山东专用2021新高考数学一轮复习第七章立体几何7.6空间向量及其运算学案含解析

1、第六节空间向量及其运算课标要求考情分析了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示；掌握空间向量的线性运算及其坐标表示；掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直；理解直线的方向向量与平面的法向量；能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直和平行关系；能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理(包括三垂线定理)以解答题为主，主要考查空间直角坐标系的建立及空间向量坐标的运算能力及应用能力，有时也以探索论证题的形式出现.知识点一空间向量及其线性运算1空间向量在空间中，具有大小和方向的量叫做空间向量，其大小叫做向量的长

2、度或模2空间向量中的有关定理(1)共线向量定理：对空间任意两个向量a，b(b0)，ab存在r，使ab(2)共面向量定理：若两个向量a，b不共线，使向量p与向量a，b共面存在唯一的有序实数对(x，y)，使pxayb(3)空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在唯一的有序实数组x，y，z使得pxaybzc知识点二空间向量的数量积运算1两个向量的数量积(1)非零向量a，b的数量积ab|a|b|cosa，b(2)空间向量数量积的运算律结合律：(a)b(ab)交换律：abba分配律：a(bc)abac2空间向量的坐标表示及其应用设a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，

3、b3).1思考辨析判断下列结论正误(在括号内打“”或“”)(1)若ab0，则a，b是钝角()(2)若两条不重合的直线l1和l2的方向向量分别为v1(1,0，1)，v2(2,0,2)，则l1与l2的位置关系是平行()(3)已知(2,2,1)，(4,5,3)，则平面abc的单位法向量是n0.()(4)若n1，n2分别是平面，的法向量，则n1n2.()2小题热身(1)如图所示，在平行六面体abcda1b1c1d1中，m为a1c1与b1d1的交点若a，b，c，则下列向量中与相等的向量是(a)aabcbabccabcdabc(2)在空间直角坐标系中，已知a(1,2,3)，b(2，1,6)，c(3,2,1

4、)，d(4,3,0)，则直线ab与cd的位置关系是(b)a垂直b平行c异面d相交但不垂直(3)已知a(2,3,1)，b(4,2，x)，且ab，则|b|2.(4)正四面体abcd的棱长为2，e，f分别为bc，ad的中点，则ef的长为.(5)o为空间中任意一点，a，b，c三点不共线，且t，若p，a，b，c四点共面，则实数t.解析：(1)()c(ba)abc(2)由题意得，(3，3,3)，(1,1，1)，3，与共线，又ab与cd没有公共点，abcd(3)ab，ab2(4)321x0，x2，|b|2.(4)|22()22222()1222122(12cos120021cos120)2，|，ef的长为.

5、(5)p，a，b，c四点共面，t1，t.考点一空间向量的线性运算【例1】在三棱锥oabc中，m，n分别是oa，bc的中点，g是abc的重心，用基向量，表示，.【解】()，.方法技巧用已知向量表示某一向量的三个关键点(1)用已知向量来表示某一向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键.(2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义，如首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量.(3)在立体几何中三角形法则、平行四边形法则仍然成立.已知空间四边形oabc中，a，b，c，点m在oa上，且om2ma，n为bc中点，则(b)aabcbabccabcdabc解析：如图所示

6、，()()abc考点二共线、共面定理的应用【例2】已知e，f，g，h分别是空间四边形abcd的边ab，bc，cd，da的中点，用向量法证明：(1)e，f，g，h四点共面；(2)bd平面efgh.【证明】(1)证法1：e，f，g，h分别是空间四边形abcd的边的中点，.，e，f，g，h四点共面证法2：e，f，g，h分别是空间四边形abcd的边的中点，.fgeh.故e，f，g，h四点共面(2)由题意知222()2.bdeh，又bd平面efgh，eh平面efgh.bd平面efgh.方法技巧(1)利用向量证明点共线或点共面时常用的方法是直接利用定理.向量方法为几何问题的解决提供了一种新的思路.(2)向

7、量的平行与直线的平行是不同的：直线平行是不允许重合的，而向量平行，它们所在的直线可以平行也可以重合.如图所示，已知斜三棱柱abca1b1c1中，点m，n分别在ac1和bc上，且满足k，k(0k1)，向量是否与向量，共面？解：k，k，kkk()k()kkk()(1k)k，由共面向量定理知，向量与向量，共面考点三空间向量的数量积运算【例3】如图所示，已知空间四边形abcd的每条边和对角线长都等于1，点e，f，g分别是ab，ad，cd的中点，计算：(1)；(2)eg的长【解】设a，b，c，则|a|b|c|1，a，bb，cc，a60，ca，a，bc(1)(a)aca2；(2)()()abc，所以 2(

8、abc)2(a2b2c22ab2ac2bc)，所以|.即eg的长为.方法技巧(1)利用数量积解决问题的两条途径：一是根据数量积的定义，利用模与夹角直接计算；二是利用坐标运算(2)利用数量积可解决有关垂直、夹角、长度问题a0，b0，abab0；|a|；cosa，b.已知空间三点a(2,0,2)，b(1,1,2)，c(3,0,4)，设a，b.(1)若|c|3，且c，求向量c；(2)求向量a与向量b的夹角的余弦值解：(1)c，(3,0,4)(1,1,2)(2，1,2)，cmm(2，1,2)(2m，m,2m)，|c|3|m|3，m1，c(2，1,2)或(2,1，2)(2)a(1,1,0)，b(1,0,

9、2)，ab(1,1,0)(1,0,2)1，又|a|，|b|，cosa，b，即向量a与向量b的夹角的余弦值为.考点四利用空间向量证明平行与垂直【例4】如图所示，在四棱锥pabcd中，pc平面abcd，pc2，在四边形abcd中，bc90，ab4，cd1，点m在pb上，pb4pm，pb与平面abcd成30的角求证：(1)cm平面pad；(2)平面pab平面pad【证明】由题意知，cb，cd，cp两两垂直，以c为坐标原点，cb所在直线为x轴，cd所在直线为y轴，cp所在直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系cxyz.pc平面abcd，pbc为pb与平面abcd所成的角，pbc30，pc2，bc2，p

10、b4，d(0,1,0)，b(2，0,0)，a(2，4,0)，p(0,0,2)，m，(0，1,2)，(2，3,0)，.(1)设n(x，y，z)为平面pad的一个法向量，由即令y2，得n(，2,1)n2010，n.又cm平面pad，cm平面pad(2)解法1：由(1)知(0,4,0)，(2，0，2)，设平面pab的一个法向量为m(x0，y0，z0)，由即令x01，得m(1,0，)又平面pad的一个法向量n(，2,1)，mn1()0210，平面pab平面pad解法2：取ap的中点e，连接be，则e(，2,1)，(，2,1)pbab，bepa又(，2,1)(2，3,0)0，.beda又padaa，be

11、平面pad又be平面pab，平面pab平面pad方法技巧利用空间向量证明平行与垂直的方法(1)选取空间不共面的三个向量为基底，用基底表示已知条件和所需解决的问题，结合空间向量的法则解决(2)建立空间直角坐标系，用坐标法证明平行与垂直如图是某直三棱柱被削去上底后的直观图与三视图的侧视图、俯视图，在直观图中，点m是bd的中点，aecd，侧视图是直角梯形，俯视图是等腰直角三角形，有关数据如图所示(1)求证：em平面abc；(2)试问在棱cd上是否存在一点n，使mn平面bde？若存在，确定点n的位置；若不存在，请说明理由解：以a为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则a(0,0,0)，b(0,2,0)，c(2,0,0)，d(2,0,4)，e(0,0,2)，m(1,1,2)，(0,0,2)，(2,2，4)，(2,0，2)，(