山东专用2021新高考数学一轮复习第七章立体几何7.2空间几何体的表面积与体积学案含解析

1、第二节空间几何体的表面积与体积课标要求考情分析了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式1.本节内容是高考中的重点内容，涉及空间几何体的表面积与体积的计算等内容2命题形式主要以选择题、填空题为主，主要考查空间几何体表面积与体积的计算，同时着重考查空间几何体的结构特征等内容，解题要求有较强的空间想象能力和计算能力，广泛应用转化与化归思想.知识点一空间几何体的表面积1多面体的表面积多面体的各个侧面都是平面，则多面体的侧面积就是所有侧面的面积之和，表面积是侧面积与底面面积之和2圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式圆台、圆柱、圆锥的转化当圆台的上底面半径与下底面半径相等时，得到圆柱；当圆台的上

2、底面半径为零时，得到圆锥，由此可得：s圆柱侧知识点二空间几何体的表面积与体积公式1思考辨析判断下列结论正误(在括号内打“”或“”)(1)锥体的体积等于底面面积与高之积()(2)两个球的体积之比等于它们的半径比的平方()(3)台体的体积可转化为两个锥体的体积之差()(4)已知球o的半径为r，其内接正方体的边长为a，则ra()解析：(1)锥体的体积等于底面面积与高之积的三分之一，故不正确(2)球的体积之比等于半径比的立方，故不正确2小题热身(1)一个球的表面积是16，那么这个球的体积为(b)a b c16 d24(2)正三棱柱abca1b1c1的底面边长为2，侧棱长为，d为bc中点，则三棱锥ab1

3、dc1的体积为(c)a3 b c1 d(3)已知a，b，c，d是球o上不共面的四点，且abbcad1，bdac，bcad，则球o的体积为(a)abc2d4(4)一直角三角形的三边长分别为6 cm,8 cm, 10 cm，绕斜边旋转一周所得几何体的表面积为 cm2.(5)已知圆锥的顶点为s，母线sa，sb互相垂直，sa与圆锥底面所成的角为30，若sab的面积为8，则该圆锥外接球的表面积是64.解析：(1)设球的半径为r，则由4r216，解得r2，所以这个球的体积为r3.(2)由题意可知adbc，由面面垂直的性质定理可得ad平面db1c1，又ad2sin60，所以vab1dc1adsb1dc121

4、，故选c(3)由题，abbc1，ac，所以ab2bc2ac2，所以cba，即bcab，又bcad，所以bc平面abd，因为abad1，bd，所以ab2ad2bd2，所以abad，此时可将点a，b，c，d看成棱长为1的正方体上的四个顶点，球o为正方体的外接球，设球o的半径为r，故2r，所以r，则球o的体积vr3，故选a(4)旋转一周所得几何体为以 cm为半径的两个同底面的圆锥，其表面积为s68(cm2)(5)由sab的面积为8，可得sa28，解得sa4.取圆锥底面圆的圆心为o，连接so，ao，由sa与圆锥底面所成的角为30，可得圆锥的底面半径ao2，圆锥的高so2.设圆锥的外接球的半径为r，球心

5、为o，则o在so的延长线上，连接ao，则ao2ao2oo2，即r2(2)2(r2)2，解得r4，所以该圆锥的外接球的表面积是4r264.考点一空间几何体的表面积【例1】(1)已知圆柱的上、下底面的中心分别为o1，o2，过直线o1o2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为()a12b12 c8d10(2)如图，在直角梯形abcd中，adab4，bc2，沿中位线ef折起，使得aeb为直角，连接ab，cd，求所得的几何体的表面积和体积【解析】(1)因为过直线o1o2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，所以圆柱的高为2，底面圆的直径为2，所以该圆柱的表面积为2()222

6、12.(2)如图，过点c作cm平行于ab，交ad于点m，作cn平行于be，交ef于点n，连接mn.由题意可知abcm，benc都是矩形，amdm2，cn2，fn1，abcm2，所以saeb222，s梯形abcd(24)26，s梯形befc(23)25，s梯形aefd(34)27，在直角三角形cmd中，cm2，md2，所以cd2.又因为dffc，所以sdfc2，所以这个几何体的表面积为2657146.v1vabemcnsabeam2224，v2vcmnfdsmnfdbe(12)222，所以所求几何体体积为v1v2426.【答案】(1)b(2)见解析方法技巧(1)多面体的表面积是各个面的面积之和；

7、组合体的表面积注意衔接部分的处理.(2)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用.1已知a，b是球o的球面上两点，aob90，c为该球面上的动点，若三棱锥oabc体积的最大值为36，则球o的表面积为(c)a36b64c144d256解析：如图所示，当点c位于垂直于面aob的直径端点时，三棱锥oabc的体积最大，设球o的半径为r，此时voabcvcaobr2rr336，故r6，则球o的表面积为s4r2144.2已知圆锥的顶点为s，母线sa，sb所成角的余弦值为.sa与圆锥底面所成角为45.若sab的面积为5，则该圆锥的侧面积为40.解析：如图所示，设s在底面的射影为s，连接as，ss.sab的面

8、积为sasbsinasbsa2sa25，sa280，sa4.sa与底面所成的角为45，sas45，assacos4542.底面周长l2as4，圆锥的侧面积为4440.考点二空间几何体的体积命题方向1直接利用公式求体积【例2】(2019全国卷)学生到工厂劳动实践，利用3d打印技术制作模型如图，该模型为长方体abcda1b1c1d1挖去四棱锥oefgh后所得的几何体，其中o为长方体的中心，e，f，g，h分别为所在棱的中点，abbc6 cm，aa14 cm.3d打印所用原料密度为0.9 g/cm3.不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为_g.【解析】由题易得长方体abcda1b1c1d1的体积为

9、664144(cm3)，四边形efgh为平行四边形，如图所示，连接ge，hf，易知四边形efgh的面积为矩形bcc1b1面积的一半，即6412(cm2)，所以v四棱锥oefgh31212(cm3)，所以该模型的体积为14412132(cm3)，所以制作该模型所需原料的质量为1320.9118.8(g)【答案】118.8命题方向2等体积法求体积【例3】如图所示，已知三棱柱abca1b1c1的所有棱长均为1，且aa1底面abc，则三棱锥b1abc1的体积为()abcd【解析】易知三棱锥b1abc1的体积等于三棱锥ab1bc1的体积，又三棱锥ab1bc1的高为，底面积为，故其体积为.【答案】a命题方

10、向3割补法求体积【例4】已知e，f分别是棱长为a的正方体abcda1b1c1d1的棱aa1，cc1的中点，则四棱锥c1b1edf的体积为_【解析】连接ef，b1d设b1到平面c1ef的距离为h1，d到平面c1ef的距离为h2，则h1h2b1d1a由题意得，v四棱锥c1b1edfv三棱锥b1c1efv三棱锥dc1efsc1ef(h1h2)a3.【答案】a3方法技巧空间几何体体积问题的常见类型及解题策略(1)若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解.(2)若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解.1(方向1)如图，

11、正三棱柱abca1b1c1的底面边长为2，侧棱长为，d为bc的中点，则三棱锥ab1dc1的体积为(c)a3bc1d解析：如题图，因为abc是正三角形，且d为bc中点，则adbc又因为bb1平面abc，ad平面abc，故bb1ad，且bb1bcb，bb1，bc平面bcc1b1，所以ad平面bcc1b1，所以ad是三棱锥ab1dc1的高所以v三棱锥ab1dc1sb1dc1ad1.2(方向2)如图，直三棱柱abca1b1c1的各条棱长均为2，d为棱b1c1上任意一点，则三棱锥da1bc的体积是.解析：vda1bcvb1a1bcva1b1bcsb1bc.3(方向3)如图，在abc中，ab8，bc10，

12、ac6，db平面abc，且aefcbd，bd3，fc4，ae5.求此几何体的体积解：方法1：如图，取cmanbd，连接dm，mn，dn，用“分割法”把原几何体分割成一个直三棱柱和一个四棱锥则v几何体v三棱柱v四棱锥由题知三棱柱abcndm的体积为v186372.四棱锥dmnef的体积为v2s梯形mnefdn(12)6824，则几何体的体积为vv1v2722496.方法2：用“补形法”把原几何体补成一个直三棱柱，使aabbcc8，所以v几何体v三棱柱sabcaa24896.考点三球的接、切问题【例5】(2019全国卷)已知三棱锥pabc的四个顶点在球o的球面上，papbpc，abc是边长为2的正

13、三角形，e，f分别是pa，ab的中点，cef90，则球o的体积为()a8b4c2d【解析】因为点e，f分别为pa，ab的中点，所以efpb，因为cef90，所以efce，所以pbce.取ac的中点d，连接bd，pd，易证ac平面bdp，所以pbac，又accec，ac，ce平面pac，所以pb平面pac，所以pbpa，pbpc，因为papbpc，abc为正三角形，所以papc，即pa，pb，pc两两垂直，将三棱锥pabc放在正方体中如图所示因为ab2，所以该正方体的棱长为，所以该正方体的体对角线长为，所以三棱锥pabc的外接球的半径r，所以球o的体积vr33，故选d【答案】d方法技巧一个多面体的顶点都在球面上即为球的外接问题，解决这类问题的关键是抓住外接的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径.求多面体的外接球的半径的基本方法有三种：第一种，当三棱锥的三条侧棱两两互相垂直时，可还原为长方体，长方体的体对角线长就是外接球的直径；第二种，当棱锥或棱柱比较特殊时，在球内画出棱锥或棱柱，利用底面的外接圆为球的截面圆，借助底面三角形或四边形求出截面圆的半径，再利用勾股定理求出球的半径；第三种，过两个多边形(多边形所在平面不平行)的外心作两个多边形所在平面的垂线，垂线的交点即为外接球的球心，再通过相关关系求半径.已知正三棱锥sabc的