数学建模：运算符号

1、1,MATLAB 符号运算,2,3,符号运算,什么是符号运算？ 直接对抽象的符号对象进行计算，结果以标准的符号形式来表示。 可以获得比数值计算更一般的结果。 符号运算的特点： 运算以推理解析的方式进行，因此不受计算误差积累问题困扰； 计算结果或给出完全正确的封闭解，或给出任意精度的数值解（当封闭解不存在时）； 符号计算指令的调用比较简单，经典教科书公式相近； 计算所需时间较长，有时难以忍受。 MATLAB符号运算是通过集成在MATLAB中的符号运算工具箱（symbolic math toolbox)来实现的。符号数学工具箱中的工具是建立在功能强大的称作Maple软件的基础上。 它最初是由加拿大

2、的滑铁卢（Waterloo）大学开发的。当要求MATLAB进行符号运算时，它就请求Maple去计算并将结果返回到MATLAB命令窗口。 符号数学工具箱是操作和解决符号表达式的符号数学工具箱(函数)集合，有符号表达式的运算，复合、简化、微分、积分以及求解代数方程和微分方程的工具,4,主要内容,符号计算基础 符号函数及其应用 符号积分 级数 符号方程求解 其他常用命令,5,符号计算基础,MATLAB定义了一种符号数据类型 运算对象为符号对象 符号常量：无变量的符号表达式称作符号常量 符号变量 符号表达式 建立符号对象 x=sym(x) 创建单个符号常量/变量x 符号常量： x不为变量 符号变量：

3、x为字符、字符串、表达式或字符表达式 syms用于方便地一次创建多个符号变量，调用格式为： syms a b c d . 这种格式定义符号变量时不需要在变量名上加字符分界符()，变量间用空格而不要用逗号分隔。 书写简洁意义清楚，建议使用,6,符号计算基础（续,符号表达式 含有符号对象的表达式称为符号表达式 MATLAB在内部把符号表达式表示成字符串，以与数字变量或运算相区别；否则，这些符号表达式几乎完全象基本的MATLAB命令。 符号表达式例子以及MATLAB等效表达式,7,符号计算基础（续,考察符号变量和数值变量的差别 例 a=sym(a);b=sym(b);c=sym(c);d=sym(d

4、); %定义4个符号变量 w=10;x=5;y=-8;z=11; %定义4个数值变量 A=a,b;c,d %建立符号矩阵A B=w,x;y,z %建立数值矩阵B det(A) %计算符号矩阵A的行列式 det(B) %计算数值矩阵B的行列式,8,符号计算基础（续,比较符号常数与数值在代数运算时的差别 例 pi1=sym(pi);k1=sym(8);k2=sym(2);k3=sym(3); % 定义符号变量 pi2=pi;r1=8;r2=2;r3=3; % 定义数值变量 sin(pi1/3) % 计算符号表达式值 sin(pi2/3) % 计算数值表达式值 sqrt(k1) % 计算符号表达式值

5、 sqrt(r1) % 计算数值表达式值 sqrt(k3+sqrt(k2) % 计算符号表达式值 sqrt(r3+sqrt(r2) % 计算数值表达式值,9,基本的符号运算（续,基本的符号运算 符号表达式的四则运算 + , - , * , / 。 符号表达式的提取分子和分母运算 numden 因式分解与展开 factor,expand 表达式化简 simplify,simple 符号表达式与数值表达式之间的转换 sym,numeric,eval,10,基本的符号运算（续,符号表达式的四则运算 符号表达式的四则运算和其他表达式的运算并无不同，但要注意，其运算结果依然是一个符号表达式,11,基本的

6、符号运算（续,例 f=sym(2*x2+3*x-5) g=sym(x2-x+7) f+g f-g f*g f/g f3,12,基本的符号运算（续,符号表达式的提取分子和分母运算(分式通分) 如果符号表达式是一个有理分式或可以展开为有理分式，可利用numden函数来提取符号表达式中的分子或分母。其一般调用格式为： n,d=numden(s) 该函数提取符号表达式s的分子和分母，分别将它们存放在n与d中。 例 对表达式 f=x/y+y/x 进行通分。 syms x y f=x/y+y/x; n,d=numden(f) n = x2+y2 d = y*x,13,基本的符号运算（续,因式分解与展开 f

7、actor(S) 对S分解因式，S是符号表达式或符号矩阵。 expand(S) 对S进行展开，S是符号表达式或符号矩阵。 collect(S) 对S合并同类项，S是符号表达式或符号矩阵。 collect(S,v) 对S按变量v合并同类项，S是符号表达式或符号矩阵 例1： 对表达式f=x9-1进行因式分解。 syms x f=factor(x9-1) 例2：对大整数12345678901234567890进行因式分解 factor(sym(12345678901234567890,14,基本的符号运算（续,表达式展开：expand(S) 例 展开表达式f=(x+1)5和f=sin(x+y) sy

8、ms x y f=(x+1)5; expand(f) f=sin(x+y); expand(f,15,基本的符号运算（续,符号表达式的同类项合并：collect(S,n) 将符号表达式中自变量的同次幂项的系数合并。 例：对于表达式f=x(x(x-6)+12)t, 分别将自变量x和t的同类项合并。 syms x t f=x*(x*(x-6)+12)*t; collect(f) collect(f,t,16,基本的符号运算（续,符号表达式化简 simplify(S)： 应用函数规则对S进行化简。 simple(S)： 调用MATLAB的其他函数对表达式进行综合化简，选择在结果表达式中含有最少字符的

9、那种形式，并显示化简过程。 r,how=simple(S) 函数可寻找符号表达式S的最简型， r为返回的简化形式，how为化简过程中使用的主要方法，simple函数综合使用了下列化简方法： simplify 函数对表达式进行化简 radsimp 函数对含根式(surd)的表达式进行化简 combine 函数对表达式中以求和、乘积、幂运算等形式出现的项进行合并 collect 合并同类项 factor 函数实现因式分解 convert 函数完成表达式形式的转换,17,基本的符号运算（续,例1：对表达式f=sin2(x)+cos2(x)进行化简. syms x f=sin(x)2+cos(x)2;

10、 simplify(f) 例2 观察最简表达式的获得 syms x t f=cos(x)2-sin(x)2; simple(f) r,how=simple(f) r = cos(2*x) how = combine(trig,18,基本的符号运算（续,符号表达式与数值表达式之间的转换 Sym：可以将数值表达式变换成它的符号表达式。 eval：可以将符号表达式变换成数值表达式。 例 sym(1.5) sym(3.14) a= (1+sqrt(5)/2 eval(234/5,19,基本的符号运算（续,符号表达式中变量的确定 findsym ：可以帮助用户查找一个符号表达式中的的符号变量。该函数的调

11、用格式为： findsym(S,n) 函数返回符号表达式S中的n个符号变量，若没有指定n，则返回S中的全部符号变量。 例 syms x a y z b; s1=3*x+y;s2=a*y+b; findsym(s1) findsym(s2,2) findsym(5*x+2) c=sym(3) findsym(a*x+b*y+c,20,基本的符号运算（续,在求函数的极限、导数和积分时，如果用户没有明确指定自变量，MATLAB将按缺省原则确定主变量并对其进行相应微积分运算。 可用findsym(S,1)查找系统的缺省变量，事实上MATLAB按离字符x最近原则确定缺省变量。 例 syms a b y

12、z w findsym(a*y+b*w,1) findsym(a*z+b*w,1) findsym(a*5+b,1,21,基本的符号运算（续,符号矩阵 符号矩阵也是一种符号表达式 前述符号表达式运算的函数分别作用于矩阵的每一个元素 例：创建一个循环矩阵。 syms a b c d n=a b c d;b c d a;c d a b;d a b c n = a, b, c, d b, c, d, a c, d, a, b d, a, b, c 注意：符号矩阵的每一行的两端都有方括号，这是与 matlab数值矩阵的一个重要区别,22,基本的符号运算（续,例：将3阶Hilbert矩阵转换为符号矩阵。

13、 h=hilb(3) h1=sym(h) h = 1.0000 0.5000 0.3333 0.5000 0.3333 0.2500 0.3333 0.2500 0.2000 h1 = 1, 1/2, 1/3 1/2, 1/3, 1/4 1/3, 1/4, 1/5,23,基本的符号运算（续,应用于数值矩阵的函数diag,triu,tril,inv,det,rank,eig也可直接应用于符号矩阵 专用于符号矩阵的函数 transpose(S) 返回S矩阵的转置矩阵。 A=sym(sin(x),cos(x);acos(x),asin(x) B=transpose(A) D=det (A) E=in

14、v(A,24,主要内容,符号计算基础 符号函数及其应用 符号积分 级数 符号方程求解,25,符号函数求极限,符号函数求极限 limit(f,x,a) 计算符号表达式f在xa条件下的极限； limit(f,a) 计算符号表达式f中由默认自变量趋向于a条件下的极限； limit(f) 计算符号表达式f在默认自变量趋向于0条件下的极限； limit(f,x,a,right) 和limit(f,x,a,left) 计算符号表达式f在xa条件下的右极限和左极限,26,符号函数求极限（续,例 求极限 syms a m x; f=(x(1/m)-a(1/m)/(x-a); limit(f,x,a) %求极限

15、(1) f=(sin(a+x)-sin(a-x)/x; limit(f) %求极限(2) f=x*(sqrt(x2+1)-x); limit(f,x,inf,left) %求极限(3) f=(sqrt(x)-sqrt(a)-sqrt(x-a)/sqrt(x*x-a*a); limit(f,x,a,right) %求极限(4,27,符号函数求导,符号函数求导及其应用 MATLAB中求导的函数为： diff(f,x,n) 求函数f对变量x的n阶导数。 参数x缺省，取默认变量 n的缺省值是1,28,符号函数求导（续,例 1 求函数的导数 syms x y; f=sqrt(1+exp(x); diff

16、(f) %求(1)。未指定求导变量和阶数，按缺省规则处理 f=x*cos(x); diff(f,x,2) %求(2)。求f对x的二阶导数 diff(f,x,3) %求(2)。求f对x的三阶导数,29,符号函数求导（续,例2 求函数的导数 syms a b t x y z; f1=a*cos(t);f2=b*sin(t); diff(f2)/diff(f1) %求(3)。按参数方程求导公式求y对x的导数 (diff(f1)*diff(f2,2)-diff(f1,2)*diff(f2)/(diff(f1)2 %求(3)。求y对x的二阶导数 f=x*exp(y)/y2; diff(f,x) %求(4

17、)。z对x的偏导数 diff(f,y) %求(4)。z对y的偏导数,30,主要内容,符号计算基础 符号函数及其应用 符号积分 级数 符号方程求解,31,符号积分,积分 数值计算：近似解 符号计算：解析解 求不定积分 int(f) 求符号表达式f对于默认自变量的不定积分； int(f,v) 求符号表达式f对于自变量v的不定积分,32,符号积分（续,例 求不定积分。 x=sym(x); f=(3-x2)3; int(f) %求不定积分(1) f=5*x*t/(1+x2); int(f,t) %求不定积分(2) g=simple(ans) %调用simple函数对结果化简,33,符号积分（续,求定积

18、分 int(f,x,a,b)： a,b分别表示定积分的上限和下限 可以是具体的数，返回一个数值 也可以是符号表达式，返回一个符号函数 ,还可以是无穷(inf)，返回一个广义积分 例 求定积分 x=sym(x);t=sym(t); int(abs(1-x),1,2) %求定积分(1) f=1/(1+x2); int(f,-inf,inf) %求定积分(2) int(4*x/t,x,2,sin(x) %求定积分(3) f=x3/(x-1)10; I=int(f,2,3) %用符号积分的方法求定积分(4) double(I) %将上述符号结果转换为数值,34,符号积分（续,积分变换 通过积分运算把一

19、个函数f（原函数）变成另一个函数F（像函数），变换过程是 其中，二元函数K(x,t)称为变换的核，决定了不同的变换 傅立叶(Fourier)变换 拉普拉斯(Laplace)变换 Z变换 变换的目的 例：解微分方程，先求解出F-f,35,符号积分（续,傅立叶(Fourier)变换 当积分变量的核为 傅立叶变换 傅立叶逆变换 在MATLAB中，进行傅立叶变换的函数是 fourier(fx,x,t) 求函数f(x)的傅立叶像函数F(t)。 ifourier(Fw,t,x) 求傅立叶像函数F(t)的原函数f(x,36,例 求函数y= 的傅立叶变换及其逆变换。 命令如下： syms x t; y=abs

20、(x); Ft=fourier(y,x,t) %求y的傅立叶变换 fx=ifourier(Ft,t,x) %求Ft的傅立叶逆变换,符号积分（续,37,符号积分（续,拉普拉斯(Laplace)变换 当积分变量的核为 拉普拉斯变换 拉普拉斯逆变换 在MATLAB中，进行拉普拉斯变换的函数是 laplace(f,x,t) 求函数f(x)的拉普拉斯像函数F(t)。 ilaplace(F,t,x) 求拉普拉斯像函数F(t)的原函数f(x,38,符号积分（续,例 计算y=x2的拉普拉斯变换及其逆变换. 命令如下： x=sym(x); y=x2; Ft=laplace(y,x,t) %对函数y进行拉普拉斯变

21、换 fx=ilaplace(Ft,t,x) %对函数Ft进行拉普拉斯逆变换,39,符号积分（续,Z变换 当函数f(x)呈现为一个离散的数列f(n)时， z变换 Z逆变换 对数列f(n)进行z变换的MATLAB函数是： ztrans(fn,n,z) 求fn的Z变换像函数F(z) iztrans(Fz,z,n) 求Fz的z变换原函数f(n,40,符号积分（续,例 求数列 fn=e-n的Z变换及其逆变换。 命令如下： syms n z fn=exp(-n); Fz=ztrans(fn,n,z) %求fn的Z变换 f=iztrans(Fz,z,n) %求Fz的逆Z变换,41,主要内容,符号计算基础 符

22、号函数及其应用 符号积分 级数 符号方程求解,42,级数符号求和,级数求和 有穷级数求和：sum 无穷级数求和： symsum 级数符号求和函数symsum，调用格式为： symsum(a,v,m,n) a表示级数的通项，是一个符号表达式 v是求和变量 m和n分别为求和的开始项和末项,43,级数符号求和（续,例 求级数之和 命令如下： n=sym(n); s1=symsum(1/n2,n,1,inf) %求s1 s2=symsum(-1)(n+1)/n,1,inf) %求s2。未指定求和变量，缺省为n s3=symsum(n*xn,n,1,inf) %求s3。此处的求和变量n不能省略。 s4=

23、symsum(n2,1,100) %求s4。计算有限级数的和,44,函数的泰勒级数,泰勒级数 将一个任意函数表示为一个幂级数 实例： 通常情况下，取幂级数的前有限项表示该函数，精度已经足够 MATLAB中提供了将函数展开为幂级数的函数taylor，其调用格式为：taylor(f,v,n,a) 函数f按变量v展开为泰勒级数，展开到第n项（即变量v的第n-1次幂）为止， n默认为6 a指定将函数f在自变量v=a处展开，默认值为0,函数 f(x) = ex 展开成 x 的幂级数为,45,函数的泰勒级数（续,例1 求 的5阶泰勒级数展开式 x=sym(x); f1=sqrt(1-2*x+x3)-(1-

24、3*x+x2)(1/3); taylor(f1,x,5) %展开到x的4次幂时应选择n=5 例2 将 在x=1处按5次多项式展开。 x=sym(x); f2=(1+x+x2)/(1-x+x2); taylor(f2,6,1) %展开到x-1的5次幂时应选择n=6,46,主要内容,符号计算基础 符号函数及其应用 符号积分 级数 符号方程求解,47,符号代数方程求解,什么是代数方程？ 代数方程是指未涉及微积分运算的方程，相对比较简单。 在MATLAB中，求解用符号表达式表示的代数方程可由函数solve实现，其调用格式为： solve(eq)：求解符号表达式表示的代数方程eq，求解变量为默认变量。当方程右端为0时，方程eq中可以不包含右端项和等号，而仅列出方程左端的表达式。 solve(eq,v)：求解符号表达式表示的代数方程eq，求解变量为v。 solve(eq1,eq2,eqn,v1,v2,vn)：求解符号表达式eq1,eq2,eqn组成的代数方程组，求解变量分别v1,v2,vn。若不指定求解变量，由默认规则确定,48,符号代数方程求解（续,例 求方程的解 x=solve(1/(x+2)+4*x/(x2-4)=1+2/(x-2),x) %解方程(1) f=sym(x-(x3-4*x-7)(1/3)=1); x=solve(f) %解方程(2) x=s