高考数学二轮复习指导系列-解析几何

1、高考数学二轮复习指导系列-解析几何绪言：解析几何的本质是用代数的方法研究几何问题，其中蕴含丰富的数学思想：函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想、分类与整合思想等因此，要注意数学思想方法在问题解决过程中的核心地位近几年解析几何内容考查的题型归纳与分析如下： 考什么怎么考题型与难度1圆与圆锥曲线的定义、标准方程与性质考查圆锥曲线的定义、标准方程与性质题型：选择题或填空题难度：基础题2直线与(圆)圆锥曲线的位置关系主要考查直线与圆锥曲线的位置关系题型：解答题难度：中档题或难题3与(圆)圆锥曲线有关的范围与最值主要考查与圆锥曲线有关的范围与最值问题，常与函数、不等式交汇命题题型：解答题难度：中

2、档题或难题4定点、定值的探究与证明考查以直线、圆、圆锥曲线为载体，探究直线或曲线过定点；考查与圆锥曲线有关的定值问题题型：解答题难度：中档题或难题5 (圆)圆锥曲线中的点、线、参数等存在性问题考查以圆锥曲线为载体，探究平分面积的线、平分线段的点等问题；来源:学+科+网Z+X+X+K来源:Z&xx&kCom考查某解析式成立的参数是否存在题型：解答题难度：中档题或难题建议对以上几类问题进行整理，讲关键处、 讲重点、讲难点、讲思想、讲规律、讲方法，讲存在的主要问题和相应的解决方法与策略：1. 重视圆锥曲线的定义，利用图形的几何特征解题；2. 掌握基本量计算：如弦长，中点弦问题，梳理定点、定值问题的基

3、本思路以及有关面积的处理思路；3. 圆锥曲线问题的计算，首先是耐心演算，其次是算法、算理、算式的分析、渗透与强化，提高运算的准确性；4. 读题、审题，加强数学阅读理解的指导，加强数学表达的规范训练一、存在的问题及原因分析：（一）缺乏科学规范的作图意识，识图、用图能力待提高科学规范地画出图形是研究几何问题的基础，作图的过程也是问题条件的理解与解题思路的探究过程【例1】（2016全国I卷理20）设圆的圆心为A，直线l过点B（1，0）且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E（I）证明为定值，并写出点E的轨迹方程评析：由于作图潦草、没有使用尺规作图、不够精确，导致难以发现关

4、键的几何特征信息识图、用图能力差，没有从图形中发现，以及究其原因在于课堂教学作图环节缺失，教师多用手工绘制草图、缺乏对图形中几何特征与数量关系的细致量化分析建议教师注意使用尺规规范作图，示范指导，并要求学生当堂作图练习所给的练习，不给图形，要求学生通过审题自己作图，结合图形从整体角度理解题意寻找解题思路（二）缺乏利用圆锥曲线的定义研究相关问题的意识与模式习惯定义是数学问题研究的起点圆锥曲线的定义蕴含了丰富的内涵，对我们的问题的理解与思考有深刻的意义【例2】（2016全国I卷理20）设圆的圆心为A，直线l过点B（1，0）且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E（I）证

5、明为定值，并写出点E的轨迹方程解答：圆的方程可化为的圆心为，半径为4；动点C，D落在圆上，满足；（点在圆上，根据圆的定义有）等腰三角形中，；由题设得，由椭圆定义可得点的轨迹方程为：（）（根据定义知点的轨迹是椭圆） 评析：未能从动点与定点的位置关系角度理解问题，去探究目标“证明为定值”的证明思路，未能结合定义预判可能的轨迹类型，从而没能联系已有的几何条件寻找突破口究其原因在于研究求轨迹方程这类问题时，没有养成优先站在“观察发现动点运动变化过程中不变的几何关系”的角度探究问题的意识；没有养成“定义”的应用意识，未能从圆锥曲线的定义审视动点满足的不变的几何关系，选择简便的方法实现几何条件代数化建议复

6、习教学中凡涉及轨迹问题，均需先回顾梳理各种方法，结合问题背景比较、优化方法；强调要在大问题（圆锥曲线的定义与几何图形中的位置关系与数量关系）下研究几何性质；加强逻辑严密的课堂推演与条理清晰试题剖析（三）缺乏对几何条件代数化（坐标化）方法策略的深入研究解析几何就是用代数的方法研究几何问题那么，对题目所给的几何条件如何代数化（坐标化）很值得研究，我们追求的是既要准确转化，又要简便、减少运算量的转化【例3】（唐山2017）已知为坐标原点，是双曲线的左焦点，分别为的左、右顶点，为上一点，且轴，过点的直线与线段交于点，与轴交于点，直线与轴交于点，若，则的离心率为（ ）A B C D解答： 从试题中的关键

7、条件出发，因为三点均在y轴上，从坐标关系角度加以理解，从而引入关联参数实现几何条件代数化：设点，则直线，直线，联立即可得：，答案：A评析：本题显然是从2016年全国卷理11演变过来的题中的几何条件（，）的转化与使用是关键无从下手、找不到该几何条件与探究目标的联系或结合点是主要原因究其原因是未能认真分析几何图形，思考几何关系的形成过程（相关点、由何而来，如何求得）以及从动态的角度理解几何条件（），未能从求离心率的角度认识问题中各个几何量间的联系本题是动态的、需要一个参变量，可以设，也可以设大凡两直线上的交点或者动点问题，代数上多结合几何条件或设点或列方程，进而用方程思想求解问题，而求离心率，多是

8、从几何图形中抽象相关性质并转化为有关的等量关系或是方程（组）建议必须依题构图，结合曲线的性质从题意与图形中抽象出关键的几何特征，并以简洁的代数形式加以呈现，从而转化为待求目标关系式进行变形演算【原题】（2016年全国卷理11）已知O为坐标原点，F是椭圆C：的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点P为C上一点，且轴过点A的直线l与线段交于点M，与y轴交于点E若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为AB C D解答：如图可得，在中：，（1）在中：，（2），化简得（四）缺乏对算法、算理、算式的分析，简化运算的意识待加强有效运算、简便运算是求解解析几何问题必须重视的环节，包括如何设元、如何设方程、如何整体

9、代换、如何化简等【例4】（2017全国卷理10）已知F为抛物线C：的焦点，过F作两条互相垂直的直线，直线与C交于A、B两点，直线与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为A16B14C12D10解一：设直线的方程：，（这样设方程减少一次的平方运算）并联立抛物线方程得： ，（弦过抛物线的焦点，选用公式减少运算）因为，通过焦点且互相垂直，则同理得，（互相垂直，将换成即可，不必重复运算）解二：熟记二级结论，简化运算（过抛物线的焦点弦长公式）解答：设直线的倾斜角为，则，所以评析：解题时将所求量|AB|+|DE|孤立的理解两条含参的动弦长之和，感到运算量大，没信心求解，只是瞎猜结果究其原因在于没

10、能先从计算求解方法上用联系的观点认识两条含参的动弦长的区别与联系（方法公式相同，斜率互为负导数），从而不懂得用等价代换的思想简化运算建议不能只是谈思路方法，应通过课堂师生共同演算的体验，增加实践经验，进行算法算理的指导在涉及求有关过一点的两条斜率不同的直线的交点坐标或弦长问题时，往往只需计算其中的一类交点坐标或弦长，另一类只需等价代换结果中的参数即可【例5】（2015全国卷理20）已知椭圆，直线不过原点且不平行于坐标轴，与有两个交点，线段的中点为（）证明：直线的斜率与的斜率的乘积为定值；（略）（）若过点，延长线段与交于点，四边形能否为平行四边形？若能，求此时的斜率，若不能，说明理由解答：（）如

11、图，设直线斜率存在且小于0，设直线：，中点，联立方程组，得，则点或者若点，因为，所以（看出把消去，减少一个参数）又由（1）得，则有，（看出方程两边可以同除以后再两边平方，降低方程的次数），；当点时，综上评析：此题是含参的椭圆中某性质转化得到的一般性结论，由于参数多，计算量相对较大，必须结合圆锥曲线的定义并合理利用几何特征设参，分析算式结构合理消参、降次，才能准确求得最终答案获取直线的斜率的等量关系需通过平行四边形成立的几何条件获得，如一组平行且对边相等（两条弦长及所对应的斜率相等）；对角线互相平分（两中点横坐标相等）；无论采用哪一种方法都要设直线与椭圆联立的方程，选择后者稍显简洁如果根据()得

12、到两直线的斜率积可设得两对角线的斜率分别为，也可以通过解两个二次方程组得到中点横坐标的有关的关系式，但是式子复杂、运算繁琐较难化简联想题中的关联参数，容易得到的斜率为定值是一般性的结论，在运算求解过程中的某个环节，参数能被消去；若采取先求得中点的坐标，再由四点共线转化为斜率相等，避免再次联立求弦中点坐标的繁杂运算（五）缺乏参数的选择与解题过程中的优化意识我们往往需要设元引参，但选择什么作为参数对问题的解决影响较大，【例6】（2017厦门高二理11）抛物线与椭圆 有相同焦点，两条曲线在第一象限内的交点为若直线的斜率为2，则椭圆的离心率为A B C D解答：因为直线的斜率为2，设点，代入抛物线中，

13、求得点，依此作图，发现是，在椭圆中通径一半，消元得到有关离心率的方程，评析：求得点并发现是是关键。如果仅从代数角度认识问题，直接联立直线、椭圆、抛物线方程去求点的坐标，发现计算量非常庞大耗时耗力，难以消参未充分理解题意、未能发现“两曲线有相同焦点与直线的斜率为2”共同“作用”反应在几何图形中的现象-需从“两曲线有相同焦点与直线的斜率为2”这条件去分析思考图形的特性，发现是，这是一般性的结论，我们要理解我们也可以写出直线的方程，联立直线与抛物线求得，注意到点A的特性也可以发现是再回归椭圆定义与性质分析三角形中边角关系，获取参数的等量关系式，从而求得结论二、解决问题的思考与对策：（一）立足概念，返

14、璞归真-适度挖掘图形的特征，善于运用圆锥曲线的定义数形结合思想为指导，把定量的计算与定性的分析（图形的几何性质）有机结合，可简化计算量上圆锥曲线的定义是根本，利用定义解题是高考的一个重要命题点圆锥曲线的定义反映了它们的图形特点，是画图的依据和基础，也是问题研究的基础，正确利用定义可以使问题的解决更加灵活已知圆锥曲线上的点以及焦点，应考虑使用圆锥曲线的定义【例7】（2015重庆理21）如图所示，椭圆的左、右焦点分别为，过的直线交椭圆于，两点，且（1）若，求椭圆的标准方程（2）若，求椭圆的离心率分析：问题归结-利用椭圆的定义求其方程和离心率；策略突破-利用椭圆的定义，构建三角形，转化为求的值或齐次

15、方程，从而求方程和离心率解答：（1）由椭圆的定义，故设椭圆的半焦距为，由已知，因此，即，从而故所求椭圆的标准方程为（2）如图所示，连接，由椭圆的定义，从而由，有又由，知，因此，得从而由，知，因此反思归纳：1定义是事物本质属性的概括和反映，圆锥曲线许多性质都是由定义派生出来的对某些圆锥曲线问题，采用“回归定义”的策略，把定量的计算和定性的分析有机地结合起来，则往往能获得题目所固有的本质属性，达到准确判断、合理运算、灵活解题的目的2求圆锥曲线方程常用的方法有定义法、待定系数法、轨迹方程法用待定系数法求圆锥曲线的标准方程时，要“先定型，后计算”所谓“定型”，是指确定类型，也就是确定椭圆、双曲线的焦点

16、所在的坐标轴是x轴还是y轴，抛物线的焦点是在x轴的正半轴、负半轴，还是y轴的正半轴、负半轴，从而设出相应的标准方程的形式；“计算”就是指利用待定系数法求出方程中的a2、b2、p的值，最后代入写出椭圆、双曲线、抛物线的标准方程3求解离心率的时候，应该寻求三角形中的边角之间的关系，从而建立a、c的齐次方程（求值）或者齐次不等式（求范围）（二）利用图形，巧妙转化-实现几何条件代数化解析几何就是用代数方法来研究几何问题，即：几何问题代数问题代数结论几何结论所以，它的两大任务是：（1）把几何问题转化为代数问题，（2）研究代数问题，得出代数结论怎样将几何问题转化为代数问题？（1）要主动去理解几何对象的本质

17、特征；（2）善于将几何条件、几何性质用代数的形式表达出来；（3）恰当选择代数化的形式，这点是关键：一要研究具体的几何对象具有什么样的几何特征（如果几何特征不清楚，就不可能准确将其代数化），这就要在审题上下功夫；二是选择最简洁的代数形式（方便后续的代数研究），这需要大局观；（4）注意等价转化例如：平行四边形（矩形，菱形，正方形）平行四边形几何性质代数表现对边平行斜率相等，或向量平行对边相等长度相等，横（纵）坐标差相等对角线互相平分中点重合例如：直角三角形直角三角形几何性质代数表现（1）两边垂直斜率乘积为-1，或向量数量积为0（2）勾股定理两点的距离公式（3）斜边中线性质（中线等于斜边一半）两点的

18、距离公式例如：等腰三角形（等边三角形）等腰三角形几何性质代数表现（1）两边相等两点的距离公式（2）两角相等底边水平或竖直时，两腰斜率之和为0（3）三线合一（垂直且平分）垂直：斜率或向量；平分：中点坐标公式例如：角的特征角几何性质代数表现（1）锐角，直角，钝角角的余弦（向量数量积）的符号（2）倍角，半角，平分角角平分线性质，等腰，距离相等（3）等角（角的大小）三角函数线段比或斜率例如：圆圆几何性质代数表现（1）点在圆上点与直径端点向量数量积为零（2）点在圆外点与直径端点向量数量积为正数（3）点在圆内点与直径端点向量数量积为负数【例8】（2016年省质检理9）若椭圆上存在三点，使得这三点与椭圆中心

19、恰好是一个正方形的四个顶点，则该椭圆的离心率为（A） （B） （C） （D）分析：问题归结-利用椭圆的图像，求解离心率；策略突破-本题的关键词“若存在”，因此，如果能找到这个特殊的位置，就可以直接解题根据椭圆以及正方形的对称特性，易知正方形有一个端点在椭圆的长轴端点上引申思考这种情况是唯一的吗？换个说法，若本题是解答题，应如何作答？巧用几何条件的转换：正方形对角线互相垂直平分，对角线相等反思归纳：1本题的学习要明确两点：若正方形的三个顶点在椭圆上且不是椭圆的端点（即正方形的顶点没有关于轴或轴对称），那么椭圆上就有8个点到原点的距离相等（即以原点为圆心的圆与椭圆有8个交点），这是不可能2椭圆上与

20、坐标轴不平行的弦的垂直平分线一定不过椭圆的中心 （三）巧用平几，事半功倍-关注平面几何知识方法与性质在问题转化中的应用，关注几何图形（特别是三角形）相关方法在运算中的应用解析几何的研究对象就是几何图形及其性质，所以在处理解析几何问题时，除了运用代数方程外，充分挖掘几何条件，结合平面几何知识，这往往能减少计算量数学试题中很多图形性质就和“平几”知识相关联，要抓住关键，适时引用，问题就会迎刃而解提高学生等价转化的能力实现复杂问题简单化，陌生问题熟悉化例如：没有图形，不妨画个图形，以便直观思考；“设列验”是求轨迹的通法；消元转化为一元二次函数（方程），判别式，韦达定理，中点，弦长公式等要把握好；多感

21、悟“设列解”，“设”：设什么？坐标、方程、角、斜率、截距?“列”：列的前提是找关系，“解”：解就是转化、化简、变形，向目标靠拢；紧扣题意，联系图形，数形结合；一旦与自己熟悉的问题接轨立即入位【例9】在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：，点A是轴上的一个动点，AP，AQ分别切圆C于P，Q两点，则线段PQ长的取值范围为 分析：问题归结-定直线上的动点与圆上一点距离问题；策略突破-解直角三角形，化归为圆心到直线的距离求解过程分析：1明确目标所在三角形及与圆的相关几何特性：根据圆的垂径定理，在等腰与中，2结合解三角形，问题溯源，选定较为直观的几何变量，构建的目标函数解析式：，3回归题意确定变量的范围，

22、计算求解：又，所以，因此线段长的取值范围为反思归纳：直线与圆的三种位置关系：相切，相交，相离解决直线与圆的问题时，一方面，要运用解析几何的一般方法，即代数化方法，把它转化为代数问题；另一方面，由于直线与圆和平面几何联系非常紧密，因此，准确地作出图形，挖掘几何图形中所隐含的条件，利用几何知识使问题较为简捷地得到解决【例10】如图所示，过点（1，0）的直线与抛物线交于A、B两点，射线OA和OB分别和圆交于D、E两点，若，则的最小值等于A B C D 分析：问题归结-求面积之比，需要把表示成某个变量（斜率）的函数，从而把问题转化为求函数的最值；策略突破-通过图像，发现直线AB过定点（1，0），可得（

23、这是关键），从而得到，最后转化为，求得最值解答：设、，由得，即又， ，即设、，直线OA：，直线OB：，则由得，同理由得，同理，反思归纳：1解析几何研究的对象是几何图形，善用巧用几何图形的特征，把几何特征转化为代数表示，从而缩短思维链条，简化运算过程；2在几何图形中，利用解三角形和三角形相似等知识，转化为边角之间的关系解决解析几何问题其中，解三角形的画图写图，体现数形结合的思想；利用角或边的关系消角（边），体现了消元的思想；用正弦、余弦定理列方程组求三角函数值，体现了方程思想（四）设而不求，参数归一-立足目标意识，寻求点的坐标之间的关系，剖析变量内在的几何意义，通过整体代换的思想，简化运算过程，

24、实现设而不求，简洁明了、准确解题运算繁杂是解析几何最突出的特点首先，解题中要指导学生克服只重视思路、轻视动手运算的缺点运算能力差是学生普遍存在的问题，不仅在解析几何问题中要加强训练，在其它板块中也要加强训练，只有把提高学生的运算能力贯彻于教学的过程之中，才能受到较好的效果其次，要培养学生运算的求简意识，尤其是“设而不求”，充分发挥圆锥曲线的定义和利用平面几何知识化难为易、化繁为简的作用譬如圆锥曲线中的定点、定值问题，解决的基本思想从变量中寻求不变，即先用变量表示所求的量或点的坐标，再通过推理计算，导出这些量或点的坐标和变量无关其基本策略：定点和定值问题就是在运动变化中寻找不变量的问题，基本思想

25、是使用参数表示要解决的问题，证明要解决的问题与参数无关在这类试题中选择消元的方向是非常关键的另外，对于某些定点问题的证明，可以先通过特殊情形探求定点坐标，然后对一般情况进行证明，这种方法在填空题中更为实用【例11】过抛物线的焦点的直线交抛物线于、两点，分别过、两点作准线的垂线，垂足分别为，两点，以线段为直径的圆过点，则圆的方程为（ ）A B C D分析一：问题归结-确定圆的方程的基本要素：过焦点的直线AB的方程及与抛物线的交点坐标；策略突破-圆的两个关键量的代数形式：圆心和半径，确定参变量，引入关联变量斜率的倒数t，可设直线AB：；转化为参数t的等量关系式；求解过程分析：联立方程组，消元；由韦

26、达定理得，则，直径；求半径，由得方程，则回归圆：圆心，半径的平方，答案选B分析二：问题归结-确定圆的方程的最基本要素：过焦点的直线AB的方程及与抛物线的交点坐标；策略突破-圆的两个关键量的几何性质：作弦的中垂线，求其与直径所在直线的交点回归确定圆心，作图如下，求解过程分析：1立足抛物线的概念认识：直角梯形中，有两个等腰与，结合平行性质与三角形内角和定理可得；2立足圆的概念整体认识所得：点与点均在圆上；3回顾确定圆心的位置基本方法：作弦的中垂线，求其与直径所在直线的交点；4计算求解：设，的中点为，则，所以，所以圆心的坐标为；半径为，故选B反思归纳：1 两种二次曲线的交汇需分清“主次”，充分利用相

27、关概念与性质分步朝探究目标化归；2两支圆锥曲线交汇是全国卷高考常见的考查方式，本题涉及圆锥曲线的概念、圆的切线问题，解决这类问题主要以方程思想和数形结合的方法来处理，还应注意恰当运用平面几何知识对其进行求解【例12】如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆，过坐标原点的直线交椭圆于P、A两点，其中点P在第一象限，过P作轴的垂线，垂足为C，连接AC，并延长交椭圆于点B，设直线PA的斜率为求证：对任意0，都有PAPB分析一：问题归结-讨论与椭圆有关的多条直线的位置关系；策略突破-通过设线PA，联立直线与椭圆方程，得到点P，A，C的坐标，从而得到直线AB的方程，再得到PB的斜率，从而证明，证明到PAPB解

28、答：将直线PA的方程代入，解得，记，则，于是，故直线AB的斜率为，其方程为，代入椭圆方程得，解得或，因此，于是直线PB的斜率，因此，所以PAPB分析二：问题归结-讨论与椭圆有关的多条直线的位置关系；策略突破-目标是证明PAPB，即只需证明解答：设，则，且，两式相减得，即，即，故，所以，所以PAPB反思归纳：1方法一，利用直线与椭圆联立，求点坐标，再转化求直线点斜率，最后利用斜率乘积等于-1证明垂直，这是常规方法，思维比较自然，但计算量大；方法二，利用点A、C在椭圆上，所以满足椭圆方程，利用点差法，先求出，再利用，得到结论，方法很巧妙；2设出点的坐标，但目的不是求出坐标，而是通过它作为媒介寻求变

29、量间的关系，确立解题目标，简化运算和快速准确解决问题，这就是设而不求3对于椭圆，有如下结论：若是椭圆上关于原点对称两点，P为椭圆上动点（不同于），则=，特殊地，若是椭圆长轴的顶点，更有此结论，该结论还可推广到椭圆弦中点，以及双曲线也有类似结论（五）函数思想，方程互化-整体意识下利用方程思想处理求值，利用函数思想求范围和最值【例13】（2015天津理19）已知椭圆的左焦点为，离心率为，点在椭圆上且位于第一象限，直线被圆截得的线段的长为，（1）求直线的斜率；（2）求椭圆的方程；（3）设动点在椭圆上，若直线的斜率大于，求直线（为原点）的斜率的取值范围分析：问题归结-通过几何图形，求直线的斜率，椭圆的

30、离心率以及直线的斜率范围；策略突破-(1)由椭圆知识先求出的关系，设直线的方程为，求出圆心到直线的距离，由勾股定理可求斜率的值；(2)由(1)设椭圆方程为，直线与椭圆方程联立，求出点的坐标，由可求出，从而可求椭圆方程；(3)设出直线：，与椭圆方程联立，求得，求出的范围，即可求直线的斜率的取值范围解答：(1)由已知有，又由，可得，设直线的斜率为，则直线的方程为，由已知有，解得(2)由(1)得椭圆方程为，直线的方程为，两个方程联立，消去，整理得，解得或，因为点在第一像限，可得的坐标为，由，解得，所以椭圆方程为(3)设点的坐标为，直线的斜率为，得，即，与椭圆方程联立，消去，整理得，又由已知，得，解得

31、或，设直线的斜率为，得，即，与椭圆方程联立，整理可得当时，有，因此，于是，得；当时，有，因此，于是，得综上所述，直线的斜率的取值范围是【例14】（2015四川理20）如图所示，椭圆：的离心率是，过点的动直线与椭圆相交于两点，当直线平行于轴时，直线被椭圆截得的线段长为（1）求椭圆的方程；（2）在平面直角坐标系中，是否存在与点不同的定点，使得恒成立？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由分析：问题归结-通过几何图形，求直线的斜率，椭圆的离心率以及直线的斜率范围；策略突破-（1）根据椭圆的对称性，当直线与轴平行时，将这个点的坐标代入椭圆的方程，得再根据离心率得，又，三者联立，解方程组即可得，进而

32、得椭圆的方程为；（2）先特殊化直线（平行和垂直），求出特殊况下的点坐标为接下来联立直线与椭圆的方程，利用根与系数的关系证明：对任意的直线，均有设，由图可看出，为了证明，只需证明，为此作点关于轴对称的点，这样将问题转化为证三点共线解答：（1）由已知点在椭圆上所以，解得，所以椭圆方程为（2）当直线与轴平行时，设直线与椭圆相交于两点如果存在定点满足条件，则，即所以点在轴上，可设点的坐标为当直线与轴垂直时，设直线与椭圆相交于两点则，由，有，解得或所以，若存在不同于点的定点满足条件，则点的坐标只可能为下面证明：对任意的直线，均有当直线的斜率不存在时，由上可知，结论成立当直线的斜率存在时，可设直线的方程为

33、，的坐标分别为，联立，得所以， ，因此易知，点关于轴对称的点的坐标为又，所以，即三点共线所以故存在与点不同的定点，使得恒成立反思归纳：1求轨迹方程要注意利用圆锥曲线的定义解题涉及多个动点时，可用动点代入法或参数法求解，分清主动点和从动点与圆锥曲线有关的轨迹求解，也要注意取值范围和“杂点”的去除2对于最值、定值问题的处理，常采用几何法：利用图形性质来解决；代数法：建立目标函数，再求函数的最值，确定某几何量的值域或取值范围，一般需要建立起方程或不等式，或利用圆锥曲线的有界性来求解三、典型问题剖析：圆的问题主要是定义和性质；圆锥曲线（椭圆、抛物线、双曲线）主要是曲线的定义、标准方程、曲线性质（焦点、

34、离心率、准线、渐近线）；综合性问题主要是位置关系、范围、面积、定点、定值等。下面举几个例子说明（一）离心率问题：【例15】（2017全国卷理15）已知双曲线C：（a0，b0）的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点若MAN=60，则C的离心率为_解析：如图所示，MAN为等腰三角形，因为，所以，所以，又因为，所以，解得所以评析：本题主要考查以离心率为背景的双曲线的概念与性质解题的关键是：合理构建符合题意的图像，挖掘几何性质，从中转化抽象出参数的等量关系式；注意用好双曲线中与参数有关的几个不变量：（1）双曲线的焦点到渐近线的距离是；（2）双曲线的顶点到渐近

35、线的距离是（3）本题从特殊值角度令关联基本量，则可大幅度减小计算量（二）面积最值：【例16】（2016全国卷理20）已知椭圆E:的焦点在轴上，是的左顶点，斜率为的直线交于，两点，点在上，（1）当，时，求的面积；（2）当时，求的取值范围解析：（1）解法一：当时，由于，根据对称性可知，所以 ，得，所以又，所以，所以解法二：设点，且交轴于点 因为，且，所以， 由，得又，所以，解之得或所以 ，所以（2）设直线，则，所以； 同理因为，所以，所以评析：解决圆锥曲线中最值、范围问题的基本思想是建立目标函数和建立不等关系，根据目标函数和不等式求最值、范围，因此这类问题的难点，就是如何建立目标函数和不等关系建立

36、目标函数或不等关系的关键是选用一个合适变量，其原则是这个变量能够表达要解决的问题，这个变量可以是直线的斜率、直线的截距、点的坐标等，要根据问题的实际情况灵活处理（三）定点问题：【例17】（2017福建省质检）已知点，直线，直线垂直于点，线段的垂直平分线交于点（1）求点的轨迹的方程；（2）已知点，过且与轴不垂直的直线交于两点，直线分别交于点，求证：以为直径的圆必过定点【解析】（1）依题意得，即到直线的距离与到点的距离相等，所以点的轨迹是以为焦点， 为准线的抛物线设抛物线方程为，则，即点的轨迹的方程是 （2）由题意可设直线，代入，得，设，则；又，设直线的斜率分别为，则，设，令，得，同理，得，从而；

37、又以为直径的圆的方程为： ，即，即，令，解得或，从而以为直径的圆恒过定点和评析: 该类问题多以直线与圆锥曲线为背景，常与函数与方程、向量等知识交汇，形成了过定点、定值等问题的证明难度较大定点、定值问题是在变化中所表现出来的不变的量，那么就可以用变化的量表示问题的直线方程、数量积、比例关系等，这些直线方程、数量积、比例关系不受变化的量所影响的一个点、一个值，就是要求的定点、定值化解这类问题难点的关键就是引进变的参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量（四）定值问题：【例18】如图，点，分别为椭圆的左右顶点，为椭圆上非顶点的三点，直线的斜率分别为，且，

38、（）求椭圆的方程；（）判断的面积是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由解析:（），椭圆（）设直线的方程为，的面积为定值1评析：圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略(1)求代数式为定值依题意设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式、化简即可得出定值；(2)求点到直线的距离为定值利用点到直线的距离公式得出距离的解析式，再利用题设条件化简、变形求得；(3)求某线段长度为定值利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得结语：近几年解析几何的试题在难度、计算的复杂程度等方面都有所下降，但突出对解析几何基本思想和基本方法的考查，重点要掌握解析几何的一些基本方

39、法来解决问题，解析几何中解题的基本方法有解析法、待定系数法、变换法、参数法等方法在复习时应做到牢固掌握圆锥曲线定义；重视基础知识，基本题型的训练；注意课本典型例题、习题的延伸，教材中的例题、习题虽然大多比较容易，但其解法往往具有示范性，可延伸性，适当地编拟题组进行复习训练，有利于系统地掌握知识，融会贯通；注意转化条件，优化解题方法解析几何中有一些基本问题，如两直线垂直的证明、求弦的中点、弦长的计算等等，对这些问题的处理方法要熟知但有不少题目，所给的条件无法直接使用，或者使用起来比较困难，此时，可考虑对条件进行适当的转化，使解题过程纳入到学生所熟悉的轨道强化数学思想方法的训练和运用，譬如：函数与

40、方程思想，解析几何的研究对象和方法决定了它与函数、方程的“不解之缘”，很多解析几何问题实际上就是建立方程后研究方程的解或建立函数后研究函数的性质又如：分类讨论思想 ，解析几何中，有些公式，性质是有适用条件的，解题时必须注意分类讨论、区别处理例如直线方程的点斜式、斜截式中斜率必须存在，截距式只适用在两轴上的截距存在且不为零的情况，两点式不适用于与坐标轴垂直的直线再如：数形结合思想 ，解析几何的本质就是将“数”与“形”有机地联系起来，曲线的几何特征必然在方程、函数或不等式中有所反映，而函数、方程或不等式的数字特征也一定体现出曲线的特性总之解析几何题综合性强，对思维能力和运算能力要求较高，所以在高三

41、复习中，既要注重基础，又要有所创新提高；既要有通析通法，又要注意技巧锻炼；做到灵活多变，培养学生养成良好的学习习惯，自觉地运用数学思想方法进行分析、推理、运算，指导同学的复习，提高效率四、过关练习：1若坐标原点在圆的内部，则实数m的取值范围是( )A B C D2已知双曲线（）的渐近线方程为， 则双曲线的离心率为( )A B C D 3已知双曲线的两条渐近线与抛物线的准线分别交于 两点， 为坐标原点若双曲线的离心率为2，的面积为，则（ ）A 1 B C 2 D 34抛物线的准线与双曲线的左、右支分别交于两点， 为双曲线的右顶点， 为坐标原点，若，则双曲线的离心率为（ ）A B C D5下列双曲

42、线中，焦点在轴上且渐近线方程为的是（ ）A B C D6若在圆上，总存在相异两点到原点的距离等于1，则实数的取值范围是（ ）A B C D7过抛物线焦点的直线与抛物线交于、两点，以为直径的圆的方程为，则（ ）A B C或 D8已知双曲线两渐近线的夹角满足，焦点到渐进线的距离，则该双曲线的焦距为（ ）A B或 C或 D或9已知抛物线：和动直线：（，是参变量，且， ）相交于，两点，直角坐标系原点为，记直线，的斜率分别为，若恒成立，则当变化时直线恒经过的定点为（ ）A B C D10若双曲线的渐近线将圆平分，则双曲线的离心率为（ ）A B C D11已知分别为双曲线的右焦点和右顶点，过作轴的垂线在第

43、一象限与双曲线交于点，的延长线与双曲线在第一象限的渐近线交于点，若，则双曲线的离心率为（ ）A B C D12已知抛物线的焦点为，准线为，为上一点，垂直，垂足为，分别为，的中点，与轴相交于点，若，则等于（ ）A B1 C2 D413设、分别为椭圆与双曲线的公共焦点，它们在第一象限内交于点，若椭圆的离心率，则双曲线的离心率的取值范围为_14过抛物线的焦点的直线交该抛物线于、两点，若，为坐标原点，则_15在平面四边形中，连接对角线，已知， ， ， ，则对角线的最大值为_16已知椭圆G：的两个焦点分别为和，短轴的两个端点分别为和，点P在椭圆G上，且满足当变化时，给出下列三个命题：点P的轨迹关于轴对称

44、；存在使得椭圆上满足条件的点仅有两个；的最小值为，其中，所有正确命题的序号是_17已知椭圆的一个焦点为，其左顶点A在圆上（）求椭圆的方程；（）直线交椭圆于两点，设点关于轴的对称点为（点与点不重合），且直线与轴的交于点，试问的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由18已知椭圆E的右焦点与抛物线的焦点重合，点M在椭圆E上（）求椭圆E的方程；（）设，直线与椭圆E交于A，B两点，若直线PA，PB均与圆相切，求的值19 已知椭圆的左、右焦点分别为、，离心率，点在椭圆上，设过点且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于、两点，线段的垂直平分线与轴交于点（）求点的横坐标的取值范围；（）求面积的

45、最大值20在直角坐标系xOy上取两个定点再取两个动点，且（）求直线与交点M的轨迹C的方程；（）过的直线与轨迹C交于P，Q，过P作轴且与轨迹C交于另一点N，F为轨迹C的右焦点，若，求证：21过点作抛物线的两条切线，切点分别为， () 证明: 为定值;() 记的外接圆的圆心为点， 点是抛物线的焦点， 对任意实数， 试判断以为直径的圆是否恒过点? 并说明理由22 已知：与：，以，分别为左右焦点的椭圆：经过两圆的交点（）求椭圆的方程；（），分别为椭圆的左右顶点，是椭圆上非顶点的三点，若，试问的面积是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由解析几何过关练习参考答案1C2B3C【解析】求出双曲线的

46、渐近线，利用三角形面积建立方程求解因为双曲线的离心率，所以，所以双曲线的渐近线方程为，与抛物线的准线相交于，所以的面积为，解得4C【解析】 因抛物线的准线是，故，则，由题设若可得，则，即，所以，应选答案C 5D【解析】由题意双曲线焦点在y轴上，排除A，B选项，C项，渐近线为，错误，故选D6C【解析】圆心 与原点之间的距离为 ，当原点在圆外时，则 ；当原点在圆外时，则；当点在圆上， 显然符合，综上3种情况有，解得 或 ，选C7A【解析】过抛物线焦点的直线与抛物线交于两点，以为直径的圆的方程为，可得弦长的坐标横坐标为，圆的半径为可得弦长为，设直线与抛物线的交横坐标为则，可得，故选A8C【解析】双曲线两渐近线的夹角满足，或，设焦点为(c，0)，渐近线方程为，则，又，解得或，则有焦距为或故选C9D【解析】由可得，则， ，所以，又即，所以代入整理可得，直线方程可化为，故选D 10B【解析】 由圆的方程可知圆心坐标为，双曲线