人教版（2021年春修订版）数学八年级下册全册教学课件

1、人教版初中数学八年级下册,全册教学课件,16.1 二次根式（第1课时）,人教版 数学 八年级 下册,电视塔越高，从塔顶发射的电磁波传播得越远，从而能收看到电视节目的区域越广，电视塔高h（单位：km）与电视节目信号的传播半径 r（单位：km）之间存在近似关系 ，其中地球半径R6 400 km如果两个电视塔的高分别是h1 km、h2 km，那么它们的传播半径之比是 .,公式中 中的 表示什么意义？,1. 理解二次根式的概念.,2. 掌握二次根式有意义的条件，能运用二次根式的概念求被开方数中字母的取值范围.,素养目标,3. 会利用二次根式的双重非负性解决相关问题.,用带根号的式子填空，看一看写出的结

2、果有何特点:,（1）这些式子分别表示什么意义？,分别表示3，S，65， 的算术平方根,根指数都为2;,被开方数为非负数.,（2）这些式子有什么共同特征？,在前面的问题中，得到的结果分别是： ， ， ， ,根据你的理解，猜想一下二次根式的定义应该有哪些条件？,我们知道，一个正数有两个平方根； 0的平方根为0； 在实数范围内，负数没有平方根. 因此，在实数范围内开平方的时候，被开方数只能是正数或0.,一般地，我们把形如 的式子叫做二次根式. “ ”称为二次根号.,注意：a可以是数，也可以是式.,归纳总结,例1 下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？,解：,(1)(4)(6)均是二次根式，其中x2+

3、4属于“非负数+正数”的形式一定大于零.(3)(5)(7)均不是二次根式.,是否含二次根号,被开方数是不是非负数,二次根式,不是二次根式,是,是,否,否,分析：,利用二次根式的定义识别二次根式,（1） ； （2）81； （3） ；（4） ; （5） ;（6） ；（7） .,下列各式是二次根式吗?,是,是,是,是,是,（1）,（2）,（3）,（4）,（6）,（5）,（7）,（8）,（9）,（10）,不是,不是,不是,不是,不是,例2 当x是怎样的实数时, 在实数范围内有意义?,解：由x-20，得,x2.,当x2时， 在实数范围内有意义.,【思考】1.当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义

4、？,解：由题意得x-10，,x1.,利用二次根式有意义的条件求字母的取值范围,（1） ;,解：被开方数需大于或等于零， x+30，x-3. 分母不能等于零， x-10，x1. x-3 且x1.,归纳小结：要使二次根式在实数范围内有意义，即需满足被开方数0，列不等式求解即可.若二次根式为分式的分母时，应同时考虑分母不为零.,（2） .,【思考】2.当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？,解：(1)无论x为任何实数， 当x=1时， 在实数范围内有意义. (2)无论x为任何实数，-x2-2x-3=-(x+1)2-20， 无论x为任何实数， 在实数范围内都无意义.,归纳小结：被开方数是多项式

5、时，需要对组成多项式的项进行恰当分组凑成含完全平方的形式，再进行分析讨论.,（1）,（2）,(1)单个二次根式如 有意义的条件：A0；,(3)多个二次根式相加如 有意义的条件：,(2)二次根式作为分式的分母如 有意义的条件：A0；,(4)二次根式与分式的和如 有意义的条件： A0且B0.,归纳总结,二次根式有意义的条件应用的不同类型：,x取何值时,下列二次根式有意义?,x1,x0,（3）,（4）,x为全体实数,x0,（5）,（6）,x0,x0,x-1且x2,(7),（9）,x0,x为全体实数,(8),【新知思考】当x 是怎样的实数时， 在实数范围内有意义？,【回顾思考】二次根式 的被开方数a的

6、取值范围是什么？它本身的取值范围又是什么？,因为x 0，所以x可以为任意实数.,要使x 0，必须x 0 .,当a0时， 表示a的算术平方根，因此 ；当a=0时， 表示0的算术平方根，因此 .这就是说，当a0时， .,呢？,二次根式的实质是表示一个非负数（或式）的算术平方根.对于任意一个二次根式 ，必须满足以下两条：,（1）a为被开方数，为保证其有意义，可知a0； （2） 表示一个数或式的算术平方根，可知 0.,二次根式的双重非负性,归纳总结,解：,由题意可知a+3=0,b-2=0,c-1=0, 解得a=-3,b=2,c=1.,所以2a-b+3c= -32-2+31= -5.,利用二次根式的双重

7、非负性求字母的值,例1 若 ，求2a -b+3c的值.,提示：多个非负数的和为零，则可得每个非负数均为零.初中阶段学过的非负数主要有绝对值、偶次幂及二次根式.,已知|3x-y-1|和 互为相反数，求x+4y的平方根,解：由题意得3x-y-1=0且2x+y-4=0 解得x=1，y=2 x+4y=1+24=9， x+4y的平方根为3.,二次根式的双重非负性和不等式求字母的值,例2 已知实数x、y满足等式 ， 求x2-2xy+y2的值.,解：,由题意得 解得：x=3. 把x=3,代入得y=-5. 所以x2-2xy+y2=(x-y)2=(3+5)2=64.,已知y = ,求3x+2y的算术平方根.,解

8、：由题意得 x=3，y=8， 3x+2y=3328=25. 25的算术平方根为5， 3x+2y的算术平方根为5,C,1.使 有意义的x的取值范围是（） Ax3 Bx3 Cx3 Dx3,A,2.若式子 在实数范围内有意义，则x的取值范围是（） Ax1且x2 Bx1 Cx1且x2Dx1,3.若 在实数范围内有意义，则x的取值范围在数轴上表示正确的是（） A B C D,D,A,D,-1,3.当x=_时，二次根式 取最小值，其最小值 为_,0,1.下面的式子是二次根式的是() A. B. C. D. a,2.二次根式 中的x的取值范围是（） Ax2Bx2Cx2Dx2,4.(1)若式子 在实数范围内有

9、意义，则x的取值 范围是_;,(2)若式子 在实数范围内有意义，则x的取值范围是_.,x 1,x 0且x2,5.(1)若二次根式 有意义，求m的取值范围,解：由题意得m-20且m2-m-20， 解得 m2且m-1，m2，,(2)无论x取任何实数，代数式 都有意义，求 m的取值范围,解：由题意得x2+6x+m0，即(x+3)2+m-90.,m2,(x+3)20，,m-90，即m9.,已知a，b为等腰三角形两条边长，且a，b满足 ，求此三角形的周长,解：由题意得 a=3， b=4. 当a为腰长时，三角形的周长为3+3+4=10； 当b为腰长时，三角形的周长为4+4+3=11,先阅读，后回答问题：

10、当x为何值时， 有意义？ 解：由题意得x(x-1)0 由乘法法则得 解得x1 或x0 即当x1 或x0时， 有意义.,体会解题思想后，试着解答：当x为何值时， 有意义？,解：由题意得 则 解得x2或x ， 即当x2或x 时， 有意义,二次根式有意义的条件和非负性,二次根式的定义,在有意义条件下求字母的取值范围,抓住被开方数必须为非负数，从而建立不等式或不等式组求出其解集,二次根式的双重非负性,二次根式 中,a0且 0,形如 的式子叫做二次根式,课后作业,作业 内容,教材作业,从课后习题中选取,自主安排,配套练习册练习,16.1 二次根式（第2课时）,人教版 数学 八年级 下册,【思考】下列数字

11、谁能顺利通过下面两扇门进入客厅？,算术平方根之门,平方之门,0,-4,-1,a,a0,1,【思考】若下列数字想从客厅出来，谁能顺利通过两扇门出来呢？,算术平方根之门,平方之门,0,-4,-1,1,16,4,1,a,a为任意数,【想一想】 你发现了什么？,2. 会运用二次根式的两个性质进行化简计算.,素养目标,1. 经历探索性质 = a（a0）和 = a（a0）的过程，并理解其意义，体验归纳、猜想的思想方法.,3. 了解代数式的概念，进一步体会代数式在表示数量关系方面的作用.,（2）什么是一个数的算术平方根？如何表示？,（1）什么叫做一个数的平方根？如何表示？,一般地，若一个数的平方等于a，则这

12、个数就叫做a的平方根.,若一个正数的平方等于a，则这个数就叫做a的算术平方根.,a的平方根是,用 (a0)表示.,（1）填空：,（2）通过（1）的计算，你能确定( )（a0）的化简结果吗？说说你的理由.,4,0,2,是4的算术平方根，根据算术平方根的意义， 是一个平方等于4的非负数，因此有( ) =4.,同理， 分别是 的算术平方根. 因此 , ,( )=2,( )=,( )=0,的性质：,一般地， a (a 0).,即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身.,注意：不要忽略 a0 这一限制条件.这是使二次根式 有意义的前提条件.,归纳：,例1 计算：,解：,积的乘方： （ab）2=a2b2,

13、（1） ； （2） .,（1） ;,（2）,解:,（1） ;,（2）,解：,总结：本题逆用了 在实数范围内 分解因式.,（1） ;,（2） .,在实数范围内分解因式：,（1）x2-11; (2)x4-14x2+49.,解：（1）x2-11 =(x+ )(x- );,(2) x4-14x2+49 =(x2-7)2 =(x- )2(x+ )2.,2,0.1,0,化简下列根式，想一想,化简后，你能确定 的化简结果吗？,.,平方运算,算术平方根,2 0.1 0 .,a(a0),2 .,观察两者有什么关系？,填一填：,a (a0).,.,平方运算,算术平方根,-2 -0.1 .,2 .,观察两者有什么关

14、系？,a(a0),【猜一猜】当a0时， =,？,-a,a (a0),-a (a0),即任意一个数的平方的算术平方根等于它本身的绝对值.,归纳：,的性质：,解：,警示： 而3.14，要注意a的正负性.,(1) ;,(2) ;,(3) ;,(4) .,【讨论】（1）在 中，可否去掉“a0”？如果去掉“a0”,结论将会发生怎样的变化？（2）第二小题中的 能否直接使用性质 进行化简？,计算 一般有两个步骤:,去根号及被开方数的指数,写成绝对值的形式,即 ;,去掉绝对值符号,即 .,请同学们快速分辨下列各题的对错,（ ）,（ ）,（ ）,（ ）,3,7,4,81,0.6,10-3,【议一议】如何区别 与

15、 ？,从运算顺序看,从取值范围看,从运算结果看,先开方,后平方,先平方，后开方,a0,a取任何实数,a,|a|,意义,表示一个非负数a的算术平方根的平方,表示一个实数a的平方的算术平方根,解：由数轴可知a0，b0，a-b0， 原式=|a|-|b|+|a-b| =-a-b-（a-b） =-2a.,例2 实数a、b在数轴上的对应点如图所示，请你化简:,实数a在数轴上的位置如图所示，化简 的结果是 .,1,实数a,b在数轴上对应点的位置如图所示, 化简 的结果是() A.-2a+b B.2a-b C.-b D.b,A,（1）含有数或表示数的字母； （2）用基本运算符号连接数或表示数的字母,代数式的定

16、义,用基本运算符号（基本运算包括加、减、乘、除、乘方和开方）把 或 连接起来的式子，我们称这样的式子为代数式.,数,表示数的字母,【想一想】到现在为止，初中阶段所学的代数式主要有哪几类？,代数式,整式,分式,二次根式,归纳：,例1 下列式子:(1)x; (2)a-b; (3) ;(4) ; (5)m=1+n;(6)2x1;(7)-2.其中是代数式的有() A.4个 B.5个 C.6个D.7个,B,下列式子是代数式的有 ( ),a2+b2 ; ; 13; x=2; 3（4 5）; x10; 10 x+5y=15 ; ,A.3个 B.4个 C.5个 D.6个,C,解：（1）船在这条河中顺水行驶的速

17、度是 km/h，逆水行驶的速度是 km/h,（2）设贺卡的长为5x,则宽为3x.依题意得15x2=S，所以 所以它的长为,列代数式的要点： 要抓住关键词语，明确它们的意义以及它们之间的关系，如和、差、积、商及大、小、多、少、倍、分、倒数、相反数等； 理清语句层次明确运算顺序； 牢记一些概念和公式,如图，是一个圆形挂钟，正面面积为S，用代数式表示出钟的半径为_.,4,2.下列等式正确的是（） A B C D,A,1.计算 的结果是_,C,2. 当1x3时， 的值为（ ） A.3 B.-3 C.1 D.-1,D,B,3.在下列各式中，不是代数式的是（） A.7 B.32 C. D,1.化简 的结果

18、是（） A2 B2 C2 D4,4.计算：,解:,（1） ; （2） ; （3） ; （4） .,（1） ;,（2） ;,（3） ;,（4） .,5.在实数范围内分解因式：,解：,（1）x2-3;,(2)y4-4y2+4.,（1）x2-3 = ;,(2)y4-4y2+4 =(y2-2)2,=,= .,实数a、b在数轴上的对应点如图所示， 化简： .,解：根据数轴可知ba0， a+2b0，a-b0， 则 =|a+2b|+|a-b| =-a-2b+a-b=-3b,已知a、b、c是ABC的三边长，化简：,解：a、b、c是ABC的三边长， a+b+c0，b+ca，b+ac， 原式=|a+b+c|-|b

19、+c-a|+|c-b-a| =a+b+c-（b+c-a）+（b+a-c） =a+b+c-b-c+a+b+a-c =3a+b-c,分析：,利用三角形三边关系,三边长均为正数，a+b+c0,两边之和大于第三边，b+c-a0，c-b-a0,二次根式,性质,拓展性质,（a为全体实数）,课后作业,作业 内容,教材作业,从课后习题中选取,自主安排,配套练习册练习,16.2 二次根式的乘除 （第1课时）,人教版 数学 八年级 下册,某手机操作系统的图标为圆角矩形，长为 cm，宽为 cm，则它的面积是多少呢？,1. 掌握二次根式乘法法则.,2. 会运用二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质进行简单运算.,素

20、养目标,(1) = _=_;,=_;,计算下列各式:,2,3,6,4,5,20,5,6,30,观察两者有什么关系？,二次根式的乘法,(2) = _=_;,(3) = _=_;,=_;,=_.,观察三组式子的结果，我们得到下面三个等式：,(1),(2),(3),你发现了什么规律？你能用字母表示你所发现的规律吗？,猜测：,不成立！,【思考】,成立吗？,因此被开方数a，b需要满足什么条件？,a，b是非负数，即a0,b0.,语言表述： 算术平方根的积等于各个被开方数积的算术平方根.,二次根式的乘法法则是:,二次根式相乘，_不变，_相乘.,根指数,被开方数,注意：a,b都必须是非负数.,例1 计算:,解

21、:,简单的二次根式的乘法运算,（1） ; （2） .,(1) ;,(2) .,【想一想】下边的式子如何运算？,解:,总结：只需其中两个结合就可实现转化进行计算，说明二次根式乘法法则同样适合三个及三个以上的二次根式相乘（ ）,A. B.4 C. D.2,C,B,20,计算 的结果是 ( ),计算： _.,【思考】你还记得单项式乘单项式法则吗？,试回顾如何计算4a25a4= .,20a6,例2 计算:,解:,因数不是1二次根式的乘法运算,总结：当二次根式根号外的因数不为1时，可类比单项式乘单项 式的法则计算，即 .,（1） ; （2） .,(1),(2),归纳总结,二次根式的乘法法则的推广：,多个

22、二次根式相乘时此法则也适用，即,当二次根号外有因数(式)时，可以类比单项式乘单 项式的法则计算，即根号外的因数(式)的积作为根号外的因数(式)，被开方数的积作为被开方数，即,计算：,解：,=2018=360;,(1) ; (2) .,(2),(1),解：(1)方法一： ， ，,方法二： ， ，,二次根式的大小比较,例3 比较大小:（1） 与 ;, ，, ，,即 .,又2027，,又2027，,即 .,解：(2) ， ， 又5254， ， ,即,两个负数比较大小，绝对值大的反而小,（2） 与 .,比较两个二次根式大小的方法：,(1)被开方数比较法，即先将根号外的非负因数移到根号内，当两个二次根式

23、都是正数时，被开方数大的二次根式大,(2)平方法，即把两个二次根式分别平方，当两个二次根式都是正数时，平方大的二次根式大,(3)计算器求近似值法，即先利用计算器求出两个二次根式的近似值，再进行比较,比较下列各组数的大小: (1) 和 ;(2) 和 .,（ ）2 （ ）2 ,又9899,即 .,又 , .,我们可以运用它来进行二次根式的化简.,语言表述：积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积.,二次根式的乘法法则的逆用,例1 化简：,（1） ；（2） ,(2)中4a2b3含有像4，a2，b2，这样开的尽方的因数或因式，把它们开方后移到根号外.,利用二次根式的乘法法则的逆用计算,=,解：（

24、1）,= 4 9,=36;,（2）,=,=,= .,化简:,提示： 化简二次根式，就要把被开方数中的平方数（或平方式）从根号里开出来.,（1） ;,（2） ;,（3） .,解:,（1）,（2）,（3）,;,.,例2 计算：,（1） ；（2） ；（3） ,解：（1）,（2）,（3）,;,;,.,化简二次根式的步骤：,1.把被开方数分解因式(或因数) ；,2.把各因式(或因数)积的算术平方根化为每个因式(或因 数)的算术平方根的积；,3.如果因式中有平方式(或平方数)，应用关系式 把这个因式(或因数)开出来，将二次根式化简 .,计算：（1） ;,解：原式=,=30;,（2） .,解：原式=,B,（

25、） A B4 C D,1.下面计算结果正确的是 ( ),A. B. C. D.,D,2.若 ，则（） Ax6 Bx0 C0 x6 Dx为一切实数,A,4. 比较下列两组数的大小（在横线上填“” “” 或“=”）：,3. 计算：,（1） =_;,（2） =_;,（3） =_.,（1） _ ;,（2） _ .,5. 计算：,解：,（1） ;,（2） .,（1）,=1213,=156;,=a2.,（2）,6.计算：,（1） ;,（2） .,（2）,;,1.下面是意大利艺术家列奥纳多达芬奇所创作世界名画，若长为 ，宽为 ，求出它的面积.,解：它的面积为,2.设长方形的面积为S，相邻两边分别为a,b.,

26、(1)已知 , ，求S；,解： S = ab =,（2）已知 , ，求S.,=,（1）,=240.,=,= ;,=,=,（1） ；（2） ,1. 化简：,解：（1）,（2）,2.已知 试着用a, b表示 .,解：,又,二次根式乘法,法则,性质,拓展法则,课后作业,作业 内容,教材作业,从课后习题中选取,自主安排,配套练习册练习,16.2 二次根式的乘除 （第2课时）,人教版 数学 八年级 下册,站在水平高度为h米的地方看到可见的水平距离为d米，它们近似地符合公式为 .,解：,问题1 某一登山者爬到海拔100米处，即 时，他看到的水平线的距离d1是多少？,问题2 该登山者接着爬到海拔200米的山

27、顶，即 时，此时他看到的水平线的距离d2是多少？,问题3 他从海拔100米处登上海拔200米高的山顶，那么他看到的水平线的距离是原来的多少倍？,解：,解：,【思考】乘法法则是如何得出的？二次根式的除法该怎样算呢？除法有没有类似的法则？,2. 会运用除法法则及商的算术平方根进行简单运算.,1. 掌握二次根式的除法法则，会用法则进行计算.,素养目标,3. 理解最简二次根式的概念，能熟练地将二次根式化为最简二次根式.,(1) _=_;,= _;,计算下列各式:,(2) _=_;,(3) _=_;,= _;,= _.,2,3,4,5,6,7,观察两者有什么关系？,观察三组式子的结果，我们得到下面三个等

28、式：,(1),(2),(3),猜想 通过上述二次根式除法运算结果，联想到二次根式乘法运算法则，你能说出二次根式 的结果吗？,特殊,一般,在前面发现的规律 中，a,b的取值范围有没有限制呢？,a,b同号就可以啦,二次根式的除法法则:,文字叙述:,算术平方根的商等于被开方数商的算术平方根.,当二次根式根号外的因数(式)不为1时，可类比单项式除以单项式法则，易得,例1 计算：,解:,利用二次根式的除法法则计算根号外因数是 1的二次根式,提示：像（2）中除式是分数或分式时，先要转化为乘法 再进行运算.,（1） ;,（2） .,（1）,（2）,计算：,解：,（1） ;,（2） ;,（3） .,（1） ;

29、,（2） ;,（3）,解:,提示：类似(2)中被开方数中含有带分数，应先将带分数化成 假分数，再运用二次根式除法法则进行运算.,利用二次根式的除法法则计算根号外因数不是 1的二次根式,例2 计算:,（1） ;,（2） .,（1） ;,（2）,计算，看谁算的既对又快.,（1）,（2）,（3）,（4）,;,;,;,.,我们可以运用它来进行二次根式的化简.,语言表述：商的算术平方根，等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根.,我们知道，把二次根式的乘法法则反过来就得到积的算术平方根的性质.,类似地，把二次根式的除法法则反过来，就得到,二次根式的商的算术平方根的性质:,解:,补充解法：,（1）,（2

30、）,解：,提示：像（5）可以先用商的算术平方根的性质，再运用积的算术平方根性质.,（3） ;,（4） ;,（5） .,（3）,（4）,（5）,C,能使等式 成立的条件是 ( ) A. x0 B. 3x0 C. x3 D. x3或x0 化简：,（1） =_;,（2） =_;,（3） =_;,（4） =_.,解：（1）,（2）,最简二次根式,问题2观察上面各小题计算的最后结果并思考： （1）你觉得这些结果能否再化简，它们是否已经最简了？ （2）这些结果有什么共同特点，类比最简分数，你认为一个二次根式满足什么条件就可以说它是最简了？,归纳总结,最简二次根式应满足的条件： (1)被开方数不含分母或分母

31、中不含_； (2)被开方数中不含_的因数或因式. 注：当被开方数是整式时要先判断是否能够分解因式，然后再观察各个因式的指数是否是2(或大于2的整数)，若是则说明含有能开方的因式，不满足条件，不是最简二次根式.,二次根式,开得尽方,解:,分母有理化,总结：分母形如 的式子，分子、分母同乘以 可使 分母不含根号.,（2）,（3）,（1）,化成最简二次根式的一般方法:,(1)将被开方数中能开得尽方的因数或者因式进行开方, 如 ;,(2)若被开方数中含有带分数,应先将带分数化成假分数,再去分母,并将能开得尽方的因数或者因式进行开方,如 ;,(3)若被开方数中含有小数,应先将小数化成分数后再进行化简,如

32、 .,在下列各式中，哪些是最简二次根式？哪些不是？对不是最简二次根式的进行化简,解：只有(3)是最简二次根式；,（1） ; （2） ; （3） ; （4） ;（5） .,(1),(4),(2),(5),设长方形的面积为S,相邻两边长分别为a,b.已知 ，求a的值.,解:,高空抛物现象被称为“悬在城市上空的痛”据报道：一个30g的鸡蛋从18楼抛下来就可以砸破行人的头骨，从25楼抛下可以使人当场死亡据研究从高空抛物时间t和高度h近似的满足公式 .从100米高空抛物到落地所需时间t2是从50米高空抛物到落地所需时间t1的多少倍？,解:由题意得,2.下列式子中，为最简二次根式的是（） A B C D,

33、B,1.化简 的结果是（） A9 B3 C D,B,2.下列根式中，最简二次根式是（） A. B. C. D.,C,3.能使等式 成立的x的取值范围是（ ） A.x2 B.x0 C.x2 D.x2,C,4.化简：,解：,（1） ;,（2） ;,（3） .,（1）,（2）,（3）,在物理学中有公式W=I2Rt，其中W表示电功(单位：焦耳)，I表示电流(单位：安培)，R表示电阻(单位：欧姆)，t表示时间(单位：秒)，如果已知W、R、t，求I，则有 .若W=2400焦耳，R=100欧姆，t=15秒试求电流I,解：当W=2400，R=100，t=15时，,（安培）.,自习课上，张玉看见同桌刘敏在练习本

34、上写的题目是“求二次根式 中实数a的取值范围”，她告诉刘敏说：你把题目抄错了，不是“ ”，而是“ ”刘敏说：哎呀，真抄错了，好在不影响结果，反正a和a-3都在根号内试问：刘敏说得对吗？,按 计算，则a0，a-30或a0，a-30,解得a3或a0；,解：刘敏说得不对，结果不一样理由如下：,而按 计算，则a0，a-30,解得a3,二次根式除法,法则,性质,拓展法则,相关概念,分母有理化,最简二次根式,课后作业,作业 内容,教材作业,从课后习题中选取,自主安排,配套练习册练习,16.3 二次根式的加减 （第1课时）,人教版 数学 八年级 下册,有八只小白兔，每只身上都标有一个最简二次根式，你能根据被

35、开方数的特征将这些小白兔分到四个不同的栅栏里吗？,1. 理解二次根式可以合并的条件.,3. 能熟练地进行二次根式的加减法运算.,素养目标,2. 类比整式的合并同类项，掌握二次根式的加减运算法则.,a,a,a,a,a,a,a,a,a,a,=,+,在七年级我们就已经学过单项式加单项式的法则.观察下图并思考.,由上图，易得2a+3a=5a.,当a= 时，分别代入左右得 ; 当a= 时，分别代入左右得 ;.,二次根式可以合并的条件,因为 ，由前面知两者可以合并.,当a= ,b= 时，得2a+3b= .,a,2a+3b,b,=,+,b,b,a,前面依次往下推导，由特殊到一般易知二次根式的被开方数相同可以

36、合并.继续观察下面的过程：,你又有什么发现吗?,归纳总结,将二次根式化成最简二次根式，如果被开方数相同，则这样的二次根式可以合并.,注意：1.判断几个二次根式是否可以合并，一定都要化为最简二次根式再判断;,2.合并的方法与合并同类项类似，把根号外的因数(式)相加，根指数和被开方数(式)不变.如：,下列各式中，与 是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D.,D,下列二次根式，不能与 合并的是_(填 序号）.,例 若最简二次根式 与 可以合并，求 的值.,解：由题意得 即,提示：可以合并的二次根式中字母取值的方法：利用被开方数相同，根指数都为2列关于字母的方程（组）求解即可.,解得,1,（1

37、） 与最简二次根式 能合并，则m =_.,1,完成下列各题：,（2）若两个最简二次根式 与 可 以合并,则a=_，b=_.,1,现有一块长7.5dm、宽5dm的木板，能否采用如图的方式，在这块木板上截出两个面积分别是8dm2和18dm2的正方形木板？,7.5dm,5dm,【讨论】 1. 怎样列式求两个正方形边长的和?,S=8dm2,S=18dm2,二次根式的加减,【讨论】2.所列算式能直接进行加减运算吗?如果不能,把式中各个二次根式化成最简二次根式后，再试一试(说出每步运算的依据）.,（化成最简二次根式）,（逆用分配律）,在这块木板上可以截出两个分别是8dm2和18dm2的正方形木板,解：列式

38、如下：,化为最简 二次根式,用分配 律合并,整式 加减,二次根 式性质,分配律,整式加 减法则,依据：二次根式的性质、分配律和整式加减法则.,基本思想：把二次根式加减问题转化为整式加减问题,归纳总结,二次根式的加减法法则:,一般地，二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并.,(1)化将非最简二次根式的二次根式化简；,加减法的运算步骤：,(2)找找出被开方数相同的二次根式；,(3)并把被开方数相同的二次根式合并.,“一化简二判断三合并”,解：,例1 计算:,二次根式的加减计算,（1） ;,（3） ;,（4） .,（1）,（2） ;,（2）,（3）,（4

39、）,下列计算正确的是 （） A. B. C. D.,C,已知一个矩形的长为 ,宽为 ，则其周长为_.,例2 计算:,解：,二次根式的加减混合运算,（1） ;,（2） .,（1）,（2）,解：原式,解：原式,;,.,例3 有一个等腰三角形的两边长分别为 ，求其周长.,解：当腰长为 时， 此时能构成三角形，周长为 当腰长为 时， 此时能构成三角形，周长为,二次根式的综合性题目,如图，两个圆的圆心相同，它们的面积分别是8cm2和18cm2，求圆环的宽度d(两圆半径之差).,解：,答：圆环的宽度d为 cm.,B,1.下列二次根式中能与 合并的是（） A B C D,2. 计算： （） A B C3 D

40、,A,D,2.下列计算正确的是 （） A. B. C. D.,C,1.与 能合并的二次根式是( ) A. B. C. D.,3.三角形的三边长分别为 则这个三角形的周长为_.,4.计算:,解：,5.计算:,(1) ;,(2) .,(1),(2),;,.,6.如果最简二次根式 与 可以合并，那么要使式子 有意义，求x的取值范围.,解：由题意得3a-8=17-2a, a=5， 20-2x0，x-50， 5x10.,已知a,b,c满足 . (1)求a,b,c的值； (2)以a,b,c为三边长能否构成三角形？若能构成三角形，求出 其周长；若不能，请说明理由.,解：(1)由题意得 ；,(2)能.理由如下

41、：, 即acb，,又 a+cb，,能够成三角形，周长为,已知a，b都是有理数，现定义新运算：a*b= ，求（2*3）（27*32）的值,解：a*b= ， （2*3）（27*32） = = =,二次根式加减,法则,注意,运算顺序,运算原理,一般地，二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并.,运算律仍然适用,与实数的运算顺序一样,课后作业,作业 内容,教材作业,从课后习题中选取,自主安排,配套练习册练习,16.3 二次根式的加减 （第2课时）,人教版 数学 八年级 下册,如何进行单项式与多项式相乘的运算？,你能用字母表示这一结论吗？,思路：,单多,单单,

42、【讨论】若把字母a,b,c,m都用二次根式代替(每个同学任选一组)，然后对比归纳，你们发现了什么？,2. 掌握二次根式的运算方法，明确数的运算顺序、运算律及乘法公式在二次根式运算中仍然适用.,1. 正确运用二次根式的性质及运算法则进行二次根式的混合运算.,素养目标,二次根式的加、减、乘、除混合运算与整式运算一样，体现在：运算律、运算顺序、乘法法则仍然适用.,例1 计算：,解：,二次根式的混合运算,考查二次根式的多项式与单项式乘除运算能力,（1） ;,（2） .,（1）,（2）,计算：（1） ; （2） .,(2)原式,.,例2计算：,【思考】（1）中，每一步的依据是什么？ 第一步的依据是：多项

43、式乘多项式法则； 第二步的依据是：二次根式化简，合并被开方数 相同的二次根式； 第三步的依据是：合并同类项,（1）,计算：,（1） ;,（2） .,（2）,回顾提问1 整式乘法运算中的乘法公式有哪些?,平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2;,完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2;,(a-b)2=a2-2ab+b2.,回顾提问2 整式的乘法公式对于二次根式的运算也适用吗?,利用乘法公式计算二次根式,前面我们已经知道二次根式运算类比整式运算，所以适用.,例1 计算：,解：,考查利用乘法公式计算二次根式的能力,（1） ;,（2） .,（1）,（2）,;,拓展计算：,解：(1)原式,

44、(2)原式,（1） ;,（2） .,计算：,（1） ;,（2） .,（2）,例2 已知 试求x2+2xy+y2的值.,解： x2+2xy+y2=（x+y)2,把 代入上式得,原式=,有关代数式的二次根式运算,解: ，,已知 ，求x3y+xy3.,在前面我们学习二次根式的除法法则时，学会了怎样去掉分母的二次根式的方法，比如:,【思考】 如果分母不是单个的二次根式，而是含二次根式的式子，如： 等，该怎样去掉分母中的二次根式呢？,分母有理化,例 计算:,解:,提示：分母形如 的式子，分子、分母同乘以 的式子，构成平方差公式，可以使分母不含根号.,（1） ;,（2） .,（1）,（2）,已知 ,求 .

45、,解:,3,1. 计算 的结果等于_,2. 下列各数中与 的积是有理数的是（） A B2 C D,D,连接中考,1.下列计算中正确的是（ ）,B,2.计算：,5,3.设 则a b(填“”“ ”或 “= ”）.,=,4.计算：,解：,（1） ;,（2） ;,（1）,（2）,（3） ;,（4） ;,解：原式=,=9-3,=6;,解：原式=,（5） .,解：原式,;,解：(1)原式,(2)原式,5.计算：,（1） ;,（2） .,甲、乙两个城市间计划修建一条城际铁路， 其中有一段路基的横断面设计为上底宽 m ，下底宽 m，高 m 的梯形，这段路基长 500 m，那么这段路基的土石方 (即路基的体积,

46、其中路基的体积=路基横断面面积路基的长度)为多少立方米呢？,解：路基的土石方等于路基横断面面积乘以路基的长度，所以这段路基的土石方为：,答：这段路基的土石方为,1.已知 的整数部分是a,小数部分是b,求a2-b2的值.,解：,2.阅读下列材料，然后回答问题： 在进行类似于二次根式 的运算时，通常有如下两种方法将其进一步化简：,方法一：,方法二：,解：(1),(1)请用两种不同的方法化简： (2)化简：,(2),二次根式混合运算,乘法公式,化简求值,分母有理化,化简已知条件和所求代数式,(a+b)(a-b)=a2-b2,(a+b)2=a2+2ab+b2,(a-b)2=a2-2ab+b2,(x+a

47、)(x+b)=x2+(a+b)x+ab,课后作业,作业 内容,教材作业,从课后习题中选取,自主安排,配套练习册练习,17.1 勾股定理（第1课时）,人教版 数学 八年级 下册,数学家曾建议用这个图作为与“外星人”联系的信号.,1. 了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理.,2. 能用勾股定理解决一些简单问题.,素养目标,3. 通过用多种方法证明勾股定理，培养学生发散思维能力.,相传两千五百年前，一次毕达哥拉斯去朋友家作客，发现朋友家用砖铺成的地面反映直角三角形三边的某种数量关系，同学们，我们也来观察一下图案，看看你能发现什么数量关系？,勾股定理的认识与证明,2.由这

48、三个正方形A，B，C的边长构成的等腰直角三角形三条边长度之间有怎样的特殊关系？,【思考】1.三个正方形A，B，C 的面积有什么关系？,SA+SB=SC,（图中每个小方格是1个单位面积）,A中含有_个小方格，即 A的面积是 个单位面积,B的面积是 个单位面积,C的面积是 个单位面积,9,9,18,9,结论：图1中三个正方形A，B，C的面积之间的数量关系是:,SA+SB=SC,【讨论】1.三个正方形A，B，C 的面积有什么关系？,【讨论】2. SA+SB=SC在图2中还成立吗？,结论：仍然成立.,A的面积是 个单位面积,B的面积是 个单位面积,C的面积是 个单位面积,25,16,9,（图中每个小方

49、格是1个单位面积）,A,B,C,问题2 式子SA+SB=SC能用直角三角形的三边a、b、c来表示吗?,问题4 那么直角三角形三边a、b、c之间的关系式是:,至此，我们在网格中验证了:直角三角形两条直角边上的正方形面积之和等于斜边上的正方形面积，即SA+SB=SC .,a2 + b2 = c2,a2 + b2 = c2,问题1 去掉网格结论会改变吗？,问题3 去掉正方形结论会改变吗？,命题1：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b,斜边长为c，那么a2+b2=c2.,猜想：,拼图证明,是不是所有的直角三角形都具有这样的结论呢？光靠实验和猜想还不能把问题彻底搞清楚. 这就需要我们对一般的直角三角形

50、进行证明下面我们就一起来探究，看一看我国古代数学家赵爽是怎样证明这个命题的,以直角三角形的两条直角边a、b为边作两个正方形，把两个正方形如图1连在一起，通过剪、拼把它拼成图2的样子.你能做到吗？试试看.,赵爽拼图证明法：,小组活动：仿照课本中赵爽的思路，只剪两刀，将两个连体正方 形，拼成一个新的正方形.,b a,M,N,P,剪、拼过程展示：,“赵爽弦图”,S大正方形c2，,S小正方形(b-a)2,S大正方形4S三角形S小正方形，,证明：,毕达哥拉斯证法：请先用手中的四个全等的直角三角形按图示进行拼图，然后分析其面积关系后证明吧.,a2+b2+2ab=c2+2ab，,a2 +b2 =c2.,证明

51、：S大正方形=(a+b)2=a2+b2+2ab,S大正方形=4S直角三角形+ S小正方形 =4 ab+c2 =c2+2ab，,a,a,b,b,c,c,a2 + b2 = c2.,美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”.,如图，图中的三个三角形都是直角三角形，求证：a2 + b2 = c2.,证明：,勾股定理,如果直角三角形两直角边分别为a、b,斜边为c，那么,即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.,勾,股,弦,表示为：RtABC中，C=90,则 .,A,B,C,勾股定理给出了直角三角形三边之间的关系，即两直角边的平方和等于斜边的平方.,c,b,a,a2 + b2 =c2,a2=c2b2,

52、b2 =c2-a2,公式变形,求下列图中字母所表示的正方形的面积.,=625,=144,例1 如图，在RtABC中， C=90.,（1）若a=b=5,求c;,（2）若a=1,c=2,求b.,(2)据勾股定理得,利用勾股定理求直角三角形的边长,c,b,a,设直角三角形的两条直角边长分别为a和b，斜边长为c. （1）已知a=6，c=10，求b； （2）已知a=5，b=12，求c； （3）已知c=25，b=15，求a.,解：由勾股定理得52+122=c2 , c=13;,解：由勾股定理得62+b2=102, b=8;,解：由勾股定理得a2+152=252 , a=20.,a,c,b,a,b,c,（1

53、）若a：b=1：2 ，c=5,求a;,（2）若b=15，A=30,求a,c.,例2 在RtABC中， C=90.,x2+(2x)2=52，,解得,(2),因此设a=x,c=2x,根据勾股定理建立方程得,(2x)2-x2=152，,解得,提示：已知直角三角形两边关系和第三边的长求未知两边时，要运用方程思想设未知数，根据勾股定理列方程求解.,勾股定理和方程相结合求直角三角形的边长,（舍去）,（舍去）,求出下列直角三角形中未知边的长度：,解：（1）由勾股定理得：,=36+64,=100,x2=62+82,x=10;, x2+52=132, x2=132-52,=169-25,=144,x=12.,（

54、2）由勾股定理得：,1.在直角三角形中，若勾为3，股为4，则弦为（） A5 B6 C7 D8,A,2. 如图，点E在正方形ABCD的边AB上，若EB1，EC2， 那么正方形ABCD的面积为（） A B3 C D5,B,E,1. 若一个直角三角形的两直角边长分别为9和12，则斜边的长为（ ） A.13 B.17 C. 15 D.18,2.若一个直角三角形的斜边长为17，一条直角边长为15，则 另一直角边长为（ ） A.8 B.40 C.50 D.36,3.在RtABC中，C=90，若ab=34，c=100，则a= _，b = _.,C,A,60,80,4如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm,则正方形A，B，C，D的面 积之和为_cm2 ,49,在RtABC中，AB4，AC3，求BC的长.,解：本题斜边不确定，需分类讨论： 当AB为斜边时，如图， 当BC为斜边时，如图，,图,图,提示：当直角三角形中所给的两条边没