完整版第二章习题及答案

1、 第二章 控制系统的数学模型 练习题及答案 )(ut)tx()(tF为和电压，位移2-1所示各系统的微分方程。其中外力试建立图2-27r)tu()(tyfkR（电阻）（弹性系数），为输出量；和电压输入量；位移（阻尼系数），cmC （质量）均为常数。，（电容）和 解 m进行受力分析（不再考虑）以平衡状态为基点，对质块（a 所示。根据牛顿定理可写出重力影响），如图解2-1(a)2yddyft)F(?t)?mky?( 2dtdt 整理得 2y(t)fdy(dt)k1?y(t)?F(t) 2mdtmmdt （b）如图解2-1(b)所示，取A,B两点分别进行受力分析。对A点有 dxdy1?)x)?f(k

2、x? （ 1） 11dtdt 对B点有dxdy1?(f)?ky （2 ） 2dtdt联立式（1）、（2）可得： kkkdxdy112?y? dtk?k)?kfdt(k2211 10 应用复数阻抗概念可写出(c) 1R1cs ） （ 3?sU()(sI()?Us)cr1?R1cs)sUc(?I(s) 4（） R2)U(s)?R(1RCsc12? ），可解得：43联立式（ ）、（CsR?R(Us)?RR22r11duduR?R1cu?u?r12 微分方程为: rcCRCRdtRdt112 由图解2-1）可写出（d (d) 1?)I(s?)I?s()R(s?(Is)U ）5 （crRRCs1)s)(

3、Is()(RI?s?RI ）（6ccRCs1?)s(I)()(I)(Us?sR?Is? （7）ccRcCs )(Is和联立式（5），消去中间变量）、（）、（67C)(Is ，可得：R222)(Us12?RCs?RCsc? 222)U(s1CRsRCs?3?r22dudududu1132ccu?u?rr 微分方程为 rc222222RCdtCRdtRdtCRdtC是相似系统（即有相同形式试证明图 2-2 和电路系统中所示的力学系统2-28(a)(b) 的数学模型）。 解 两点分别进行受力分析，如图(a)A取 B、 11 A点有解2-2(a)所示。对?)?y?y)?f(x?y)?f(yk(x (1

4、) 1212 点有对B?y?ykf(y)? (2) 1111y 对式（1）、（2）分别取拉氏变换，消去中间变量，整理后得1ffff21s?(?)s?2112 kkkk)s(Y2211 = fffff)sX(21)s?s?(?22112 kkkkk12121 (b) 由图可写出)sU()U(scr = 11?R?R2 1sCsC121?R? 21sC?R1 1sC1 整理得2)sU(1s?CRRCs)?(RC?RCc22211121 = 2)U(s1s?CCCs?(RC?R?RC)RRr2122111221,R?1k,C?fC?f1R?k,则两系统的传递函数比较两系统的传递函数，如果设21211

5、221 相同，所以两系统是相似的。 ?1dhQQ?h?h 2-3 假设某容器的液位高度满足方程与液体流入量， rrSSdt?)h,(QQSh附近做微量变为常数。若与式中为液位容器的横截面积，在其工作点0r0rQ?h? 关于化，试导出的线性化方程。rhh 在 解处展开为泰勒级数并取一次近似将0dh1|?h?hh?h?h （1） 00hdt2h00 代入原方程可得?)hh?d(110?(h?h)?(Q?Q) （2） r00rdtSS2h0在平衡工作点处系统满足 12 dh?0Qh? ） （ 300rdth? 的线性化方程3）相减可得式（2），（?h?dS?Q?h? rdth20)tx()(Xs 。

6、的象函数2-4 试求图2-29所示各信号 解)x(t)tt?2?(? ）（a012st?e?)X(s? = 02ss )t?(b?c)(tt)?cx(t?)at?(ba?)(t)?t?）b（3211 s?ts?t?st)e?a(b?a)e?ce?(bc?)sX(?= 321s4T44T4)t?)?(t?T)t?(t?()tx(? = （c）222222TTTTT?4sTs?)?2e?e1X(s)?(2? 22sT 求下列各拉氏变换式的原函数。2-5 s?e?)(sX (1) 1s?1?X(s)(2) 3)(ss?2?(s31s?(Xs) (3) 2)?s22ss(? 解1?te?t(x) (1

7、) 13 ?11311? (2) 原式 322(s?2)4(s?2)8(s?2)24s3(s?3)2t31?t1t?2?2tt?2t3e?e?e?e?x（t） 4483241s111s?111 2? (3) 原式 2222s2s22(s?1)?1)?s?2s?211(s11?t(sint?cost?e)(tx? 22?2t?te?1?2e?c(t)，试求系 2-6 已知在零初始条件下，系统的单位阶跃响应为 统的传递函数和脉冲响应。1R(s)?单位阶跃输入时，有，依题意 解 s121213s?C(s) s1(s?1)(s?2)?ss2s?2C(s)3s?G(s)? )2s?(s?1)(R(s)1

8、?4?t?1?12tLsG()4?e?ek(t)?L? ? 2?s?1s?2C(s)?00)?c(0)?1c(，已知系统传递函数 ，且初始条件为，2-7 2)R(s2s?s?3)t(r(t)?1)tc( 试求系统在输入作用下的输出。解 系统的微分方程为 2c(t)ddc(t)?3?2c(t)?2r(t) （1） 2dtdt考虑初始条件，对式（1）进行拉氏变换，得 22?)(23)(3s)(sCs?sCs?Cs （2） s22s?3s?142?)C(s? 22ss?1?s)s?(ss3?2t?t?2etc()e?142? )(sUc 。2-30 2-8求图所示各有源网络的传递函数 )sU(r 1

9、4 解 “虚地”概念，可写出 (a) 根据运算放大器)U(sRc2? RUs)(1r1?R2)U(s)?RCssCs(1?RC)(1 (b) c?2121212sCCU(s)R?R21r11sC11?R1sC11?R2Cs1?R)sU(R2Csc2? (c) )1?RCsRU(s)R(21r1 Q0，所示，已知电位器最大工作角度330 2-9 某位置随动系统原理框图如图2-31mk 功率放大器放大系数为。3kkk 分别求出电位器的传递函数；，第一级和第二级放大器的放大系数，1（）012 画出系统的结构图；）（2 )()Qss(Q （3求系统的闭环传递函数 。）rc 15 解 (1) 电位器的传

10、递函数0180E30?K 0?11Q0?330m0180 根据运算放大器的特性，可分别写出两级放大器的放大系数为 331020?10?30?3K?2K? ， 123310?1010?10 (2) 可画出系统结构如图解2-9所示： KKKKKm2031Q(s)s(Ts?1)mc? (3) KKKKKKKKKQ(s)23mt0123m?1rTs?1s(Ts?1)mm1? T1?KKKK2tm3m2?s?s1KKKKKKKKKKmm20013213 Q(s)Q(s)。所示，试求闭环传递函数2-10 飞机俯仰角控制系统结构图如图2-32 rc 解 经结构图等效变换可得闭环系统的传递函数 Q(s)0.7

11、(s?0.6)c? 23)sQ(?(1.18?0.42)7090?s(.?.KsK)s?0.68r 16 已知系统方程组如下：2-11 )ss)G(s)?G()C(s)GX(s)?(s)R(s?G(?81711?)s)X(s)?G(sX(Xs)?G(s)(?31226 ?)ss)G(s(Xs)?X()?C(s)G?3325?)sX(GC(s)?(s)?34)(sC 试绘制系统结构图，并求闭环传递函数 。)R(s解 系统结构图如图解2-11所示。 利用结构图等效化简或梅逊增益公式可求出系统的闭环传递函数为 GGGGC(s)4231? R(s)1?GGG?GGG?GGGGG?GGGGG823241

12、7432361345 C(s)。试用结构图等效化简求图 2-32所示各系统的传递函数 2-12R(s) 17 a）解 （ GGGG)(sC4231? 所以： GGG?R(s)GGG?G?1?GGG4323122341 b（） G?G)s(C ?21 所以：HG?sR()12 ）c（ 18 GGG)sC(321? 所以： )sR(GGGG?1GGG?3222311 ）（d GGG?GGC(s)43211? 所以： R(s)1?GGH?GGH?GGG?GG?GH2243121112432（e） GGGC(s)312?G? 所以： 4R(s)1?GGH?GH?GGH22111223 19 )1(t(

13、t)?3?r)(ct 时系统的输出 2-13已知控制系统结构图如图2-34所示，求输入。 由图可得解2 2)C(s21ss?2? 2)(S?s?)R(s1(3)1?s?(121ss?23?s)R( 又有 s23231?s)?C( 则 3?S3)sss?s1?(s1)(231?t?1?3te3tc()?Le?2 即 ?3?ss1s? 2-14 试绘制图2-36所示系统的信号流图。 解 所示信号流图对应的系统结构图。试绘制图2-15 2-36 20 解 2-16 试用梅逊增益公式求2-12题中各结构图对应的闭环传递函数。 解 （a）图中有1条前向通路，3个回路，有1对互不接触回路1?G，?P?GG

14、G，L?GG 112214131，LLL?L)?L?GG，L?GG，?1?(L? 22313242331GGGG?P)(sC421311? GGGGG?GGR(s)?1?GG?G?4221321334 1个回路）图中有2条前向通路，（b，?GH，?1，P?G，?1L?P?G， 22122111L?1? 1G?P?G?P?)(sC212121? H?1?GR(s)2 3个回路c）图中有1条前向通路，（1，?G，L?G，PGGG? 13111122，)L?L?，G?，?L?GGL?GG?1(L 3331122232GGG?P)(sC31211? GG?GGG1(Rs)?G?G3132122 个回路

15、条前向通路，）图中有（d25 21 ，1?GG，?PP?GGG，?1， 211211243，LG?GH?L?GGH，L?GG，L?GGG， 421241322132311，)?L?L?LLG?H，?1?(L?L? 55322414G?GGGG?P?P)sC(421312112? GH?GGH?)?1?GGGG?GG?GHsR(2243111223142（e）图中有2条前向通路，3个回路 ，P?G，?，P?GGG，?1 11212342L?GGH，L?GH，L?GGH，?1?(L?L?L)，33122112132122GGGP?P?P?)C(s31221111?P?G? 42R(s)?1?GGH

16、?GH?GGH222111322-17 试用梅逊增益公式求图2-37中各系统的闭环传递函数。 解 （a）图中有1条前向通路，4个回路 P?GGGG，?1 131124 22 L?GGHL?GGGH，L?GGGGH，431132133122234 )L?L?(L?LL?GGH，?144232314GGGGP?)(sC413211? 则有 R(s)?1?GGH?GGGH?GGGGH?GGH242134132132334（b）图中有2条前向通路，3个回路，有1对互不接触回路 ，GH?L?1?P?GGG，?1，P?GG，?1 113213241121L?GH，L?GH，L?GGGHHH， 312223

17、3111331?1?(L?L?L)?LL， 21123GGG?GG(1?GH)P?P?)sC 则有 R(s)?1?GH?GH?GGGHHH?GHGH33321132331111（c）图中有4条前向通路，5个回路 ，?GG?G，PGG，P?G，PP? 1132124122，GGG，L?GG，L?GL?G，L?G，L? 2113241152212，)1?(L?L?L?L?1，? 42311423P?P?P?P?)sC(43241231? 则有 R(s)?G?GG?G?GG2GG?G?G2111222121? 1?G?GG?G?GG?GG1?G?G?3GG211221112

18、122（d）图中有2条前向通路，5个回路 P?GG，?1，P?G，?1， 2112312L?GH，L?GGH，L?GG，L?G，L?GHGH，25123221142132231?1?(L?L?L?L?L)， 53124P?P?)sC(2112? 则有 R(s)?GG?G312? 1?GH?GGH?GG?G?GHGH232321112212（e）图中有2条前向通路，3个回路，有1对互不接触回路 23 ，?L，?1?，?1，P?GGP?GGG 1131341222，HL?GLGH，?GH，L?G 3132122213，L?L)1?(L?L?L? 22311)?HGGGGG?GG(1?P?P)sC(

19、123411232121? 则有 HGHG1?GH?GH?GH?GGR(s)?232121131322)sN()R(s为干扰信号，试所示，图中为输入信号，2-382-18 已知系统的结构图如图)sC()sC( 。，求传递函数)sR()sN( )sC(0s()?N 对互不接触回路。2，求 解（a）令条前向通路,3个回路，有1。图中有)sR(，?1?GHP?GG，?1?LP?GG，?1， 2112132211，?GGH，L?GG，LL?G 32223111，)?LL1?(L?L?L? 32311)?GH(GG?GG1?PP?)sC(221132112? 则有 s)?1?GH?GG?GR(G?GGGH33111222C(s)0?R(s)。有令3，求 条前向通路，回路不变。 N(s)P?1，?1?L，P?GGG，?1， 21142211P?GGG，?1