高考数学一轮复习 第三章 导数及其应用 3.4 定积分与微积分基本定理 文 北师大版

1、3.4定积分与微积分基本定理,考纲要求:1.了解定积分的实际背景,了解定积分的基本思想,了解定积分的概念.2.了解微积分基本定理的含义,1.定积分的定义和相关概念 一般地,给定一个在区间a,b上的函数y=f(x),其图像如图所示. 将a,b区间分成n份,分点为:a=x0x1x2xn-1xn=b. 第i个小区间为xi-1,xi,设其长度为xi,在这个小区间上取一点i,使f(i)在区间xi-1,xi上的值最大,设S=f(1)x1+f(2)x2+f(i)xi+f(n)xn. 在这个小区间上取一点i,使f(i)在区间xi-1,xi上的值最小,设s=f(1)x1+f(2)x2+f(i)xi+f(n)xn

2、,如果每次分割后,最大的小区间的长度趋于0,S与s的差也趋于0,此时,S与s同时趋于某一个固定的常数A,容易验证,在每个小区间xi-1,xi上任取一点i,S=f(1)x1+f(2)x2+f(i)xi+f(n)xn的值也趋于该常数A,我们称A是函数y=f(x)在区间a,b上的定积分,记作 其中叫作积分号,a叫作积分的下限,b叫作积分的上限,f(x)叫作被积函数,2.定积分的几何意义 (1)当函数f(x)在区间a,b上恒为正时,定积分 的几何意义是由直线x=a,x=b(ab),y=0和曲线y=f(x)所围成的曲边梯形的面积(图中阴影部分,2)一般情况下,定积分 的几何意义是介于x轴、曲线f(x)以

3、及直线x=a,x=b之间的曲边梯形面积的代数和(图中阴影所示),其中在x轴上方的面积等于该区间上的积分值,在x轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数,2,3,4,1,5,2,3,4,1,5,2.定积分 的值为() A.e+2B.e+1 C.eD.e-1,答案,解析,2,3,4,1,5,3.直线y=4x与曲线y=x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为(,答案,解析,2,3,4,1,5,4.(2015湖南,理11),答案,解析,2,3,4,1,5,5.一辆汽车在高速公路上行驶,由于遇到紧急情况而刹车,以速度 (t的单位:s,v的单位:m/s)行驶至停止.在此期间汽车继续行驶的距离(单位:m)为,答

4、案,解析,2,3,4,1,5,自测点评 1.定积分基本思想的核心是“以直代曲”,其方法是“分割求近似,求和取极限”.定积分只与积分区间和被积函数有关,与积分变量无关. 2.由微积分基本定理可知,求定积分的关键是求导函数的原函数,由此可知,求导与积分是互为逆运算. 3.重视定积分性质在求值中的应用.区分定积分与曲边梯形面积间的关系,定积分可正、可负,也可以为0,是曲边梯形面积的代数和;而曲边梯形面积非负,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,考点1定积分的计算 例1计算下列定积分,答案,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,思考:计算定积分有哪些步骤? 解题心得:计算定积分的解题的步

5、骤: (1)把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的积的和或差. (2)把定积分变形为求被积函数为上述函数的定积分. (3)分别用求导公式的逆运算找到一个相应的原函数. (4)利用微积分基本定理求出各个定积分的值,然后求其代数和,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,答案,解析,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,答案,解析,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,答案,解析,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,考点2利用定积分求平面图形的面积 例2(1)由曲线y= ,直线y=x-2及y轴所围成的图形的面积为(,答案,解析,考点1,考点2,考点3,

6、知识方法,易错易混,2)(2015天津,理11)曲线y=x2与直线y=x所围成的封闭图形的面积为,答案,解析,思考:用定积分求平面图形的面积的步骤有哪些? 解题心得:利用定积分求曲线围成图形的面积的步骤: (1)画出图形;(2)确定被积函数;(3)求出交点坐标,并确定积分的上、下限;(4)运用微积分基本定理计算定积分,求出平面图形的面积,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,对点训练2(1)直线l过抛物线C:x2=4y的焦点且与y轴垂直,则l与C所围成的图形的面积等于(,答案,解析,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,答案,解析,考点1

7、,考点2,考点3,知识方法,易错易混,考点3定积分在物理中的应用 例3(1)从空中自由下落的一物体,在第一秒末恰经过电视塔顶,在第二秒末物体落地,已知自由落体的运动速度为v=gt(g为常数),则电视塔高为(,答案,解析,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,2)(2015杭州模拟)设变力F(x)作用在质点M上,使M沿x轴正向从x=1运动到x=10,已知F(x)=x2+1,且方向和x轴正向相同,则变力F(x)对质点M所做的功为J(x的单位:m;力的单位:N,答案,解析,思考:利用定积分解决变速运动问题和变力做功问题的关键是什么? 解题心得:利用定积分解决变速运动问题和变力做功问题时,关键是

8、求出物体做变速运动的速度函数和变力与位移之间的函数关系,确定好积分区间,得到积分表达式,再利用微积分基本定理计算即得所求,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,对点训练3(1)一物体做变速直线运动,其v-t曲线如图所示,则该物体在 6 s间的运动路程为 m,答案,解析,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,2)一物体受到与它运动方向相反的力F(x)= ex+x的作用,则它从x=0运动到x=1时,F(x)所做的功等于,答案,解析,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,1.求定积分的方法: (1)利用定义求定积分(定义法),可操作性不强. (2)利用微积分基本定理求定积分步骤如下: 求被积函数f(x)的一个原函数F(x); 计算F(b)-F(a). (3)利用定积分的几何意义求定积分,考点1,考点2,考点3,知识方法,易错易混,3.定积分在物理中的两个应用: (1)变速直线运动的路程:如果变速直线运动物体的速度为v=v(t),那么从时刻t=a到t=b所经过的路程 (2)变力做功:一物体在变力F(x)的作用下,沿着与F(x)相同方向从x=a移动到x=b时,力F(x)所做的功是,考点1,考点2,考点