, . a = 1 或 a= 1 或 a= 2.当 a= 1 时，B= 1 , 0, 5, 2, 4，与 An B= 2 , 5矛盾， a工一1 . 当a= 1时，B= 1 , 2, 1, 5 , 12,与集合中元素互异性矛盾，1.当 a= 2 时，B= 1 , 3 , 2 , 5 , 25,满足 An B= 2 , 5.故所求 a 的值为 2.探究2:已知集

9、合 A= a , a+ d, a+ 2d, B= a ,aq,2aq ，其中0,若 A= B,求 q的值.a daqad2aq答案：- A= B( I )a 2d2aq或（n) a2daq1由（I ）得 q= 1,由（n ）得 q= 1 或 q= 2 .当q= 1时，B中的元素与集合元素的互异性矛盾， q = 2归纳小结1. 本节的重点是集合的基本概念和表示方法，对集合的认识，关键在于化简给定的集合，确定集合的元素，并真正认识集合中元素的属性，特别要注意代表元素的形式，不要将点集 和数集混淆.2. 利用相等集合的定义解题时，特别要注意集合中元素的互异性，对计算的结果要检验.3注意空集$的特殊性

10、， 在解题时，若未指明集合非空，则要考虑到集合为空集的可能性.4.要注意数学思想方法在解题中的运用，如化归与转化、分类讨论、数形结合的思想方法 在解题中的应用. 第2课时 集合的运算基础过关一、集合的运算1. 交集：由 的元素组成的集合，叫做集合A与B的交集，记作An B,即AQB2 .并集：由 的元素组成的集合，叫做集合 A与B的并集，记作AU B,即AUB3补集：集合A是集合S的子集，由 的元素组成的集合，叫做 S中子集A的补集，记作CSA，即CSA =.二、集合的常用运算性质1. An a=, An =, An b=, Bn a, au a=,AU = , AU B= BU A2. A

11、Cu A =, A Cu A =, C（CuA） .3. Cu（A B） ,Cu(A B) 4. AU B= A An B= A 典型例题例1.设全集u R , M m|方程mx2 x 10有实数根 , N n|方程2小x x n 0有实数根，求（CuM ） N .解：当m 0时，x 1，即0 M ;当m 0时，14m0,即m1，且m 04 m4二 Cu Mm|m14而对于N ,14n10,即 n , Nn | n414 *- (CuM)N x|x变式训练1.已知集合A= xl-61,x R ,B= xlx2 2x m 0 ,x 1(1)当m=3时，求A(CrB);(2)若 A B x| 1x

12、 4，求实数m的值.解：由6得x 51 Jx 1x 10. -1 V x W 5, A= x | 1x 5 .(1)当 m=3时，B= x |1 x 3，则 CrB = x |x诚x 3 ,- A(CrB)= x|3x 5 .-A= x | 1 x 5,ABx | 1 x 4 , 有 42-2 X 4-m=0,解得 m=8此时B= x | 2 x 4,符合题意，故实数 m的值为8.例 2.已知 A x | a x a 3,B x| x 1 或 x 5.(1)若A|B ,求a的取值范围； 若B B,求a的取值范围.解: (1) A B , a 1，解之得1 a 2.a 3 5 B B, A B.

13、 a 31 或 a 5, a 4 或 a 5若Ap)B ,则a的取值范围是1,2;若A B B,则a的取值范围是x|x22(a 1)x (a25)0(,4)(5,).变式训练2:设集合A= x | x2 3x 20 ,B(1 )若A B 2 ,求实数a的值；(2) 若A B=A,求实数a的取值范围；(3) 若U=R A ( CU B ) =A.求实数a的取值范围 解：由 x2-3x+2=0 得 x=1 或 x=2,故集合 A= 1,2(1 )T A B 2 , 2 B,代入B中的方程,2得 a +4a+3=0, a=-1 或 a=-3;当a=-1时，B= x| x2402,2 ,满足条件；当a

14、=-3时，B= x| x2 4x 402，满足条件；综上，a的值为-1或-3.(2)对于集合B,2=4( a+1)2-4(a -5)=8(a+3)./ A B=A,. B A, 当 v 0,即a v -3时，B=，满足条件； 当 =0,即a=-3时，B 2 ,，满足条件； 当 0,即a-3时，B=A= 1,2 .才能满足条件，则由根与系数的关系得51 22(a 1) a2即 2,矛盾；1 2 a2 52a 7综上，a的取值范围是aw -3.(3A( Cu B ) =A,. A Cu B , A”b； 若B=，则 v 0 a 3适合； 若Bm ，则a=-3时，B= 2 , A B= 2，不合题意

15、；a -3，此时需1 B且2 B,将2代入B的方程得a=-1或a=-3 (舍去)；将1代入B的方程得a2+2a-2=0 a 13.-a m -1 且 a m -3 且 a m -13.综上，a的取值范围是 av -3或-3 v av-1-3或-1-3 v av -1或-1 v av-1+3或a-1+ 3.例3.已知集合A= x | x2 (2 a)x 1 0, x R , B x R|x 0，试问是否存在实数a,使得A B ?若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由.解：方法一假设存在实数a满足条件A B=则有(1 )当Am 时，由A B= , B x R | x 0 ，知集合A中的元素为非正

16、数， 设方程x2+(2+a)x+1=0的两根为X1,X2,则由根与系数的关系，得(2 a)2 4 0Xi X2(2 a) 0,解得a 0;x1x21 0(2)当 A= 时，则有 =(2+a)2-4 v 0,解得-4 v a v 0.综上(1)、( 2),知存在满足条件A B=的实数a,其取值范围是(-4 , +s).方法二假设存在实数a满足条件A BM，则方程x2+(2+a)x+仁0的两实数根X1, X2至少有一个为正，因为X1 X2=1 0，所以两根X1,x 2均为正数.则由根与系数的关系，得(2 4 0解得a0或a4即a4.X1X2(2 a)0 a 2又集合 a | a 4的补集为 a |

17、 a 4 ,存在满足条件 A B=的实数a,其取值范围是(-4 , +m).探究 1:设集合 A= (X,y ) |y=2x-1,x N*,B=(x,y)|y=ax2-ax+a,x N*，问是否存在非零整数a,使AH Bm ?若存在，请求出a的值；若不存在，说明理由.解：假设AH Bm，则方程组2x 12ax ax有正整数解，消去ay,得 ax2-(a+2)x+a+1=0.由0,有(a+2) 2-4a(a+1) 0,解得-仝2 a 12.因a为非零整数，.a= 1,3 3当a=-1时，代入(*), 解得x=0或x=-1,而x N*.故aM -1.当a=1时，代入(* ),解得x=1或x=2，符合题意.故存在a=1,使得AH氐 ,此时 AH B= (1 , 1),( 2, 3) .探究 2：例 4.已知 A= x | x2 2ax+ (4a 3) = 0, x R，又 B= x | x2 2 2ax + a2 + a + 2 = 0, x R，是否存在实数a,使得A B=?若存在，求出实数的值；若不存在，说明理由.解：1a2 即实数 a (1 , 2)时，A B=.探究3：设集合A为函数y in( x2 2x 8)的定义域，集合B为函数