分式不等式的证明与方法

1、分式不等式的证明与方法摘要：分式不等式的证明是高中数学中的难点之一，本文主要通过作差法，利用基本不等式法，利用非负实数的性质，利用放缩法，环元法，构造法，类比法，局部不等式法来分析与 证明分式不等式，从而对分式不等式的证明有着整体的理解。通过方法与总结克服证明分式不等式的胆怯心理。关键词：分式不等式 证明方法 作差法 基本不等式法 构造法二利用基本不等式法 均值不等式即：利用不等式（）证明一类难度较大的分式不等式是很简捷的。例2.若且，则有证明:(1)当m=1时， ，所以有：=+s=n() (2)当m=2时, n综上，由（1）（2）知原不等式成立。排序不等式即，适用于对称不等式例3.设a,b,

2、c是正实数，求证： 证明：不妨设a则由排序不等式得： (1) (2)由（1）+(2)得2（），所以利用倒数不等式即:若0,则例4设都是锐角，求证：且取什么值时成立？证明：，不等式左边拆项得：=又由于由倒数不等式有:9所以原不等式成立当且仅当即时等号成立。利用柯西不等式法即利用来证明。例5、如果，nN,且n3,求证+0证明：原不等式等价于+由柯西不等式得：（-）+（-）+（-）+1+2+=当n3时，1所以+（5）利用Grammer法则，即把数学知识进行高初的有机结合是我们学习和对数学创新的一个重要目的例6.设0求证:证明：令设为未知数，显然此方程组的系数行列式D=，用分别替换D中的第i列得：,y

3、由Grammer法则有：,故有：=+=三零点法即利用非负实数的性质例7.设是正实数，且求证：证明：当时，不等式取等号，且 构造不等式即有：，令i=1,2,相互叠加，得：，因为，所以有四。利用放缩法 对于某些分式不等式，抓住其特点，将分子分母进行适当的放缩处理，就能收到意想不到的结果。例8.设a,b,c,d为任意正数，求证：证明：首先分母缩小以证明右式然后分母放大以证明左式 所以原不等式成立。五.换元法。常用的换元方法有局部代换，整体代换，三角代换。例9（W.Janous猜想） 设求证：证明:令原不等式左边为M,则,所以有： 因为，所以有：，故M0,当且仅当时等号成立，所以原不等式成立。（局部代

4、换）例10.已知a,b,c,d,且，求证：证明：设，则，又设，由，有，则有：，同理:,，（1）（2）（3）（4）得:即：所以有：代数不等式的三角代换，常利用同角万能公式将常数化为三角函数。整体代换例11 已知,且,求证：证明：由已知得:,设则有:且，所以： ，所以，所以：6 构造法 构造法通常是指构造函数，构造数列，构造对偶式，构造模型，构造向量等，这些都是证明分式不等式的有力工具。构造对偶式也叫配对法例12.已知a,b,c均为正数，求证: 证明：设则M-N=0即M=N,又，由基本不等式得：，所以有:,又M=N,故利用数列性质或公式证明分式不等式常显得新颖，别具一格。例13设，且满足求证：证明

5、：因为，所以有 由无穷等比数列求和公式得出数列的求和有： 构造模型例14.设x,y是正数，求证：证明:原不等式等价于不等式： 当时，等号成立，故左端为最小。可利用光学原理的最短线路模型构造图形，作线段，以BC的中点M为顶角，作直角三角形AMB,DMC，使AB=DC=1，则有，再设BC上任意一点P，令，连接AP,PD，根据光线直进为最短路线原理知：AM+MDAP+PD,有所以原不等式成立。 利用函数性质巧构造函数式例15 已知，且a+b+c=1，求证 证明：构造函数，易知在(0,1)上为增函数，所以对任意，有,则，分别令x=a,b,c，代入上式相加得：所以原不等式成立。 有一类分式不等式的证明在

6、数学竞赛中经常出现，它的特点是不等式的一边是形如的式子，通过构造向量并利用，可得到这类分式不等式的简捷证法，且构造向量的方法思路单一，操作方便。例16 已知，求证:证明：构造向量由有:平方整理后得：7 类比法 有的不等式难于找到证法，则多观察，多联想，多分析，多比较，利用相似思想来找出证明的方法。 例17任给13个实数，求证其中至少存在两个实数（记作:x,y）满足 分析:考虑到13与的联系，从结构看与三角的正切公式相似，又，故可以从此入手求证。 证明：设任给13个实数，记作，将等分成12个区间，则至少有两个角的终边落在同一区间（不落在y轴上),令这两个角分别为，则，再令，则。由于正切函数是增函

7、数，且有，所以 八 利用局部不等式证明分式不等式 对于一些和式，积式的分式不等式证明题，很多情况都无法从整体下手，往往需要先考虑局部式子的特征，想办法估计局部性质，导出一些局部不等式，最后再结合这些局部不等式，就会山穷水尽疑无路，柳暗花明又一村，很完美的达到证明的目的。 例18若a,b,c0,且a+b+c=1.求证：分析：这个和式分式不等式，要从整体下手有一定的困难，于是我们考虑局部不等式。并且很容易看出这个不等式是当且仅当时，取等号的，然后我们就可以尝试构造局部不等式。证明： （1）+（2）+（3）得:九用互叠法证明分式不等式 对于一类分式不等式的证明题，如果大胆地左右两边互叠相加，兴许产生意料不到的奇迹。 定理1.欲证明不等式PQ只需证明不等式P+Q2Q 例19.设求证： 证明：设，考察新不等式 显然P+Q2Q,依据定理1，知PQ，故原不等式成立。 (注：此处不能取等号，因为等号不能同时成立) 定理2：欲证明不等式,只需证明新不等式 例20.若，求证： 证明： ，即,所以原不等式成立这几种证明方法会让我们加深对分式不等式的理解，让我们对分式不等式不会再发愁，为证明分式不等式指明了捷径。参考文献：用“零件不等式”证明一类积式不等式 蒋明斌不等式的解题方法与技巧 苏勇 熊斌不等式 西南大学出版社一类竞赛题的新证法 滕曙霞数学奥林匹克标准教材 周沛