《微积分》第1-5章作业解答

1、第一章作业解答A1.（1）相同。两个函数的定义域相同，对应法则相同。（2）不同。第一个函数是第二个函数是。 二者的对应法则不同。两个函数不相同。（3）不同。第一个函数是第二个函数是，定义域为R.定义域不同，对应法则不同。2（1）解：定义域为。（2）解：。由图像得定义域为，。（3）解：，则。则。则定义域为。 8. 解：成本函数为设商品的需求函数为，则有解得所以需求函数为： 解得 收益函数为 利润函数为9设该电器的线性需求函数为.可得收益函数为13.(1).同阶无穷小量。 （2）高阶无穷小量。 （3）高阶无穷小量。=0。（无穷小量乘以有界量为无穷小量）。17正确。 18第一个等号。19（1） 解：

2、原式=。 （2） 解：原式= = =0（无穷小量乘以有界量还是无穷小量）（3） 解：原式=2+=。（4） 解：原式= =。（5） 解：原式=（6）解：原式=（7）解：原式= 20（1） 解： 原式=。 （2）解：原式=（3）解：原式=（4） 解：原式=（5） 解： 原式=（6）解： 原式=21（1）解：的定义域为 但无意义。 为可去间断点。 同理可得为可去间断点。 又时， 是无穷间断点。 （2） 解：的定义域为而无意义。为可去间断点。又为无穷间断点。 （3） 解：的定义域为 =， 为跳跃间断点。22证明：设，在上连续。 ； 因此方程在 所以方程B4.解： 。 5解：=令 则 6解：， 因为时，

3、所以因此= 即=11（1）D.当为无穷小时，（A）设;发散，收敛。(B) 设;，均无界。(C) 设；有界，为无穷大。（2）B. 在点的某个邻域内有定义且是它的间断点，必有不存在，或（A）连续间断=可能连续。例(sgnx)(sinx)（B）连续+间断=间断（C）间断间断=可能连续（D）间断=可能连续(3)B. 在处由于，所以函数在连续 在处由于，所以是间断点。 (4)D. 假设处处连续。则处处连续，这与有间断点矛盾。13.解： 的定义域为（为负整数） 在 处 是跳跃间断点。 在 处所以为可去间断点。在 处时，为无穷间断点。习题二作业解答求曲线在处的切线方程和法线方程解：， , 切点为 所以切线方

4、程为 ， 即 法线方程为 ， 即 设可导，求下列极限：（1）； 解：（2）解：（3）解： 5 设函数，讨论该函数在处是否连续，是否可导，若可导则求出。解：，该函数在处连续，该函数在处不可导6 函数，在处是否连续，是否可导？若可导则求出。解：， 该函数在处连续该函数在处不可导7 设函数，证明该函数在处连续，但在处不可导解：， 该函数在处连续不存在函数在处不可导8计算下列函数的导数(2) 解：(4) 解：(6) 解：(8) 解：(12) 解：方程两边同时取对数 方程两边同时对x求导 (13) 解：9计算下列函数的导数：（1），求； 解：方程两边同时对求导，有 即 所以（2），求；解：方程两边同时对

5、求导，有 即 所以（3），求；解：方程两边同时对求导，有 即所以（4），求；解：方程两边同时对求导，有 即 所以当 因此（6），求；解：在等式两边取对数，有 方程两边同时对求导，得 所以（7），求；解： （8），求；解：（9），求；解：（10），求；解：10. 设可导,且，求；解：所以，14. 求下列函数的微分：(1) ,求；解：(2) ,求； 解： (3) , 求解： (4) , 求;解：等式两边求微分，有 即所以(5) ，求;解：等式两边求微分，有 即 所以 (6) ，求;解：等式两边求微分，有 即 所以16. 求下列函数的弹性：(1) 解：(2) 解：(3) 解：习题三作业解答3不用求出

6、函数的导数说明方程有几个实根，并指明他们所在的区间。解：因为， 且函数在区间，上连续可导，由罗尔定理知，在上至少存在一点 ，在上至少存在一点 ，在上至少存在一点，使得 ， 故方程至少有三个实根。而是三次多项式最多有三个实根，因此方程只有三个实根，它们分别在区间上。若函数在内具有二阶导数，且，其中，证明：在内至少存在一点，使得 证：因为，且在内具有二阶导数，所以 在区间，上连续可导，由罗尔定理知，在上至少存在一点 ，在上至少存在一点 ，使得 ，。又因为，所以在区间上连续可导，由罗尔定理知，在上至少存在一点 ，使得 。5 证明方程只有一个正根。证：（方法一）（1）存在性：设，则在上连续，又因为，

7、由零值定理，在内至少存在一点，使得 。即方程至少有一个正根。（2）唯一性：假设方程有两个正根，则，又在上连续可导，由罗尔定理知，在内至少存在一点，使得 。而，与假设矛盾，由（1）（2）知，方程只有一个正根。（方法二）（1）存在性：设，则在上连续，又因为， 由零值定理，在内至少存在一点，使得 。即方程至少有一个正根。（2）唯一性：因为，所以 函数在上单调递增，故函数与轴最多有一个交点。即方程最多有一个正根。由（1）（2）知，方程只有一个正根。（B） 1 证明方程只有一个实根。证：（方法一）（1）存在性：设，则在上连续，又因为，由零值定理，在内至少存在一点，使得 。即方程至少有一个实根。（2）唯一

8、性：假设方程有两个实根，则，又在上连续可导，所以由罗尔定理，在内至少存在一点，使得 。而，与假设矛盾，由（1）（2）知，方程只有一个实根。（方法二）（1）存在性：设，则在上连续，又因为，由零值定理，在内至少存在一点，使得 。即方程至少有一个实根。（2）唯一性：因为，所以，函数在上单调递增，故函数与轴最多有一个交点，即方程至少有一个实根。 由（1）（2）知，方程只有一个实根。6 用洛必达法则求极限：（1）求 解： （2）求 解： （3）求 解： （4）求 解： （6）求 解：（7）求 解： （11）求 解：（12）求 解：11.确定下列函数的单调区间：（1）解：函数的定义域为 令，得驻点，列表：

9、-13-所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为。（2），解：函数的定义域为 令，得驻点（舍），当时，所以函数的单调递增区间为当时，所以函数的单调递减区间为。（3）， 解：函数的定义域为 令，得驻点（舍），当时，所以函数的单调递增区间为当时，所以函数的单调递减区间为。（5）解：函数的定义域为令，得驻点，当时，所以函数的单调递增区间为当时，所以函数的单调递减区间为。12.求下列函数的极值：（1）求函数的极值解：解：函数的定义域为令，得驻点， 由于，则，所以函数在处取得极大值，在处取得极小值。（2）求函数的极值解：函数的定义域为令，得驻点， 由于，则所以函数在处取得极小值。（3）求函数的极值解：函

10、数的定义域为由于因为所以函数在点处导数不存在， 为不可导点。又， 令，得驻点， 列表不存在极大值极小值由上表可见，函数在处取得极大值，在处取得极小值13.判定下列曲线的凹凸性，并求拐点：（1）解：函数的定义域为，所以曲线在上是凸的。没有拐点。（2）解：函数的定义域为，令，得（舍）， 当时，所以函数的凹区间为当时，所以函数的凸区间为。拐点为。（3），解：函数的定义域为，。所以曲线在上是凹的。没有拐点。（4）解：函数的定义域为， 令，得，当时，所以函数的凹区间为，当时，所以函数的凸区间为，拐点为。14.求下列函数的最大值和最小值：（1），解： ， 令，得驻点， （舍）因为，所以函数的最大值为，最小

11、值为。（2），解： ， 令，得驻点， 因为， ， 所以函数的最大值为，最小值为（3），解： ， 令，得驻点， 因为， 所以函数的最大值为，最小值为。（4）， 解： 令，得驻点（舍）， 因为， 所以函数的最大值为，最小值为。17.商店销售某商品的价格为 （为销售量）求收入最大时的价格。解：设收入函数为，则， 即 ， 令，得驻点。因为，由于驻点惟一，所以为函数的极大值，也是最大值，因此时收入最大，此时的价格为第四章作业解答1用积分公式直接求下列不定积分：（1）解：（3）解： （5）解：（7）解： 2用积分公式直接求下列不定积分：（1）解：（2）解：（3）解：（4）解：（5）解：3用第一类换元法求下

12、列不定积分：（1）解：（2）解：（3）解：（4）解：（5）解：（6）解：（7）解：（8）解：4用第一类换元法求下列不定积分：（1）解：（2）解：（3）解：（4）解：（5）解：（10）解：=（11）解：5用第二类换元法求下列不定积分：（1）解：设，则，所以=（3）解：设，则，（5）解：设，则，所以（8）解：设，则所以（10）解：设，则所以（12）解：设，则所以6用分部积分法求下列不定积分：（1） 解：（2） 解：（3） 解： （4） 解：（5） 解：所以（6） 解：（7） 解： （8） 解：第五章作业解答4根据定积分的性质，比较下列各组定积分值的大小。（1）与解：因为，所以（2）与解：因为，所以

13、（3）与解：因为，所以6求下列函数的导数。（1）解：（2）解： （3）解：7求下列极限。（1）解：（2）解：（3）解：（4）解：11用牛顿-莱伯尼茨公式计算下列定积分：（1）解：（2）解：（3）解： （4）解： （5）解：（6）解：（7）解：（8）解：12用变量代换法计算下列定积分：（1）解：设，则，。，所以（3）解：设，则。，所以（5）解：设，则，所以（6）解：设，则。，所以（7）解：设，则，。，所以（9）解：设，则，。，所以13用分部积分法法计算下列定积分：（1）解：（2）解： （3）解：所以（4）解：（5）解：22.求下列曲线围成的平面图形的面积：（1），与；解：作图，如右图 解方程组得

14、交点 取积分变量为x则积分区间为，故所求面积(2) ，；解：作图，如右图 解方程组得交点 取积分变量为x则积分区间为，故所求面积为(3) ，；解：作图，如右图解方程组得交点，取积分变量为则积分区间为，故所求面积为 4) ，与解：作图，如右图解方程组得交点，取积分变量为x则积分区间为，故所求面积为(5) ，；解：作图，如右图 解方程组得交点，解方程组得交点取积分变量为则积分区间为，故所求面积为 （6），；解：作图，如右图 解方程组得交点，。取积分变量为x则积分区间为，故所求面积为14求由下列已知曲线围成的平面图形绕指定的轴旋转所得的旋转体的体积（1）与绕轴；解：作图，如右图由得交点和 确定积分变量为，积分区间为。所以 （2）绕