自编高等数学第一章习题解答1

1、 习题参考答案 第一章习题1.11.求下列函数的定义域：（1）；（2）；（3）；（4）.解：（1）要使函数有意义，必有：且，所以此函数的定义域为：； （2）要使函数有意义，必有： 所以此函数的定义域为：；（3）要使函数有意义，必有：所以此函数的定义域为：； （4）要使函数有意义，必有：所以此函数的定义域为：.2. 下列函数是否相等,为什么?（1）；（2）；（3）；（4）.解：（1）不等，定义域不同； （2）不等，值域不同；（3）相等，定义域、对应法则相同；（4）不等，定义域不同.3. 判断下列函数的奇偶性:（1）； （2）（）；（3）； （4）.解：（1）奇函数； （2）奇函数；（3）偶函数；

2、（4）非奇非偶函数.4. 求下列函数的反函数：（1）； （2）；（3）； （4）解：（1），解得：，习惯互换，可得反函数：当时，当时，； （2），解得：，于是可得反函数：当时，当时，；（3），解得：，于是可得反函数：； （4），解得：，于是可得反函数：.5. 下列函数是由哪些基本初等函数复合而成的?（1）； （2）；（3）； （4）解：（1）由函数，复合而成；（2）由，复合而成；（3）由函数，复合而成； （4），.6. 设，证明：.证：7. 设的定义域是，求的定义域.解：由题意知：，所以的定义域为：.8. .写出图1-1-9所示函数的解析表达式 2 1 图1-1-9 图1-1-10解：.9.

3、设，求.解：.10. 已知水渠的横断面为等腰梯形,斜角=40,如图1-1-10所示.当过水断面ABCD的面积为定值S0时,求湿周L(L=AB+BC+CD)与水深h之间的函数关系式,并指明其定义域.解： ，所以函数关系式为：由 可得此函数定义域为： 习题1.21. 观察下列数列当时的变化趋势，如果有极限，写出其极限.（1）；（2）；（3）（4）；（5）；（6）解：（1）； （2）；（3）；（4）发散； （5）发散； （6）.2. 对下列数列，求，并对给定的确定正整数，使对所有，有：(1)，；(2)，.解：(1) ，于是 所以 ，； (2) ，于是 所以 ，.3.用极限定义（“”语言）验证下列极限

4、(1)； (2)；(3)；(4).证：（1）因为 要使 只需 即 即可。取所以，当时，有因此，.（2）因为 要使 只需 即 即可。取所以，当时，有因此，（3）因为 要使 只需 即 即可。取所以，当时，有.因此， .（4）当时，等式显然成立。 当时，因为则当n充分大后，可使事实上，只要取当时，则可保证这点。所以，于是，当时，即.4.若，证明，并举反例说明反之不一定成立.证：因为，所以当时，有.从而，.这就证明了.如，但不存在。5.设数列有界，证明证：因为数列有界，所以，使得对又由于，所以， ，当时，有.从而，所以.6. 试举出满足下列要求的数列例子（1）有界但无极限的数列；（2）无界但非无穷大的

5、数列.解：（1）；（2）.7. 设数列，若，证明证：因为，所以，当时，有，当时，有，取只要当时，有，因此 .8.利用单调有界准则证明下列数列极限存在.（1），；（2），.证：（1）因为， 所以，即数列单调递减。又因为 ，即数列有下界。因此由单调有界准则知数列极限存在.（2）因为 即，所以数列单调递增。又因为及数列有上界。因此由单调有界准则知数列极限存在.9.利用夹挤准则，证明：（1）（2）证：（1）因为，而所以由夹挤准则知.（2）因为，而所以由夹挤准则知.习题1.3xyO-2-112-1111. 函数如图1-3-4所示。下列陈述哪些是对的，哪些是错的？（1）；（2）不存在（3）；（4） 图1-

6、3-4解：（1）对；（2）对；（3）错；（4）对.2. 求函数，当时的左、右极限，并说明当时，它们的极限是否存在。解：，；，不存在.3. 当时，。问等于多少时，使当时，？解：由于，设，于是，令，解得所以 .4. 用函数极限定义（“”语言）证明下列极限：（1）；（2）证：（1），令，即，取，于是，当时，.所以 .（2），令，即，取，于是，当时，.所以 .5. 用函数极限定义（“”语言）证明下列极限：（1）；（2）；（3）当时，解：（1），令，即，取，于是，当时，.所以 .（2），令，即，取，于是，当时，.所以 .（3），令，即，取，于是，当时，.所以 当时，.6.用定义验证下列函数为无穷小：（1

7、）（）；（2）（）；（2）（）证：（1），令，即，取，于是，当时，.所以 是当时的无穷小.（2），令，取，于是，存在，当时，所以是当时的无穷小.（2），令，即，取，于是，当时，.所以 是无穷小.7.两个无穷小的商是否一定是无穷小？为什么？解：两个无穷小的商不一定是无穷小。如.8.函数在内是否有界？这个函数是否为当时的无穷大？解：函数在内无界（因为），但此函数当时不是无穷大（因为）。习题1.41.计算下列极限：（1）； （2）；（3）； （4）；（5）； （6）；（7）；（8）；（9）；（10）；(11)；(12).解：（1） ； （2）；（3）； （4）；（5）； （6）； （7）； （8）；

8、（9）； （10）； (11) ； (12) .2.求的值，使得.解：因为 所以，即 .3.下列陈述中，哪些是对的，哪些是错的，为什么？（1）如果存在，但不存在，那么不存在；（2）如果和都不存在，那么不存在；（3）如果存在，但不存在，那么不存在.解：（1）对，因为若存在，存在，则存在；（2）错，如；（3）错，如 .习题1.51.计算下列极限：（1）； （2）；（3）； （4）；（5）； （6）.解：（1）； （2）； （3）令，于是，当时，因此； （4）； （5）； （6）.2计算下列极限：（1）； （2）；（3）； （4）.解：（1）； （2）； （3）； （4）.3.利用极限存在准则证明：

9、（1）；（2）.3（1）因为 当时，当时，；而 所以由夹挤准则得：.（2）因为 当时，.而 ，所以由夹挤准则得：.习题1.61.试比较下列无穷小的阶：（1）与（）；（2）与（）（3）与（）；（4）与（）1. （1）所以与是同阶无穷小（）；（2）所以是比低阶的无穷小（）；（3）所以（）；（4）所以（）.（4）所以（）.2.证明：（1）（）；（2）（）；（3）（）；证：（1）令，于是，当时，所以 ，因此（）.（2）因为 所以（）.（3）因为 所以 （）.3.利用等价无穷小代换计算下列极限：（1）； （2）；（3）； （4）；（5）； （6）；（7）； （8）.解：（1）；（2）；（3）；（4）（5

10、）（6）；（7）；（8）.4.当时，试确定的值.解：因为 所以 ，.习题1.71.研究下列函数的连续性，并画出函数的图形：（1）；（2）；解：（1）在上连续；（2）在与内连续，是跳跃间断点.图形略2.下列函数在指定点是否间断，若间断，试确定其类型。若是可去间断点，则补充定义使它连续：（1），；（2），；（3），；（4），.解：（1）是第二类间断点；是可去间断点，补充定义；（2）为第二类间断点，为可去间断点，补充定义；（3）为第一类间断点；（4）为第一类间断点.3.讨论函数的连续性。解：因为 ，即 ，所以 函数在分段点连续，而当时，当时，都是初等函数，因此，函数在上连续.4求函数的连续区间，并将

11、间断点分类.解： 因此，此函数连续区间为、和；是可去间断点，为第二类间断点.5.设函数，当取何值时，函数连续。解：因为 ，所以，当时，函数在分段点连续。因此，当时，函数连续.6.计算下列极限：（1）；（2）；（3）（4）；（5）；（6）解：（1）； （2）；（3）；（4）；（5）；（6）.习题1.81.试证方程在区间内至少有一个根。证：令，在区间内连续，而，所以，函数在区间内至少有一个零点，即方程在区间内至少有一个根。2.试证方程（）至少有一个不超过的正根证：令，在区间内连续，而，所以方程（）至少有一个不超过的正根。3.若函数在上连续，（），则在内至少有一点，使.证：因为函数在上连续，则在上必

12、达到最大值和最小值，设、分别为在上的最小值及最大值，于是，则 .所以由介值定理可知，在内至少有一点，使.复习题一A组一、选择与填空1.设，则_.（）2.设函数的定义域为A，函数的定义域为B，则当时，a的取值范围是_.（或）3.函数设在处连续，则（ ）（）4若函数在处极限存在，则在处（）.A连续； B.间断； C.有定义； D.不一定有定义. （ D）5.的间断点为_，它的类型是第_类间断点.（，第一类间断点）6.函数是（）.A无界函数； B.单调减少函数； C.单调增加函数； D.有界函数.（D）7.单调有界是数列收敛的（ ）.A充分条件； B.必要条件；C充要条件； D.既非充分又非必要条件

13、.（A）8当时，为无穷小，为无穷大，则（ ）必为无穷大.A.；B.；C.；D. （A）二、解答题1试研究当时，函数的极限解： ，所以，当时，；，所以，当时，极限不存在.2设；求，.解：当时，；当时，；所以.当时，；当时，；所以.类似可得：，.3计算下列极限：（1）（2）（3）（4）（5）已知，求（6）已知 ， 求解：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）因为，所以；（6）因为所以.4.试证方程至少有一个根介于1和2之间。证：令，则在区间上连续，而，所以函数在区间内至少有一个零点，即方程至少有一个根介于1和2之间。5.利用极限存在准则证明：数列，的极限存在。证：数列显然是单调上升的，且.可用数学

14、归纳法证明数列是有界的：。事实上，当时，假设，下证.，所以由数学归纳法原理知数列是有界的。因此数列，的极限存在。6. 如果存在直线L：，使得当时，曲线上的动点到直线L的距离，则称直线L为曲线的渐近线。当时，称L为斜渐近线。（1）证明：直线L：为曲线的渐近线的充分必要条件是，（2）求曲线的渐近线。解：（1）仅讨论的情形，对或的情形类似可证。若有 （*）则是函数的渐近线。当时， （1）可见 ，又由（*）式得 （2）反之，若（有限），（有限），则（*）式成立，因此是函数的渐近线。（2），所以此曲线的渐近线是：.B组一选择与填空1.（2000）（ 1 ）. 2.（2001）设函数，则（ 1 ）.3.（2000）设函数在内连续，且，则常数满足（ D ）。 A.， B.， C.， D.4.（2003）设、均为非负数列，且，则必有（ D ）。 A.对任何n成立， B.对任意n成立， C.不存在， D.不一定存在.5.（2012）设函数，正确结论是（C ）。A在有界， B当时，C在无界， D当时，极限存在6. （2011）当时，和都是关于的n阶无穷小量，而+是关于的m阶无穷小，则（ B ）。 A.必有， B.必有