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文档简介

1、讲 授 内 容备 注第三十八讲7.2 重积分一、 二重积分的计算直角坐标系（型区域，型区域）、极坐标系（极点位置的三种情况）下二重积分化为定积分的几何定限法.例1 改变累次积分的积分次序解积分区域由，围成交点坐标， 例2 计算解积分区域：，为型区域，由于被积函数关于不能积分，改为型区域：，例3 计算积分 解交换积分次序，有例4 化累次积分为定积分 解积分区域由直线，和围成在极坐标系下，这三条直线的方程分别是，于是 例5 化累次积分为定积分 解 积分区域的边界，即，中心，半径极坐标方程，利用对称性计算二重积分当且仅当积分区域及被积函数都具有对称性时，才可以利用对称性简化积分的计算例6 平面上由

2、确定的区域记作，试计算积分 解积分区域通过极坐标代换后，变为积分区域与被积函数关于直线对称故只要计算内的部分，再2倍即可圆与的交点： 分区域积分：当被积函数在积分区域的不同部分上，具有不同的（初等函数的）表达式，应将区域划分为不同的部分，分别积分再相加例7 计算积分解被积函数被积函数与积分区域都关于坐标轴对称，因此只要计算第一象限内的部分，4倍即可双曲线与圆在第一象限的交点上，因此有例8 计算积分 ； 解 . :.作变量替换：i）选取变量替换的原则：使得被积函数简化，即分区域变得易于定限一般来说应二者兼顾当二者矛盾时，应优先考虑较困难的ii）对积分，作变换，关键在于找出变换后的区域则其中雅可必行列式iii）几何定限法：固定，所的坐标曲线，随连续变化时，坐标曲线连续变动假如从连续增大到，恰好扫过积分区域，这就说明对应的有关系（，为外层积分的上、下限）设，上的点随增加时，当变到时穿入，当变到时穿出，这就表明对应的满足（，是内层积分的上、下限）例9 计算积分， 其中为平面曲线，和所围成的有界闭区域解作变换，则积分区域变为 则例9例10例10 计算积分，其中解 令，则 注由轮换对称性知，可直接得出原积分为零例11 计算积分，其中为，所围成的三角形区域解 令，则， 例11例12例12 计算积分，其中为直线和坐标轴所围成的三角形区域解I 令，则， 解I

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