数学建模 数码相机定位

1、.一 问题的提出1.1背景数码相机定位在交通监管（电子警察）等方面有广泛的应用。所谓数码相机定位是指用数码相机摄制物体的相片确定物体表面某些特征点的位置。最常用的定位方法是双目定位，即用两部相机来定位。对物体上一个特征点，用两部固定于不同位置的相机摄得物体的像，分别获得该点在两部相机像平面上的坐标。只要知道两部相机精确的相对位置，就可用几何的方法得到该特征点在固定一部相机的坐标系中的坐标，即确定了特征点的位置。于是对双目定位，精确地确定两部相机的相对位置就是关键，这一过程称为系统标定。标定的一种做法是：在一块平板上画若干个点， 同时用这两部相机照相，分别得到这些点在它们像平面上的像点，利用这两

2、组像点的几何关系就可以得到这两部相机的相对位置。然而，无论在物平面或像平面上我们都无法直接得到没有几何尺寸的“点”。实际的做法是在物平面上画若干个圆（称为靶标），它们的圆心就是几何的点了。而它们的像一般会变形，如图1所示，所以必须从靶标上的这些圆的像中把圆心的像精确地找到，标定就可实现。 图 1 靶标上圆的像有人设计靶标如下，取1个边长为100mm的正方形，分别以四个顶点（对应为A、C、D、E）为圆心，12mm为半径作圆。以AC边上距离A点30mm处的B为圆心，12mm为半径作圆，如图2所示。用一位置固定的数码相机摄得其像，如图3所示。图 2 靶标示意图 图3 靶标的像1.2问题（1） 建立数

3、学模型和算法以确定靶标上圆的圆心在该相机像平面的像坐标, 这里坐标系原点取在该相机的光学中心，x-y平面平行于像平面；（2） 对由图2、图3分别给出的靶标及其像，计算靶标上圆的圆心在像平面上的像坐标, 该相机的像距（即光学中心到像平面的距离）是1577个像素单位(1毫米约为3.78个像素单位)，相机分辨率为1024768；（3） 设计一种方法检验你们的模型，并对方法的精度和稳定性进行讨论；（4） 建立用此靶标给出两部固定相机相对位置的数学模型和方法。二 问题的假设1考虑光的衍射，色散，只考虑反射和折射； 2假设所有场景中感兴趣的点都在镜头前面； 3将相机简化为一个小孔成像机构，对于产生的相差，

4、以及相机对像平面成像的调整作用不予考虑； 4像平面是由一个个有大小的像素点组成，是一个不连续的点空间，而几何定义大都 是在连续空间内定义的，这里假定，在几何推理中，像平面是连续的面，也即每个 象素点除了表示坐标外，不再具有实际的大小； 5为了在离散空间中求解，在解答过程中对相切、相割的含义做了一些调整，具体论述见正文； 6对于题中随给相机中的几何关系有如下描述：焦点，透镜中心，像平面中点三点共三 符号说明四 问题分析问题涉及的是数码相机的定位问题，问题出现在双目定位的背景下，要解决的问题是如何实现物体表面某些特征点在物平面和像平面之间的坐标转换，其中如何在像平面中找到发生变形的靶标（圆）像的圆

5、心是需要解决的核心问题。 4.1 基本思路 题目中给出了已经得到的靶标的像和一些可测量的参数，如相机的像距，分辨率及靶标圆的半径和各圆之间的相对位置等。精确确定两部相机的相对位置是最终目的；实现物体表面某些特征点在物平面和像平面之间的坐标转换，是解决问题的基础；而像的变形决定了找到圆心在像上的投影是问题的核心也是难点。我们考虑先找出实现物体表面某些特征点在物平面和像平面之间的坐标转换的方法，在此基础上找到靶标圆心在像平面上的圆心的具体位置，然后通过坐标转换，把空间点从图像中恢复出来，最后根据两次恢复中求出的空间点位置的不一致关系，通过坐标系转换推出两部相机的相对位置。 4.2 具体分析 问题1

6、需要确定靶标上圆的圆心在相机像平面的像坐标。有两种方法可以考虑实现，第一是利用物与像之间某些不变的相对位置关系找到对应与圆心的像点； 另一种方法就是借助计算机图形处理中的霍夫变换和聚类算法在一定模型假设基础上求解。问题2主要是模型的求解。根据问题一中得到的模型和算法，具体的编制程序进行实现，具体用到的有matlab帮助求解。 问题3是对问题1中的模型以及模型2中的计算结果的检验。我们考虑通过在三维空 间内寻找另外一个摄影角度，数码相机在此角度可以得到图2的另外一个像，同时可以出在像平面内圆心的靶标的像坐标。利用问题1的模型和算法求得的圆心坐标与之进行比较，如果圆心坐标可以重合的很好，说明模型的

7、精度比较好；同时在本文中我们还对模型和算法的精度进行了初步的讨论。 问题4是需要找出可以确定两部固定相机相对位置的方法。我们借助该靶标在两部 相机的像平面中所成的像，求出其在像平面中的坐标，并通过逆变换，把空间点从像平面的二维图像中恢复到三维坐标系中，通过两次恢复得到的坐标之间的不一致关系确定出两部相机相对位置。五 模型的建立与求解1前期像图的转换处理 在本问题中，像平面是一个二维空间，相应的像素值即为空间内各点的横纵坐标。在图像平面坐标系统中。首先，我们通过边缘检测的方法确定靶标在像平面中各个圆像的边界。即通过检测每个像素和其直接邻域点灰度是否连续，以决定该像素是否确实处于一个物体的边界上。

8、因此，我们需要将像平面图转化为二维灰度图，当图像中各个像素的灰度发生很大的跳跃产生不连续时，这时出现像的边界，同时记下边界在相图平面中的坐标。两个具有不同灰度值的相邻区域之间总存在边缘，边缘是灰度值不连续的结果。边缘检测的基本思想是利用边缘增强算子，突出图像中的局部边缘，然后定义像素的“边缘强度”，通过设置门限的方法提取边缘点集。 具体操作步骤如下： 1：把二维像图读入MATLAB的变量中； 2：提取靶标图像的边界确定边缘的方法 3：靶标图像的边界是由若干个点组成的，各点坐标可以通过读取图像的过程获得。 常用的边缘检测算子有很多种，我们使用Sobel算子、Robert算子、Prewitt算子、LOG算子、Canny算子和Zerocross算子对图3中的靶标图像进行边缘检测和确定，结果如图。通过不同算子边缘提取效果比较，Sobel算子的效果最好，Zerocross效果最差，我们最终确定选用Sobel算子进行靶标像图的边缘检测，然后提取出图像的边界。通过边缘检测和边界提取，我们将图像从二维转化为边界线离散点， 实质上是一个降维操作过程，有利于模型的简化，同时减小计算量，