全国青年教师观摩大赛数学赛课一等奖作品：《无穷等比数列各项的和》教案及说明（上海李朝晖定稿）

1、无穷等比数列各项的和 教材：上海市教育出版社高中二年级第一学期第七章第八节授课教师：上海市复旦大学附属中学 李朝晖教学目标1. 理解无穷等比数列各项的和的意义；2. 利用无穷等比数列各项的和解决有关问题，特别是无限循环小数化分数的问题，对有理数有进一步清晰、完整的认识；3. 通过无穷等比数列各项的和概念的引入及其研究，初步形成研究数学问题的能力，对数学中出现的有关无穷的问题有一个初步的认识，并对解决无穷问题的方法有一个初步的了解.重点难点1. 无穷等比数列各项的和概念的引入以及定义的准确表述；2. 如何转变学生在认识无穷问题上一些感性认识的错误，比如等式的成立是否是准确的.教学过程一、引入课题

2、今天我们学习无穷等比数列各项的和.在小学，同学们学习过分数化小数，我们知道分数可以化成有限小数或无限循环小数.例如：，但是我们是怎样理解无限循环小数，怎样理解的呢？我想大家对此是不多加思考的，知道它就是.那么对于呢？你想到什么呢，它是什么意思，表示什么，等于多少，它是哪个数化成的，它是大于1，等于1，还是小于1？今天我们学习无穷等比数列各项的和，要从理论上根本解决这些问题.二、概念产生的过程我们已经学过无穷等比数列，但是什么是各项的和呢？我们先看一个具体的无穷等比数列.（1）求无穷等比数列，即：各项的和.分析：求数列各项的和，顾名思义，就是求数列全部项的和.无穷数列有无穷项，无穷项写也写不完，

3、怎样相加求和？很明显，这在传统算术意义上是无法相加求和的，是不存在和的.但是这个问题是数学发展过程中产生的一个新问题，是需要加以研究解决的.对于新问题，就要用新思维、新方法加以研究解决，与时俱进，有所创造.创造要有一定的基础，我们先回顾一下与这个问题有关的我们已知什么？我们已知的是数列的前项的和，下面我们就探讨与“各项和”的关系？求无穷数列各项的和，根据和的基本含义，是要把它们加起来，从前面开始加起来，它的基础是前项和，对于数列，.我们想像一直加下去能得到“和”，即“和”是存在的，是一个确定的数“”，那么前项和与“”的关系为：当愈来愈大时，就会接近、无限制地接近这个和“”.根据前面学习过的极限

4、的知识，这个和“”应该是前项和的极限.通过上面的分析：我们首先要明确什么是“无穷项的和”，即要赋予“无穷项的和”的意义（定义）.有了意义，才能讨论怎样计算，也就是给出计算方法.用已知刻画未知.我们已知的是前项和以及它的极限（如果极限存在）.未知的是无穷项的和.对于数列，已知，且.根据前面所认识到的前项和的极限与我们所探索的“各项和”的关系，我们有如下定义.对于无穷等比数列，我们定义为它的各项的和，记为，即.即：.（2）上升到一般的无穷等比数列，其中，），的极限不存在；） ，当，的极限不存在；当时：，所以：，即前项和的极限存在且等于.定义：对于的无穷等比数列，我们定义为它的各项的和，记为，即.三

5、、应用（1）无限循环小数的问题我们知道分数化小数，逆过来呢？是表示首项为，公比为的无穷等比数列数列各项的和，即.由此也可以看出我们定义的合理性.对于，是表示首项为，公比为的无穷等比数列数列各项的和，即.，.这两个等式的成立是准确的呢，还是近似的？即左边是否真的等于，还是近似等于，还是小于？对于这两个等式，同学们感觉上总认为等式左边小于右边，总觉得差一点.本质上同学们还是用有限来理解无限，通过今天的学习，我们要明确这两个等式的成立是准确的，因为这是根据无穷等比数列各项和的定义得到的.（2）例题例：正方形ABCD的边长为1，连接这个正方形各边的中点得到一个小的正方形；又连接这个小正方形各边的中点得

6、到一个更小的正方形；如此无限继续下去，求所有这些正方形的面积的和.解：设第个正方形的面积为，由条件：由题设，可得到：，进而：，所以，所有正方形的面积组成的数列是首项为1，公比为的无穷等比数列，故所有正方形的面积之和为：.四、总结1）本节课我们学习了“无穷等比数列各项的和”，是同学们第一次真正意义上碰到有关无穷的问题，也就是无穷个数相加.请同学们回去好好体会一下今天我们是如何处理有关无穷的问题，好好思考一下我们处理无穷问题的方法.2）作为“无穷等比数列各项的和”的应用，我们解决了无限循环小数的问题，也就是无限循环小数都可以化成分数，对有理数有了更清晰和完整的认识.教学设计说明1 教材分析我们使用

7、的是上海市二期课改的教材.本教材的特点是：新颖、知识面广、图文并茂、引人入胜.本章节教材内容翔实、主次分明，给了教师很大的发展空间.针对不同的学生有了更多不一样的适合学生的设计.无穷等比数列各项的和是数列与数列极限之后的内容，是数列学习中的一个重要的概念.求无穷等比数列各项和，是无穷级数求和的一个最简单的特例.对高中生来说，是从初等数学到高等数学过渡的一个重要桥梁.2 教学目标的设计遵循二期课改的“以学生发展为本”的理念，根据本校（上海市示范性高中）学生的特点：个性活泼，思维活跃，学习数学的积极性高，初步具有对数学问题进行合作探究的意识与能力，以及学生的现有数学知识的准备：已掌握了数列和数列极

8、限的概念及性质等，我设计了恰当的教学目标.通过本节课的学习，很重要的一个想法就是要同学们对无穷（或无限）有一个初步的认识，对在数学上如何处理无穷的问题有一个初步的了解.通过本节课的学习，另外一个想法就是通过新概念引入的过程，使同学们慢慢学会从一个问题的提出，到一个问题解决的过程，学会如何准确的描述一个数学对象，从学习的过程中提高自己的数学思维能力.总之在学习的过程中使学生“学会学习、学会思考”，加强对数学概念的学习和理解.3 教学过程的设计本节课是求无穷等比数列各项和，对高中生来说，是未见过的新问题、新概念，需要帮助思考、研究、理解，使之能正确建立新概念，不仅能理解掌握，而且能启发思维，促进以

9、后的学习，为可持续发展打下良好的基础.由于之前的求和都是求有限项的和，因此说到求和，无形之中就把有限项的求和的思想方法移植过去，影响正确理解无穷项和的定义以及它的必要性和合理性.为此，在教学过程的引入问题、分析问题、解决问题中强调了以下三点：1 在问题引入阶段中，通过学生熟悉的一些例子，强调求无穷项和是数学发展过程中客观产生的一个新问题，必须加以研究解决.引导学生积极思考，参与解决问题.2 在分析问题阶段中，强调在传统的算术求和概念里，求无限项的和是无法解决的，是不可能求出和来的，是不存在和的.不破不立，不破旧概念，难立新概念.3 在解决问题阶段中，用新思想、新方法研究新问题，从研究新问题的最基本的思想方法出发，用已知刻画未知，用有限刻画无限来加以研究解决.由于在传统算术意义上求无限项和是没有意义的，所以首先要给出定义（什么是、是什么），再寻找求法（怎么求），在教学过程中，这两个问题是同时得到解决的.在整个教学过程中，遵循学生的思维过程，引导学生自己发现问题、解决问题，并在此过程中形