平面向量的基本概念及线性运算

1、考点1,考点2,考点3,考点4,返回目录,考 纲 解 读,返回目录,考 向 预 测,主要考查向量的有关概念、运算法则、线线平行的条件和基本定理，以选择题和填空题出现的可能性较大.对用向量解平面几何问题涉及的可能性也较大,返回目录,1.向量的有关概念 (1)向量:既有 ,又有 的量叫做向量,向量的大小叫做向量的 (或模). (2)零向量: 的向量叫做零向量,其方向是 的. (3)单位向量:给定一个非零向量a,与a 且长度等于 的向量,叫做向量a的单位向量,大小,方向,长度,长度为0,任意,同方向,1,返回目录,4)平行向量:方向 或 的 向量.平行向量又叫 ,任一组平行向量都可以移到同一条直线上

2、. 规定:0与任一向量 . (5)相等向量:长度 且方向 的向量. (6)相反向量:长度 且方向 的向量. 2.向量的加法和减法 (1)加法 法则:服从三角形法则、平行四边形法则. 运算性质,相同,相反,非零,共线向量,平行,相等,相同,相等,相反,返回目录,a+b= (交换律); (a+b)+c= (结合律); a+0= = . (2)减法 减法与加法互为逆运算; 法则:服从三角形法则. 3.实数与向量的积 (1)长度与方向规定如下: |a|=,b+a,a+(b+c,0+a,a,a,返回目录,当 时,a与a的方向相同;当 时, a与a的方向相反;当=0时,a= . (2)运算律:设,R,则

3、(a)= ;(+)a= ; (a+b)= . 4.平行向量基本定理 向量a与b(b0)平行的充要条件是,有且只有一个实,0,0,0,a,a+a,a+b,数, 使得a=b,返回目录,下列命题中： 有向线段就是向量，向量就是有向线段； 向量a与向量b平行，则a与b的方向相同或相反； 向量AB与向量CD共线，则A,B,C,D四点共线； 如果ab,bc，那么ac. 正确的个数为() A.1 B.2 C.3 D.0,考点1 向量的有关概念,返回目录,分析】正确理解向量的有关概念是解决本题的关键.注意到特殊情况，否定某个命题只要举出一个反例即可,解析】不正确，向量可以用有向线段表示，但向量不是有向线段；

4、不正确，若a与b中有一个为零向量时，零向量的方向是不确定的，故两向量方向不一定相同或相反； 不正确，共线向量所在的直线可以重合，也可以平行； 不正确，如b=0时，则a与c不一定共线. 故应选D,返回目录,1）向量是区别于数量的一种量，既有大小，又有方向，任意两个向量不能比较大小，只可以判断它们是否相等，但它们的模可以比较大小. （2）由向量相等的定义可知，对于一个向量，只要不改变它的大小和方向，它是可以任意平行移动的，因此用有向线段表示向量时，可以任意选取有向线段的起点，由此也可得到：任意一组平行向量都可以移到同一条直线上,返回目录,判断下列命题是否正确，并说明理由. （1）若向量a与b同向，

5、且|a|b|,则ab; （2）若向量|a|=|b|,则a与b的长度相等且方向相同或相反； （3）对于任意向量|a|=|b|,且a与b的方向相同，则a=b; （4）由于0方向不确定，故0不能与任意向量平行； （5）起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量,返回目录,解析】（1）不正确.因为向量是不同于数量的一种量，它由两个因素来确定，即大小与方向，所以两个向量不能比较大小，故（1）不正确. （2）不正确.由|a|=|b|只能判断两向量长度相等，不能判断方向. （3）正确.|a|=|b|,且a与b同向，由两向量相等的条件可得a=b. （4）不正确.由零向量性质可得0与任一向量平行，可知（4

6、）不正确. （5）正确.对于一个向量只要不改变其大小与方向,是可以任意平行移动的,返回目录,分析】利用角平分线的性质可解出AD与DB的关系，再利用向量的线性运算求解,考点2 向量的线性表示,返回目录,返回目录,用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧是:观察各向量的位置;寻找相应的三角形或多边形;运用法则找关系;化简结果,返回目录,如图，以向量OA=a,OB=b为边作 OADB, BM= BC,CN= CD,用a,b表示OM,ON,MN,返回目录,BA=OA-OB=a-b, BM= BA= a- b. OM=OB+BM=b+ a- b= a+ b. 又OD=a+b, ON=OC+ CD= OD

7、+ OD= OD= a+ b. MN=ON-OM= a+ b- a- b= a- b. 即有OM= a+ b,ON= a+ b, MN= a- b,返回目录,设两个非零向量a与b不共线. (1)若AB=a+b,BC=2a+8b,CD=3(a-b). 求证:A,B,D三点共线; (2)试确定实数k,使ka+b和a+kb共线,分析】解决点共线或向量共线问题,就要根据两向量共线的条件a=b(b0,考点3 向量的共线问题,返回目录,解析】 (1)证明:AB=a+b,BC=2a+8b,CD=3(a-b), BD=BC+CD=2a+8b+3(a-b) =2a+8b+3a-3b=5(a+b)=5AB. AB

8、,BD共线, 又它们有公共点B,A,B,D三点共线. (2)ka+b与a+kb共线, 存在实数,使ka+b=(a+kb), 即ka+b=a+kb.(k-)a=(k-1)b. a,b是不共线的两个非零向量, k-=k-1=0,k2-1=0.k=1,返回目录,1)由向量数乘运算的几何意义知非零向量共线是指存在实数使两向量能互相表示. (2)向量共线的充要条件中要注意当两向量共线时,通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量,要注意待定系数法的运用和方程思想. (3)证明三点共线问题,可用向量共线来解决,但应注意向量与三点共线的区别与联系,当两向量共线且有公共点时,才能得出三点共线,返回目录,设两个

9、非零向量e1和e2不共线. (1)如果AB=e1-e2,BC=3e1+2e2,CD=- 8e1-2e2,求证:A,C,D三点共线; (2)如果AB=e1+e2,BC=2e1-3e2,CD=2e1-ke2,且A,C,D三点共线,求k的值,返回目录,1)AB=e1-e2,BC=3e1+2e2,CD=-8e1-2e2, AC=AB+BC=4e1+e2=- (-8e1-2e2)=- CD, AC与CD共线. 又AC与CD有公共点C,A,C,D三点共线. (2)AC=AB+BC=(e1+e2)+(2e1-3e2)=3e1-2e2, A,C,D三点共线, AC与CD共线,从而存在实数使得AC=CD, 即3

10、e1-2e2=(2e1-ke2),由平面向量基本定理,得 3=2 -2=-k,解得= ,k=,返回目录,如图4-1-3所示,在ABO中,OC= OA,OD= OB,AD与BC相交于点M,设OA=a,OB=b.试用a和b表示向量OM,分析】从题设及图中可以看出,直接寻找OM与a, b之间的关系是很难行得通的.因此可先设OM=ma+nb,利用共线向量的知识及待定系数法求出m,n即可,考点4 向量知识的综合应用,返回目录,解析】设OM=ma+nb, 则AM=OM-OA=ma+nb-a=(m-1)a+nb. AD=OD-OA= OB-OA=-a+ b. 又A,M,D三点共线,AM与AD共线. 存在实数

11、t,使得AM=tAD, 即(m-1)a+nb=t(-a+ )b. (m-1)a+nb=-ta+ tb. m-1=-t n=,消去t得m-1=-2n,返回目录,即 m+2n=1. 又CM=OM-OC=ma+nb- a=(m- )a+nb,CB=OB-OC=b- a=- a+b. 又C,M,B三点共线,CM与CB共线. 存在实数t1,使得CM=t1CB, (m- )a+nb=t1(- a+b), m- =- t1 n=t1, 消去t1得4m+n=1. 由得m= ,n= ,OM= a+ b,返回目录,在求一个向量用另外两个向量线性表示时,一般有以下几种方法: (1)根据图形,由加减法的定义,可直接得出结论; (2)如果不易找出它们间的关系,可先设该向量可用另外两个向量来线性表示,再利用共线向量定理,用待定系数法求出它们的系数,即可得出结论,返回目录,由，可得AP,O是平面上一定点,A,B,C是平面上不共线的三个点,动点P满足 0,+),则P点的轨迹一定通过ABC的（ ） A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心,B(如图，作向量AP.由向量加法知OP=OA+AP 由已知可得,B,返回目录,式中 都是单位向量，以这两个向量为一组邻边作 AB1P