第二节--二元函数的极限PPT优秀课件

1、1,第十六章 多元函数的极限与连续,2 二元函数的极限,一 二元函数极限,2,回忆一元函数的极限. 设 y = f (x),当 x 不论是从 x0的左边,还是从x0的右边无限接近于x0时, 对应的函数值无限接近于数 A.,表示,如图,就是 0, 0.,当0|x x0| 时, 有|f (x) A | .,3,设二元函数 z = f (X) = f (x, y), 定义域为D.,如图,D,z = f (x, y),X,X,如果当X在D内变动并无限接近于X0时 (从任何方向, 以任何方式),对应的函数值 f (X)无限接近于数 A,则称A为当X趋近于X0时f (X)的极限.,f (X),4,类似于一

2、元函数, f (X)无限接近于数 A可用 | f (X) A | 刻划. 而平面上的点 X = (x, y) 无限接近于点 X0 = (x0, y0) 则可用它们之间的距离,5,设二元函数 z = f (P) = f (x, y). 定义域为D. P0= (x0, y0)是 D 的一个聚点. A 为常数.,若 0, 0, 当,对应的函数值满足,| f (P) A | ,则称 A 为z = f (P)的, 当 P 趋近于P0时(二重)极限.,记作,或,也可记作 f (P) A (P P0), 或, f (x, y) A (x x0, y y0 ),定义1,6,注 定义中要求X0是定义域D的聚点,

3、 这是为了保证 P0的任意近傍总有点P使得f (P)存在, 进而才有可能判断 | f (P) A | 是否小于 的问题.,若D是一区域. 则只须要求,就可保证 P0 是D的一个聚点.,7,说明：,（1）定义中 的方式是任意的；,（2）二元函数的极限也叫二重极限,（3）二重极限的几何意义：, 0，P0 的去心 邻域,在,内，函数,的图形总在平面,及,之间。,8,例1 用“,”定义验证极限,证明因为,9,先限制在点（2，1）的,的方邻域,内讨论，则有,所以,10,于是,，取,，则当,时，就有,由二元函数极限定义知,11,例 求证,证,当 时，,原结论成立,12,例2设,证明,证明： 对函数的自变量

4、作极坐标变换,这时,等价于对任何,都有,.由于,13,因此，,，只须取,，当,时，不管,取什么值都有,所以,14,定理16.5,的充要条件是：对于,的任一子集,只要,是,的聚点，就有,推论1 设,是,的聚点.若,不存在，则,也不存在,15,推论2 设,是它们的聚点，,但,则,不存在,若存在极限,16,推论3 极限,存在的充要条件是：对于,中任一满足条件,且,的点列,，它所对应的函数列,都收敛.,上述定理及其推论相当于数列极限的子列定理,与一元函数的海涅归结原则,17,注意： 是指 P 以任何方式趋于P0 .,一元中,多元中,18,确定极限不存在的方法：,19,例3. 设f (x, y) =,证

5、明 f (x, y)在 (0, 0)点的极限不存在.,证: 只须证明当X 沿不同的线路趋于(0, 0)时, 函数f (x, y)对应的极限也不同即可.,20,考察 X =(x, y)沿平面直线 y = kx 趋于(0, 0)的情形.,如图,对应函数值,21,从而, 当 X = (x, y) 沿 y = kx 趋于(0,0)时, 函数极限,请考察当X = (x, y)沿 x 轴, 沿 y 轴趋于(0, 0)的情形.,当 k 不同时, 极限也不同. 因此, f (x, y) 在 (0, 0) 的极限不存在 .,22,沿 x 轴, y = 0. 函数极限,= 0,沿 y 轴, x = 0. 函数极限

6、,= 0,但不能由此断定该二重极限为0,23,例4 二元函数,请看p95图16-7，,沿任何直线趋于原点时,都趋于零，但也不能说该函数在原点的极限,沿抛物线,的值趋于,而不趋于零，,尽管当,就是零，因为当,趋于原点时,所以该极限不存在.,24,非正常极限,极限,的定义,设二元函数,为定义在,上的二元函数，,为,的一个聚点，如果,使得当,时，都有,则称,在,上当,时，存在非正常极限,记作,点,或,25,仿此可类似地定义,与,例5 设函数,证明,证明：因为,，只要取,，当,时，都有,26,由此推得,即,所以,27,二元函数极限的性质,性质（四则运算）与一 元函数运算相同,除了这些相似性之外，我们也

7、指出，多元函数的极限较之一元函数的极限而云，要复杂得多，特别是自变量的变化趋势，较之一元函数要复杂。,28,例 求,解,二元函数的极限运算举例,29,例 求极限,解,其中,30,二.累次极限,中的两个自变量,以任何方式趋于,时的极限，我们称它为二重极限.,与,依一定次序趋于,与,时,的极限，称为累次极限.,对于两个自变量,对于二元函数,在,与,依一定次序趋于,与,时的累次极限有两个,和,31,例6 设, 求,在点,解 当,时，有,从而有,同理可得,的两个累次极限.,32,1.两个累次极限可以相等也可以不相等，所以,计算累次极限时一定要注意不能随意改变它们,的次序.,例7 函数,关于原点的两个累次极限分别是,与,.,33,2.两个累次极限即使都存在而且相等，也不能,保证二重极限存在,例如 设,两个累次极限都存在,且相等.,但二重极限,却不存在.,34,3.二重极限存在也不能保证累次极限存在，即,二重极限存在时, 两个累次极限可以不存在.,例8 函数,由于,，故由定义知,二重极限存在,且,但对任何,，当,时,的第二项,不存在极限,35,同理对任何,，当,时,的第一项,不存在极限，从而两个,累次极限都不存在.,36,定理16.6 若二重极限极限,和累次极限,(或另一次序)都存在 , 则它们必相等.,推论1 若二重极限,和累次极限