2012年全国竞赛试题(正题)

1、2017年全国初中数学竞赛试题（正题）题号-一-二二三总分1561011121314得分评卷人复查人答题时注意：1 用圆珠笔或钢笔作答；2 解答书写时不要超过装订线；3 草稿纸不上交.一、选择题（共 5小题，每小题7分，共35分.每道小题均给出了代号为 A , B , C,D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的请将正确选项的代号填入题后的括号里：不填、多填或错填都得 0分）1 （甲）如果实数 a, b, c在数轴上的位置如图所示，那么代数式： 可以化简为（）(第1 (甲)题)(A) 2ct( B) 2a-2b(C) -a(D) a1 （乙）如果一 1 :，那么1 + 24-一；的值为（）.

2、(B)(D)2 （甲）.如果正比例函数 y = ax （a丰0与反比例函数 y = .； （b丰0）的图象有两个交点，其中一个交点的坐标为（一3, 2）,那么另一个交点的坐标为（(A)( 2, 3)( B)( 3, 2)( C)(- 2, 3)( D)( 3, 2)2 （乙）在平面直角坐标系丄中，满足不等式+卜2x+ 2y的整数点坐标（x,y）的个数为（)(A) 10(B) 9(C) 7(D) 53 （甲）如果讥上为给定的实数，且.U 二，那么. ； !_l!二一：? 一 这四个数据的平均数与中位数之差的绝对值是（)(A) 12a-1(B)：(C)-(D)3（乙）如图,四边形ABCD中，AC,

3、BD是对角线， ABC是等边三角形. 如7期,AD = 3, BD = 5,则CD的长为28()（第 3 （乙）题）(B) 4( C) (D) 4.5“你若给4 （甲）.小倩和小玲每人都有若干面值为整数元的人民币.小倩对小玲说:我2元，我的钱数将是你的n倍”；小玲对小倩说：“你若给我n元，我的钱数将是你的 2倍”，其中n为正整数，则n的可能值的个数是（）.(A) 1(B) 2(C) 3(D) 44 （乙）如果关于 x的方程 ：；J是正整数）的正根小于 3,那么这样的方程的个数是（）.（A） 5（B） 6（C） 7（D） 85 （甲）.一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1 , 2,

4、3, 4, 5, 6.掷两次骰子，设其朝上的面上的两个数字之和除以4的余数分别是 0, 1 , 2, 3的概率为，则中最大的是（）.1,丄2丄5 （乙）.黑板上写有共100个数字.每次操作先从黑板上的数中选取2个数.,然后删去.,并在黑板上写上数+ .，则经过99次操作后,黑板上剩下的数是（）.（A） 2017（ B） 101（ C） 100（D） 99、填空题（共 5小题，每小题7分，共35 分）6（甲）按如图的程序进行操作， 规定：程序运行从“输入一个值X”到“结果是否487?为一次操作如果操作进行四次才停止，那么x的取值范围是 .471-0斗刁一可t屈（第 6 （甲）题）1 | 1 |

5、1 _106 (乙).如果 a, b, c 是正数，且满足一 -I : Ia b cF1那么:-:二 乂 i的值为.7 （甲）.如图，正方形 ABCD的边长为2、二,E, F分别是AB, BC的中点，AF与DE , DB分别交于点 M , ”，则厶DMN的面积是.（第 7 （乙）题）7 （乙）.如图，LI S的半径为20，忙是U ：上一点以为对角线作矩形一 LL _f，且- I：-.延长，与丨h .分别交于两点，则二 的值等于.398 （甲）如果关于x的方程x2+kx+ k2 3k+ = 0的两个实数根分别为 1，那么2011XWX 的值为.8 （乙）设1为整数，且 K n ： r1和】均为三

6、角形数，且 a CD .点E在0D上，且DC = DE , be的延长 线与二；交于点；，求证： BOC（第 12 （甲）题）12 （乙）.如图，O O的内接四边形 ABCD中，AC, BD是它的对角线，AC的中点I是厶ABD的内心.求证：（1）OI是厶IBD的外接圆的切线；（2）AB+AD = 2BD.（第 12 （乙）题）13 （甲）.已知整数 a, b满足：a b是素数，且ab是完全平方数当a2017时, 求a的最小值.13 （乙）.凸1边形中最多有多少个内角等于丄？并说明理由14甲）求所有正整数n,使得存在正整数?1 1匕，满足 百购OY加,122012+ + +=丹且： 1 .14

7、（乙）将（ n 2）任意分成两组，如果总可以在其中一组中找到数/,（可以相同）使得；，求1的最小值.2017年全国初中数学竞赛试题（正题）参考答案一、选择题1 （甲） C解：由实数a, b, c在数轴上的位置可知：-.l： . ：,且r,1 （乙）.B解:=1 +12 + /2 -12 （甲）.D解：由题设知,2乂（3）, （-3）（2）胡，所以弘6(帯-I)1 =山(y-1)2 = o；(x- I)1 = D,(U(x I)2 - L(y-1)2 = o；(工亠l)1 = L(y-厅=i 百3j x = 3i解方程组? x得y = 2.所以另一个交点的坐标为（3, 2）.注：利用正比例函数与

8、反比例函数的图象及其对称性，可知两个交点关于原点对称,此另一个交点的坐标为（3，2）.2 （乙）.B解：由题设 x2+ y2w 2x+ 2y,得 0 w-.上 2.因为均为整数，所以有解得x- Oiy=hx- 2ix- 2iV=2.以上共计9对丫 :-1 .3 (甲).D解：由题设知，一 1 1： l .丄：?，所以这四个数据的平均数为1+3 + 1)十(g+8+1) +(2戊+劫3 + 也+ 仍(&+ l)+(a +6 + 1) 4 + 4g+ 2b中位数为24，4+ 44仍 3+4住+肚 1于是4443 （乙）B解：如图，以CD为边作等边 CDE，连接AE.（第 3 （乙）题）由于 AC

9、= BC, CD = CE,/ BCD= / BCA+ / ACD = / DCE + / ACD =/ACE,所以 BCD ACE , BD = AE.又因为 Z4flC=30c ，所以在Rt ADE中，胚二5曲二二于是DE=，所以CD = DE = 4.4 (甲).D可得解：设小倩所有的钱数为 x元、小玲所有的钱数为y元，:： 均为非负整数.由题设x+2 = n(y-2),卩+闯=2(托一幷)消去x得(2y 7)n = y+4,(2y-7) + 15j 十 152n = X.15因为.：”一 1为正整数，所以2y 7的值分别为1, 3, 5, 15,所以y的值只能为4, 5,6, 11 .

10、从而n的值分别为8, 3, 2, 1; x的值分别为14 , 7, 6, 7.4 （乙）.C解：由一元二次方程根与系数关系知， 两根的乘积为一 7咗!，故方程的根为一正一负.由 二次函数的图象知，当八时，门，所以-11 ,即/ ：.由于J I都是正整数，所以:- ，K q 5;或-八-，1 487.解得 7 V XW 19.容易验证，当7V x 0,解：如图，设二二的中点为：I.,连接上丁，则丨因为二心一1：一1丁一1匚由此得(k 3)2w 0.9_3又(k 3)20，所以(k 3)2=o,从而 k=3.此时方程为 x2+3x+.=0,解得 xi=X2=.8 (乙).1610解：因为nw “J

11、：=总-：- 一厂亠 I； 一丁 -II：.当被5除余数是1或4时，I .或.能被5整除，则： - : I ： I能被5整除；当被5除余数是2或3时:能被5整除，则I I ：il能被5整除;当被5除余数是0时，才 7：“一亠不能被5整除.所以符合题设要求的所有的个数为2010x8+2 = 16109 (甲).8解：设平局数为，胜（负）局数为f，由题设知由此得0 bw 43.側 + 1）他+2）又I，所以上丨：凤 / ：.于是0W 芬 130-侃+ 1）（坯+ 2） 43,87W “. V 1 -1 130,由此得习T ：,或习T .a+b 55当：！ -时，_，-；当“.I -、时，_，_，_

12、，不合题设9 （乙）_. - + - -所以1 一一：1: 一：，即1 打一：.整理得（纾一沱）+ 1r -3-不/肿+厉由二次函数；- 的图象及其性质，得 : -又因为4运严: 1，所以-/1.3屈10 （甲）. 二解：如图，连接AC, BD, 0D.（第 10 （甲）题）由AB是O 0的直径知/ BCA = / BDA = 90 依题设/ BFC = 90,四边形 ABCD是O 0的内接四边形，所以/ BCF =/ BAD,BC_BA所以 Rt BCF s Rt BAD，因此二 .因为0D是O O的半径，AD = CD，所以OD垂直平分 AC, OD / BC,DE OE 于是J: - /

13、J -.因此由.丄知.J 一 ；二卜卍因为砒*所以AD，故2-3= -42 2CF =10 (乙).12解：由已知有|7_； |； +二，且】为偶数，所以；*.同为偶数，于是:是4 的倍数设；4-/Z，则 1W 25 (I)若心-：I.,可得 / 一， 与b是正整数矛盾.(n )若匸至少有两个不同的素因数，则至少有两个正整数对 二，二 满足a-b a + b=m22；若肌恰是一个素数的幕，且这个幕指数不小于3,则至少有两个正整数a-b a + b对.二满足 11（川）若匸是素数，或匸恰是一个素数的幕，且这个幕指数为2,则有唯一的正整数a-b a + b对；，二满足 因为有唯一正整数对 卫，J，

14、所以m的可能值为2，3, 4，5，7 9，11，13，17，19,23，25,共有12个.三、解答题11 （甲）.解：因为当时，恒有 ，所以-:- 1 -比，即1 :： 1，所以二：1.，”，（5 分）当| 丨时，.W 一 ；当丄:时，匚W .，即_ .“一 . ，且_- 一门.一.2a m 2n（m为素数），所解得_ 2 2a m+2n二 m , 2a m 2n二 1.(擁+11a-4，：.于是:=a m 二(10 分)又 a2017,即卩2017.(89 +lj3又因为m是素数，解得 m 89.此时，a 4=2025.当，时，洛一；春：，；一；,；：一；.J .因此，a的最小值为2025.（ 20 分）13(乙).解：假设凸:边形中有；个内角等于 150 ，则不等于 150 的内角有个.(1)若比，由二，得：1,正十二边形的12个内角都等于匚；（5分）(2)若- ，且卜 13,由丄：匚匸-，可得.：,丄,即打 1 ,2, 二一 2017.于是201212r + 一 + . *I 丄1-20122012= 2012（10 分）当舟二时令1