概率论与数理统计考试题及答案

1、一、填空题(每小题3分，共30分)1、“事件代B, C中至少有一个不发生”这一事件可以表示为.2、设 P(A) 0.7, P(AB) 0.3,则 P(AU B) .3、袋中有6个白球,5个红球，从中任取3个，恰好抽到2个红球的概率.4、设随机变量X的分布律为P(X k) a, (k 1,2丄，8),则a.85、设随机变量X在(2,8)内服从均匀分布，则P( 2X4) .6、设随机变量X的分布律为X2101Pk1811515515则Y X9、设总体X b 10,p ,X1,X2,L ,Xn是来自总体X的样本，则参数p的矩估计量为. 110、设X1,X2,X3是来自总体X的样本，？X1X2 X3是

2、E(X) 的无偏 3估计，则、(本题12分)甲乙两家企业生产同一种产品.甲企业生产的60件产品中有12 件是次品乙企业生产的50件产品中有10件次品.两家企业生产的产品混合 在一起存放，现从中任取1件进行检验.求：的分布律是.7、设随机变量 X服从参数为 的泊松分布,且已知E(X 1)(X2)1,则&设X1,X2,L ,X9是来自正态总体N( 2,9)的样本,X是样本均植，则X服从的分布是(1)求取出的产品为次品的概率；(2若取出的一件产品为次品，问这件产品是乙企业生产的概率、(本题12分)设随机变量X的概率密度为kx, 0x3Xf (x)2 -, 3 x 4(1确定常数k; (2)求X的分布

3、函数F(x);20, 其它(3)求 P 1 X 7 .2四、(本题12分)设二维随机向量(X,Y)的联合分布律为Y X01210.10.20.12a0.10.2试求：(1)a的值；X与丫的边缘分布律；X与丫是否独立？为什么？五、(本题12分)设随机变量X的概率密度为x, 0 x 1,2 x,1 x 2, 求 E X ,D X0,其他.六、（本题12分）设离散型随机变量X的分布律为xe小P（X x）, x 0,1,2丄,0x!其中 为未知参数，Xi,X2, ,Xn为一组样本观察值，求 的极大似然估计值.七、（本题10分）某种零件的尺寸方差为2 1.21,对一批这类零件检查6件得尺寸数据（毫米）:

4、32.56, 29.66, 31.64, 30.00, 21.87, 31.03设零件尺寸服从正态分布，问这批零件的平均尺寸能否认为是 32.50毫米（0.05）?(附：tg.025 52.5706,to25 62.4469,t0.025 72.3646,石.05 1.65,zq.025 1.96,V6 2.45、填空题(每小题3分，共30分)1、ABC 或 AuBuC2、0.63、c；c：CT或或110.36361x2|0144、15、-6、n1313Pki5557、18、N( 2,1)9、X106、(本题12分)甲乙两家企业生产同一种产品.甲企业生产的60件产品中有12 件是次品乙企业生产

5、的50件产品中有10件次品.两家企业生产的产品混合 在一起存放，现从中任取1件进行检验.求：(1)求取出的产品为次品的概率；(2若取出的一件产品为次品，问这件产品是乙企业生产的概率解 设A1, A2分别表示取出的产品为甲企业和乙企业生产 次品，则由已知有60650512P(A),P(A2),P(B|A)110 11110 1160(1)由全概率公式得,B表示取出的零件为1 10EE 102.分P(B) P(A)P(B|A) p(A2)p(B|A2)1 11 5 11 557分由贝叶斯公式得p(A2 B) p(A)P(BA2)P(B)5 111 5151112.分.、(本题12分)设随机变量X的

6、概率密度为kx,0x3f(x)2 2,3x40,其它(1确定常数k ; (2)求X的分布函数F (x); (3)求P 1 X -2解(1)由概率密度的性质知3f(x)dx kxdxdx9k1故k 3.分.6x(2)当x0时,F(x)f (t)dt 0;当0x 3时,F(x)xf(t)dtx1tdt12 xJ0 612当3x 4时,F(x)xf(t)dt31 tdtx2-dt-x2 2x 3063244时，F(x)x314t当xf(t)dt 0tdt2dt 1 ;6 32故X的分布函数为0,x 01 2x,0 x3F(x)129分.1 22x3,3 xx441,x 47715 14112 分.(

7、3) P 1X -FF(1)2216 1248四、(本题12分)设二维随机向量(X,Y)的联合分布律为Y X01210.10.20.12a0.10.2试求:(1) a的值；(2)X和丫的边缘分布律；(3)X与丫是否独立？为什么？ 解(1)由分布律的性质知01. 0.2 0.1 a 0.1 0.2 1X0 1 2P0.4 0.3 0.3Y1 2P0.4 0.6(3)由于P X 0,Y 10.1,P X 0 P Y(X,Y)分别关于X和丫的边缘分布律为P X 0,Y1 P X 0 P Y 1故 a 0.34.分6.分8.分10.4 0.4 0.16，故x, 0 x 1,f X2 x,1 x 2,0

8、,其他.求 E X , DX .解 E(X)1 2xf (x)dx 0 x dx13 221 32x3x(2 x)dxxx1.1303 16.分E(X2)2 n -0 得？ 一xixn i 1 3x2f (x)dx ox3dx2 27x2(2 x)dx 1 69.分.D(X)E(X2) E(X)2：.612.分.五、（本题12分）设随机变量X的概率密度为六、（本题12分）设离散型随机变量X的分布律为x 0,1,2,L ,0XeP(X x)所以X与Y不相互独立12.分x!其中为未知参数,X1,X2,Xn为一组样本观察值，求的极大似然估计值.解似然函数1Xi!对数似然函数In LInXiIn1Xi

9、!6.分&分10.分d I n Ld解似然方程如dXii 1所以 的极大似然估计值为? X12分七、（本题10分）某种零件的尺寸方差为2 1.21,对一批这类零件检查6件得尺寸数据（毫米）：32.56, 29.66, 31.64, 30.00, 21.87, 31.03设零件尺寸服从正态分布，问这批零件的平均尺寸能否认为是32.50毫米(0.05)?(附:to.025 52.57O6,to.o25 62.4469,to.o25 72.3646,Z0.05 1.65,z0.o251.96)解 总体X N , 2，总体方差已知，检验总体期望值是否等于32.50.（1）提出待检假设H。：032.50;比：032.501.分.X 选取统计量Z. 0 ,在H。成立的条件下ZN（0,1） 2.分./ Jn(3) 对于给定的检验水平0.05,查表确定临界值Z /2Z0.025 1.96于是拒绝域为 W(, 1.96)U(1.96,).(4) 根据样本